嘉兴学院 课件 重积分_高等数学第九章

第九章重积分 习题课 主要内容 典型例题 经济数学—微积分

主要内容 典型例题 第九章 重 积 分 习 题 课

经济数学 一、主要内容 定义 二重积分 几何意义 性质 计算法 经济数学—微积分

经 济 数 学 定 义 几何意义 性 质 计算法 二重积分 一、主要内容

经济数学 1、二重积分的定义 定义设f(,y)是有界闭区域D上的有界函数，将 闭区域D任意分成n个小闭区域△O1,△o2,…, △om,其中△o,表示第个小闭区域，也表示它的面积， 在每个△o:上任取一点(5,7：)， 作乘积f(5,n:)△o (i=1,2,…,n), 并作和 f(5,n,)△o, i- 经济数学—微积分

经 济 数 学 定义 设 f (x, y)是有界闭区域 D 上的有界函数，将 闭区域 D 任意分成n 个小闭区域 1 ， 2 , ，  n ，其中 i 表示第i个小闭区域，也表示它的面积， 在每个 i 上任取一点( , )  i i ， 作乘积 ( , ) i i f    i ， (i  1,2,,n)， 并作和 i i n i i  f     ( , ) 1 ， 1、二重积分的定义

经济数学 如果当各小闭区域的直径中的最大值2趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f(x,y)在闭区域D上的二重积分， 记为jf(x,y)do, D 即∬f(x,y)do=lim∑f(5,n,)△o: 2→0 2、二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积， 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值. 经济数学——微积分

经 济 数 学 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f (x, y)在闭区域 D 上的二重积分， 记为 D f (x, y)d ， 即 D f (x, y)d i i n i i f          lim ( , ) 1 0 ２、二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．

经济数学 3、二重积分的性质 性质1当k为常数时， ∬4xao=6fx,aa. 性质2 jf(x,Jy)±g(x,yldo Ffdo±∬gxao. 经济数学 微积分

经 济 数 学 性质１ 当 k 为常数时， ( , ) ( , ) .    D D kf x y d k f x y d 性质２   D [ f (x, y) g(x, y)]d ( , ) ( , ) .     D D f x y d g x y d ３、二重积分的性质

经济数学 性质3对区域具有可加性(D=D,+D,) fx,aa=∬fxao+∬f,aa. 性质4 若o为D的面积a-1do=∬do 性质5 若在D上，f(x,y)≤g(x,y) j∬fx,y)io≤∬gx,)do. 特殊地 (ydas∬f(.y)do. 经济数学—微积分

经 济 数 学 性质３ 对区域具有可加性 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2      D D D f x y d f x y d f x y d ( ) D  D1  D2 性质４ 若为D的面积 1 .      D D  d d 性质５ 若在D上， f (x, y)  g(x, y) ( , ) ( , ) .    D D f x y d g x y d 特殊地 ( , ) ( , ) .    D D f x y d f x y d

经济数学 性质6 设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最 大值和最小值，O为D的面积，则 mo≤∫f(x,y)do≤Mo (二重积分估值不等式) 性质7设函数f(x,y)在闭区域D上连续，σ为D 的面积，则在D上至少存在一点(5,7)使得 ∬fx,y)do=f(5,)o. (二重积分中值定理) 经济数学——微积分

经 济 数 学 设M 、m分别是 f (x, y)在闭区域 D 上的最 大值和最小值， 为 D 的面积，则    D m f (x, y)d M （二重积分估值不等式） 性质６ 设函数 f ( x, y)在闭区域D上连续， 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( ,)使得  f ( x, y)d  f ( ,) D . 性质７ （二重积分中值定理）

经济数学 4、二重积分的计算 (1)直角坐标系下 [X-型]D:a≤x≤b, p1(x)≤y≤p2(x) ∬fx,Jao=fx,. X型区域的特点：穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 经济数学一微积分

经 济 数 学 ４、二重积分的计算 D : a  x  b, ( ) ( ). 1 2 ［X－型］  x  y   x ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1     D b a x x f x y d dx f x y dy    X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. （１）直角坐标系下

经济数学 [Y-型]D:c≤y≤d,p,(y)≤x≤p(y) ∬fx,ao=Wfx,pk. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴 的直线与区域边界相交不多于两个交点. 经济数学—微积分

经 济 数 学 Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴 的直线与区域边界相交不多于两个交点. ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1     D d c y y f x y d dy f x y dx    D : c  y  d, ( ) ( ). 1 2 ［Y－型］  y  x   y

经济数学 （2)极坐标系下 D,:a≤B≤B,p,(0)≤r≤p2(0). ∬f(rcos0,.rsin0)rdrd0 (roim 经济数学一微积分

经 济 数 学 ( cos , sin ) . ( ) ( ) 2 1          d f r  r  rdr  1 ( cos , sin ) D f r  r  rdrd : , D1      ( ) ( ). 1   r   2  （２）极坐标系下