第三节 第十章 格林公式及其应用 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 等HIGH EDUCATION PRESS 动目最上页下页返回结束
第三节 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 格林公式及其应用 第十章
一、 格林公式 单连通区域（无“洞”区 区域D分类 梦连通区域（有“洞” 区 域D边界L的芷向域的内部靠左 定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数 P(x,y),Q(x,y)在D上具有连续一阶偏导数，则有 Ox dxdy=Pdx+Qdy(格林公式) 或 dxdy Pdx Ody D HIGH EDUCATION PRESS
L D 区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区 域多连通区域 ) ( 有“洞”区 域 ) 域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有 = + − D L x y P x Q y y P x Q d d d d ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, = + D L x y x y P x Q y P Q 或 d d d d 一、 格林公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
证明：1)若D既是X-型区域，又是Y-型区域，且 D: p1(x)≤y≤p2(x) a≤x≤b a D: 1y)≤x≤2(y) c≤y≤d 则n0ay-器 o a =2wmy)d-J0wwy)dy =∫ca0x,yiv-Jeax,ya =∫x,y+∫Bac0x 等HIGH EDUCATION PRESS
证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 a x b x y x D ( ) ( ) : 1 2 则 x y x Q D d d = d c Q( ( y), y )dy 2 ( ) ( ) 2 1 d y y x x Q = CBE Q(x, y)dy + EAC Q(x, y)dy − d c Q( ( y), y )dy 1 = d c dy d c y o x E C A B a b D 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
即 ,2ad-,oxna, ① 同理可证 儿Sa=Pna ② ①、②两式相加得 ,0ddw-i.tre 等HIGH EDUCATION PRESS 理1目录上丙下页返回结束
即 同理可证 ① ② ①、②两式相加得: ( ) = + − D L x y P x Q y y P x Q d d d d 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
2)若D不满足以上条件，则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域，如图 -)dxdy ）dxdy (ODk表示D的正向边界) =Pdx+Ody 证毕 等HIGH EDUCATION PRESS
y o x L 2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 D1 Dn D2 ( ) = − = n k D x y y P x Q k 1 d d ( ) x y y P x Q D d d − = = + n k Dk P x Q y 1 d d = + L Pdx Qdy 为有限个上述形式的区域 , 如图 ( 表示 的正向边界) Dk Dk 证毕 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
格林公式 dxdy =Pdx+Qdy 推论：正向闭曲线L所围区域D的面积 4-2f,y-ydx x acos0 例如，椭圆L: 0≤0≤2π所围面积 y=bsin0 4-jf,xdy-ydx -(abcos20+absin20)de a ab )J 等HIGH EDUCATION PRESS
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 = − L A xdy y dx 2 1 格林公式 = + − D L x y P x Q y y P x Q d d d d 例如, 椭圆 , 0 2 sin cos : = = y b x a L 所围面积 = + 2 0 2 2 ( cos sin )d 2 1 ab ab = ab 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
例1.设L是一条分段光滑的闭曲线，证明 f2xydx+x2dy=0 证：令P=2xy,Q=x2,则 80 ap =2x-2x=0 Ox Oy 利用格林公式，得 ∫，2xydx+x2dy=∬0drdy=0 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目最上页下页返回结
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明 2 d d 0 2 + = xy x x y L 证: 令 2 , , 2 P = xy Q = x 则 利用格林公式 , 得 xy x x y L 2 d d 2 + = D 0dx dy = 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例.计算∬e)drd,其中D是以o0,0),41,). B(0,1)为顶点的三角形闭域. 解：令P=0,Q=xe,则 60 ap Ox Ov =e-y2 B(0,1) 利用格林公式，有 V=X jeddy=xey dy _xe dy= OA (1-e) 等HIGH EDUCATION PRESS
例2. 计算 其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令 , 则 2 0, y P Q xe − = = 利用格林公式 , 有 − = D y x e dy 2 x e y OA y d 2 − = ye y y d 1 0 2 − = (1 ) 2 1 −1 = − e y = x o y x A(1,1) B(0,1) D 机动 目录 上页 下页 返回 结束
0.计)中为无在点姐不职购 的分段光滑正向闭曲线！ 解令P=y, 0=- x-+y 则当x2+y2≠0时，2 2y2-x2 OP x(x2+y2)20y 设L所围区域为D,当(0,0)D时，由格林公式知 xdy-ydx L x+y =0 等HIGH EDUCATION PRESS
例3. 计算 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线. 解: 令 0 , 则当x 2 + y 2 时 设 L 所围区域为D, 当(0,0)D时, 由格林公式知 y o x L 机动 目录 上页 下页 返回 结束
当(0,0)∈D时，在D内作圆周1：x2+y2=r2,取逆时 针方向，记L和1所围的区域为D,对区域D应用格 林公式，得 xrdy-ydr_「xdy-Jd x+v xdy-ydx =n0d=0 f xdy-ydx r 2x r2 cos20+r2 sin2 0 d0=2元 0 等HIGH EDUCATION PRESS 090008 机动目录上页下页返回结束
d 2 cos sin 0 2 2 2 2 2 + = r r r = 2 当(0,0)D时, 在D 内作圆周 : , 2 2 2 l x + y = r 取逆时 针方向, D1 , 对区域 D1 应用格 + − − l x y x y y x 2 2 d d − + + − = L l x y x y y x 2 2 d d 0d d 0 1 = = x y D L D1 l o y x 记 L 和 l ˉ 所围的区域为 林公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束