第二节映射与函数 一、映射的概念 1.定义一：设X与Y是两个非空集合，若对X 中的每一个元素x,均可找到Y中唯一确定的 元素y与之对应，则称这个对应是集合X到集合 Y的一个映射，记为f,或者更详细地写 f:X→Y 将x的对应元y记作f(x):x→y=f(x) 经济数学 微积分
一、映射的概念 1.定义一： 设X 与 Y 是两个非空集合，若对 X 中的每一个元素 x，均可找到 Y 中唯一确定的 元素 y 与之对应，则称这个对应是集合X 到集合 Y 的一个映射，记为f ，或者更详细地写 f ：X →Y 将 x 的对应元 y 记作 f (x): x y = f (x) 第二节 映射与函数
并称y为映射f下x的像，而x称为映射f下y的 原像（或称为逆像）.集合X称为映射f的定义域， 记作D,=X,而X的所有元素的像fx)的集合 {y|y∈Y,y=f(x),x∈X 称为映射f的值域，记为R,(或f(X)) 经济数学一微积分
并称 y 为映射 f 下 x 的像，而 x 称为映射 f 下 y 的 原像(或称为逆像). 集合 X 称为映射 f 的定义域， 记作 Df = X ，而 X 的所有元素的像f (x) 的集合 { y | yY , y = f (x) , x X} 称为映射 f 的值域，记为 R ( f (X) ) f 或
例1设A={商场中的所有商品}，B={商场中商 品九月份的销量}，则 f:A→B x→y(y是商品x;九月份的销量) 是一个映射，Dr=A,R=B 经济数学一微积分
例1 设 A={商场中的所有商品 }，B={商场中商 品九月份的销量 }，则 是一个映射， Df = A，Rf = B ( 是商品 ; 九月份的销量 ) ： x y y x f A B → →
例2设A={1,2,3},B={4,5,6,7},则 f:A→B f(1)=4,f(2)=5,f(3)=6 是一个映射，D=A,Rr={4,5,6}CB 经济数学一微积分 OO O
例2 设 A={1，2，3 }，B={4，5，6，7 }，则 是一个映射， Df = A，Rf = {4,5,6} B (1) = 4 , (2) = 5 , (3) = 6 → f f f f ：A B
概括起来，构成一个映射必须具备下列三 个基本要素： (I)集合X,即定义域D,=X; (2)集合Y,即限制值域的范围：R,cY; (3)对应规则f:使每个x∈X,有唯一 确定的y=f)与之对应. 需要指出的是： (1)映射要求元素的像必须是唯一的， (2)映射并不要求元素的逆像也是唯一的， 经济数学—一微积分
概括起来，构成一个映射必须具备下列三 个基本要素： (1)集合 X ，即定义域 Df = X ； (2)集合Y ，即限制值域的范围：Rf Y ； (3) 对应规则 f ：使每个 x X ， 有唯一 确定的 y=f (x) 与之对应. 需要指出的是： （1）映射要求元素的像必须是唯一的. （2）映射并不要求元素的逆像也是唯一的
2.定义二：设f是集合X到集合Y的一个映射， 若f的逆像也是唯一的，即对X中的任意两 个不同元素x12,它们的像y1与2也满 足1≠2，则称f为单射；如果映射∫满足 R=Y，则称f为满射；如果映射f既是单射， 又是满射，则称f为双射（又称一一对应）· 经济数学一微积分
2.定义二： 设 f 是集合X 到集合Y 的一个映射， 若 f 的逆像也是唯一的，即对X 中的任意两 个不同元素 x1 ≠x2 ，它们的像 y1 与 y2 也满 足 y1 ≠ y2 ，则称 f 为单射；如果映射 f 满足 Rf = Y ，则称 f 为满射；如果映射 f 既是单射， 又是满射，则称 f 为双射（又称一一对应 ）
二、逆映射与复合映射 1.逆映射：如果映射f既是单射，又是满射，则 对任一y∈RcY,它的逆像x∈X(即满足方程 f(x)=y的x)是唯一确定的，于是，对应关系 g:Rr→X yHx (f(x)=y) 构成了R,到X上的一个映射，称之为f的 逆映射，记为f,其定义域为D=R,值域为 R=X. 经济数学 一微积分
二、逆映射与复合映射 1.逆映射：如果映射 f 既是单射，又是满射，则 的 是唯一确定的，于是，对应关系 对任一 它的逆像 即满足方程 ( ) ) , ( f x y x y Rf Y x X = y x ( f (x) y) g Rf X = → ： 构成了Rf 到 X 上的一个映射，称之为 f 的 , −1 逆映射， 记为 f 其定义域为 Df −1 = Rf ,值域为 R 1 X . f − =
例3设A={1,2,3},B={4,5,6,则 f:A→B x→y=+3 既是单射，又是满射，存在逆映射 f-1:B→A x→y=x-3 经济数学—一微积分
例3 设 A={1，2，3 }，B={4，5，6}，则 既是单射，又是满射，存在逆映射 → = + 3 → x y x f ：A B 3 1 → = − − → x y x f ：B A
例4设A=0,π，B=[一1,1]，则 f:A→B x→Jy=C0Sx 既是单射，又是满射，存在逆映射 -1:B→A x→y=arccos x 经济数学一微积分
例4 设 A=[0，π]，B=[－1，1]，则 既是单射，又是满射，存在逆映射 x y x f A B → = cos ： → x y x f B A arccos 1 → = − ： →
2.复合映射： g:X→U f:U2→Y x→u=g(x) 和 u→y=f(u) 如果R。cU2=D,,那就可以构造出一个 新的对应关系 fog:X→Y x→y=f[g(x)] 也是一个映射，称之为f和g的复合映射。 经济数学一微积分
2.复合映射： 那就可以构造出一个 ( ) 1 x u g x g X U = → ： 和 ( ) 2 u y f u f U Y = → ： , 如果 Rg U2 = Df 新的对应关系 x y f [g(x)] f g X Y = → ： 也是一个映射，称之为 f 和 g的 复合映射