第十一章无穷级数 习题课 主要内容 典型例题 经济数学一微积分 ■
主要内容 典型例题 第十一章 无穷级数 习 题 课
一、主要内容 4n为常数 un为函数un(x) =1 常数项级数 取X= 函数项级数 交 幂级数 项级 般 项 泰勒展开式 数 数 收半 数 Rx)→0 R 泰勒级数 在收敛 级数与数 条件下 相互转化 数 数或函数 函数 经济数学一微积分
常数项级数 函数项级数 正 项 级 数 交 错 级 数 收 幂级数 敛 半 径 R 泰勒展开式 数 数或函数 函 数 一 般 项 级 数 泰勒级数 Rn (x) → 0 un为常数 u u (x) n为函数 n 取 x = x0 在收敛 级数与数 条件下 相互转化 n=1 un 一、主要内容
1.常数项级数 定义 ∑。=4+山，+4++，+… 级数的部分和。=4+山，十+山，=∑4 级数的收敛与发散 常数项级数收敛（发散）一imsn存在（不存在）. →c0 经济数学一微积分
= + + ++ + = n n un u1 u2 u3 u 1 1.常数项级数 常数项级数收敛(发散) n n s → lim 存在(不存在). = = + + + = n i n u u un ui s 1 级数的部分和 1 2 定义 级数的收敛与发散
收敛级数的基本性质 性质1：级数的每一项同乘一个不为零的常数， 敛散性不变， 性质2：收敛级数可以逐项相加与逐项相减。 性质3：在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性。 性质4：收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和. 级数收敛的必要条件：imwn=0. 经济数学一微积分
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和. lim = 0. → n n 级数收敛的必要条件: u 收敛级数的基本性质
常数项级数审敛法： 正项级数 交错级数 一般项级数 1.若Sn→S 则级数收敛 2.当n→o时，4n的极限不为零，则级数发散 3.按基本性质 4.充要条件 4.莱布尼茨 4.绝对收敛 5.比较法 定理 6.比值法 7.根值法 经济数学一微积分 ■
常数项级数审敛法： 正项级数 交错级数 一般项级数 1. 若 则级数收敛. 2. 当 的极限不为零，则级数发散. 3. 按基本性质 4. 充要条件 5. 比较法 6. 比值法 7. 根值法 4.莱布尼茨 定理 4. 绝对收敛 S n → S n → 时，u n
2.正项级数及其审敛法 定义 ∑4 n≥0 n= 审敛法正项级数收敛一部分和所成的数列s有界. (1)比较审敛法 若∑4n收敛（发散）且vn≤4n(un≤，， n=1 则∑yn收敛（发散） n=1 经济数学一微积分
定义 , 0 1 = n n un u 正项级数收敛 部分和所成的数列 有界. n s 2.正项级数及其审敛法 审敛法 (1) 比较审敛法 若 n=1 un 收敛(发散)且 ( ) n n n n v u u v , 则 n=1 n v 收敛(发散)
(2)1 比较审敛法的极限形式 设元，与2，都是正项级数如果m=1, n=] n=1 n-→oVn 则(1)当0<1<+o时，二级数有相同的敛散性； 00 00 (②)当1=0时，若∑收敛，则∑4，收敛 n=1 n=1 (3)当/=+o时，若∑，发散则∑4n发散： n= n=1 经济数学—一微积分
(2) 比较审敛法的极限形式 设 n=1 un 与 n=1 n v 都是正项级数,如果 l v u n n n = → lim , 则(1) 当0 l +时,二级数有相同的敛散性; (2) 当l = 0时，若 n=1 n v 收敛,则 n=1 un 收敛; (3) 当l = +时, 若 n=1 n v 发散,则 n=1 un 发散;
(3)比值审敛法（达朗贝尔D'Alembert判别法） 设24，是正项级数如果im1=pp数或+心 n=1 n-→oWm 则p1时级数发散；p=1时失效. (4)根值审敛法（柯西判别法） 设∑山，是正项级数， n=1 如果Iim4n=p(p为数或+oo), 则p1时级数发散；p=1时失效. 经济数学一微积分
(3) 比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法) 设 n=1 un 是正项级数,如果lim ( ) 1 = + + → 数或 n n n u u 则 1时级数收敛; 1时级数发散; = 1 时失效. (4) 根值审敛法 (柯西判别法) 设 n=1 un 是正项级数, 如果 = → n n n lim u (为数或+ ), 则 1时级数收敛; 1时级数发散; = 1时失效
3.交错级数及其审敛法 定义正、负项相间的级数称为交错级数. (-)n或∑-I)4,(其中u,>0) =1 =1 莱布尼茨定理如果交错级数满足条件： （i)4n≥4n+1(n=1,2,3,);(i)lim4n=0,则 n-→oo 级数收敛，且其和s≤山，其余项rn的绝对值 Tn≤u+Ir 经济数学一微积分
定义 正 、负项相间的级数称为交错级数. ( 1) ( 1) 1 1 1 n n n n n n u u = = − − 或 − 莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件: (ⅰ) ( 1,2,3, ) un un+1 n = ;(ⅱ)lim = 0 → n n u ,则 级数收敛, 且其和 u1 s , 其 余 项 n r 的绝对值 n un+1 r . ( 0) 其中un 3.交错级数及其审敛法
4.任意项级数及其审敛法 定义正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 定理 若立收敛则24，收敛 n= n=1 定义：若元u收敛，则称元4n为绝对收敛： n=1 n=0 若究w,发散，而2山n收敛，则称之，为条件收敛。 n=l = n=1 经济数学 微积分
定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 定理 若 n=1 un 收敛,则 n=1 un 收敛. 定义:若 n=1 un 收敛, 则称 n=0 un 为绝对收敛; 若 n=1 un 发散,而 n=1 un 收敛, 则称 n=1 un 为条件收敛. 4.任意项级数及其审敛法