第十节 第十二章 欧拉方程 欧拉方程 x”ym+pxn-yn-1+…Pn-1xy+Pny=f(x) (Pk为常数) 令x=e',即t=lnx 常系数线性微分方程 等HIGH EDUCATION PRESS 周f000⑧
机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十节 欧拉方程 欧拉方程 ( ) 1 1 ( 1) 1 ( ) x y p x y p x y p y f x n n n n n n + + − + = − − ( 为常数) pk , t 令 x = e 常系数线性微分方程 即t = ln x 第十二章
欧拉方程的算子解法： x”ym+px-yr-+…Pn-1xy+Pny=f(x) 令x=e,则t=lnx,则 dy dydt 1dy dx dtdx xdt →xy=dy dt d2y d ldy,dt 1 d2y dy dx2 dt x dt'dx x2 dt →x2y”= d2y dy di2 dt 计算繁！ 等HIGH EDUCATION PRESS
欧拉方程的算子解法: ( ) 1 1 ( 1) 1 ( ) x y p x y p x y p y f x n n n n n n + + − + = − − , t 令 x = e 则 = x y d d x t t y d d d d t y x d 1 d = = 2 2 d d x y x t t y t x d d ) d 1 d ( d d ( ) t y t y x d d d 1 d 2 2 2 = − 计算繁! t y x y d d = t y t y x y d d d d 2 2 2 = − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
记D=d d7《=2,3)则由上述计算可知 xy'=Dy x2y”=D2y-Dy=D(D-1Dy 用归纳法可证xyk=D(D-1)…(D-k+1)y 于是欧拉方程 x"y+pix"-y(+n-xy'+pny=f(x) 转化为常系数线性方程 D"y+b D"y+...+bny=f(e') 即 d"y d"-1 +b 。dn- +…+bny=f(e） HIGH EDUCATION PRESS 090008 机动目录上页下页返回结束
, d d t 记 D = 则由上述计算可知: x y = Dy x y = D y − Dy 2 2 ( 2, 3, ), d d = k = t D k k k = D(D −1)y 用归纳法可证 x y D D D k y k k ( 1) ( 1) ( ) = − − + 于是欧拉方程 ( ) 1 1 ( 1) 1 ( ) x y p x y p x y p y f x n n n n n n + + − + = − − ( ) 1 1 t n n n D y + b D y + + b y = f e − 转化为常系数线性方程: ( ) d d d d 1 1 1 t n n n n n b y f e t y b t y + + + = − − 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求方程x2y”-2xy'+2y=ln2x-21nx的通解 解：令x=e,则1=1nx,记D=d,则原方程化为 dt DD-1)y-2Dy+2y=t2-21 即 (D2-3D+2)y=t2-21 亦即 dy-3y+2y=2-2 dt2dt 特征方程r2-3r+2=0,其根1=1,2=2， 则①对应的齐次方程的通解为 Y=Cje'+Cze2 》HIGH EDUCATION PRESS 周f00o⑧
例1. 解: 则原方程化为 亦即 其根 则①对应的齐次方程的通解为 特征方程 ① 机动 目录 上页 下页 返回 结束
设特解：y=At2+B1+C 代入①确定系数，得 y=2++1 2 24 ①的通解为 y=+Ce2+12+11+1 24 换回原变量，得原方程通解为 y=Gx+C22+1m2x+ lnx+ 4 等HIGH EDUCATION PRESS
① 的通解为 换回原变量, 得原方程通解为 设特解: y = At + Bt +C 2 代入①确定系数, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
之-子的通解 例2.求方程y”-上+y= 解：将方程化为x2y”-xy'+y=2x(欧拉方程 令x=e,记D=d则方程化为 dt [D(D-I)-D+1]y=2e 即 (D2-2D+1)y=2e' ② 特征根：1=2=1， 设特解：y=Ate',代入②解得A=1,所求通解为 y=(C C2t)e'+t2e' (Cl C2 Inx)x+xln2x 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 解: 将方程化为 (欧拉方程) 则方程化为 即 ② 特征根: 设特解: , 2 t y = At e 代入 ② 解得 A = 1, 所求通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.设函数y=y(x)满足 xy+3y+y'(d1=51nx,x21 且yx=1=0,求y(x) 解：由题设得定解问题 x2y”+xy'+4y= ③ y(1)=0,y'0)=0 ④ 令x=,记D则t为 [D(D-I)+D+4]y=5e (D2+4)y=5e ⑤ 特征根：r=±2i,设特解：y=Ae,代入⑤得A=1 等HIGH EDUCATION PRESS /—周f000⑧
例3. 解: 由题设得定解问题 ③ , t 令 x = e , d d t 记 D = 则③化为 t D D D y e − [ ( −1) + + 4] = 5 t D y e − ( + 4) = 5 2 特征根: r = 2i, 设特解: ④ , t y Ae − = ⑤ 代入⑤得 A＝1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
得通解为 y C1 cos2t+C2 sin2t+e! C cos(2Inx)+C2 sin(21nx)+ 利用初始条件④得 C1=-1,C2= 2 故所求特解为 y=-cos(2Inx)+sin(2Inx)+ 等HIGH EDUCATION PRESS
得通解为 t y C t C t e − = 1 cos 2 + 2 sin 2 + x C x C x 1 cos(2ln ) sin(2ln ) = 1 + 2 + 利用初始条件④得 2 1 1, C1 = − C2 = 故所求特解为 x y x x 1 sin(2ln ) 2 1 = −cos(2ln ) + + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考：如何解下述微分方程 (x+a)-y"+P(x+a)y'+P2y=f(x) 提示：原方程 先令u=x+a 直接令 dy x+a=e du+Pu +p2y=f(u-a) du d 记D= dt 令u=e,记D=d t [D(D-1)+pD+p2]y=f(e'-a· 作业 P3192;6;8 等HIGH EDUCATION PRESS 第11节目录上页下页返回结束
思考: 如何解下述微分方程 提示: 原方程 直接令 作业 P319 2 ; 6; 8 第11节 目录 上页 下页 返回 结束 t D d d 记 = [ ( 1) ] ( ) D D p1D p2 y f e a t − + + = − t D d d 记 =