第六节空间曲线及其方程 一、空间曲线及其方程 二、空间曲线在坐标面上的投影 三、小结思考题 经济数学一微积分
一、空间曲线及其方程 二、空间曲线在坐标面上的投影 三、小结 思考题 第六节 空间曲线及其方程
、 空间曲线及其方程 1.曲线(curve)的一般方程 空间曲线C可看作空间两曲面的交线 F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 空间曲线的一般方程 特点：曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 1 不能同时满足两个方程. 经济数学—一微积分
一、空间曲线及其方程 = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程. x o z y S1 S2 C 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 特点： 1.曲线(curve)的一般方程
x2+y2=1 例1 方程组 表示怎样的曲线？ 2x+3y+3z=6 解 x2+y2=1表示圆柱面， 0. 0.500.5 2x+3y+3z=6表示平面， 「x2+y2=1 2x+3y+3z=6 交线为椭圆. 经济数学—一微积分
例1 方程组 表示怎样的曲线？ + + = + = 2 3 3 6 1 2 2 x y z x y 解 1 2 2 x + y = 表示圆柱面， 2x + 3y + 3z = 6 表示平面， + + = + = 2 3 3 6 1 2 2 x y z x y 交线为椭圆
z=a2-x2-y2 例2方程组 表示怎样的曲线？ 解 z=a2-x2-y2 上半球面， 圆柱面， 交线如图. 经济数学一微积分
例2 方程组 表示怎样的曲线？ − + = = − − 4 ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 a y a x z a x y 解 2 2 2 z = a − x − y 上半球面, 4 ) 2 ( 2 2 2 a y a x − + = 圆柱面, 交线如图
2.曲线的参数方程 x=x(t) y=y(t) 空间曲线的参数方程 =z(t) 当给定t=t1时，就得到曲线上的一个点 (x1,y1,乙1)，随着参数的变化可得到曲线上的全 部点. 经济数学—一微积分 ■
= = = ( ) ( ) ( ) z z t y y t x x t 当给定 1 t = t 时，就得到曲线上的一个点 ( , , ) 1 1 1 x y z ，随着参数的变化可得到曲线上的全 部点. 空间曲线的参数方程 2.曲线的参数方程
例3如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上 以角速度o绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平 行于z轴的正向上升（其中w、v都是常数）， 那么点M构成的图形叫做螺旋线.试建立其参 数方程. 取时间为参数，动点从A点出 发，经过t时间，运动到M点 M在xoy面的投影M'(x,y,0) x=acosot y asinot =yt M' 螺旋线的参数方程 经济数学一微积分
动点从A点出 发，经过t时间，运动到M点 例 3 如果空间一点M在圆柱面 2 2 2 x + y = a 上 以角速度绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平 行于 z 轴的正向上升（其中、v 都是常数）， 那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参 数方程．A • M M M 在xoy面的投影M(x, y,0) x = acost y = asint z = vt t 螺旋线的参数方程 取时间t为参数， 解 x y z o
螺旋线的参数方程还可以写为 x=acos0 y=asing z=b0 (0=ot, b=) 螺旋线的重要性质： 上升的高度与转过的角度成正比， 即0：0。→0+a, z:b0。→b8。+ba, =2元， 上升的高度 h=2b元 螺距 经济数学—一微积分
螺旋线的参数方程还可以写为 = = = z b y a x a sin cos ( , ) v = t b = 螺旋线的重要性质： : , 0 → 0 + : , z b 0 → b 0 + b 上升的高度与转过的角度成正比． 即 = 2, 上升的高度 h = 2b 螺距
二、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线的一般方程： 「F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 消去变量后得：H(飞，y)=0 曲线关于x0y的投影柱面 投影柱面的特征： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面. 经济数学—一微积分
= = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 消去变量z后得： H(x, y) = 0 曲线关于 xoy 的投影柱面 设空间曲线的一般方程： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面. 投影柱面的特征： 二、空间曲线在坐标面上的投影
如图：投影曲线的研究过程 空间曲线 投影柱面 投影曲线 经济数学一微积分
如图:投影曲线的研究过程. 空间曲线 投影柱面 投影曲线
空间曲线在x0y面上的投影曲线 H(x,y)=0 z=0 类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 Jy0z面上的投影曲线， x0z面上的投影曲线 R(y,z)=0 [T(x,z)=0 x=0 y=0 经济数学 微积分
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 = = 0 ( , ) 0 x R y z = = 0 ( , ) 0 y T x z yoz 面上的投影曲线, xoz 面上的投影曲线, = = 0 ( , ) 0 z H x y 空间曲线在 xoy 面上的投影曲线