习题课 第十章 线面积多的计算 一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法 考HIGH EDUCATION PRESS 周000⑧
习题课 一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 线面积分的计算 第十章
一、 曲线积分的计算法 1.基本方法 第一类（对弧长） 曲线积分 第二类（对坐标） 转化一定积分 用参数方程 (1)统一积分变量 用直角坐标方程 用极坐标方程 第一类：下小上大 (2)确定积分上下限 第二类：下始上终 练习题：P184题3(1)，(3)，(6) 等HIGH EDUCATION PRESS
一、曲线积分的计算法 1. 基本方法 曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) (1) 统一积分变量 转化 定积分 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 (2) 确定积分上下限 第一类: 下小上大 第二类: 下始上终 练习题: P184 题 3 (1), (3), (6) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
解答提示：P1843(1) 计算∫Nx2+y2d,其中为圆周x2+y2=ax 提示：利用极坐标，L:r=acos0(-」 2 ds =vr2+r'2 d0 ad0 原式=xd= 2 cos2 0.ad0 2a2 说明：若用参数方程计算，则 x=号(1+cos1） (0≤1≤2π) y=9sint ds=Vx2+)2dt=adt 2 》HIGH EDUCATION PRESS 机动目最上页下页返回结
解答提示: 计算 其中L为圆周 提示: 利用极坐标 , d d 2 2 s = r + r 原式 = ax s L d 说明: 若用参数方程计算, o a x y r = ad t 则 d s x y d t 2 2 = + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P184 3 (1)
P18433).计算(2a-)dx+xdy,其中L为摆线 x a(t-sint),y=a(1-cost) 上对应t从0到2π的一段弧 提示：(2a-y)dx+xdy=a1+cost)a1-cost)dt +a(t-sint)·asintdt a-tsintdt 原式=a2sin1d a2[-tcost-sint]r =-27a2 考HIGH EDUCATION PRESS 周f0009
P184 3(3). 计算 其中L为摆线 上对应 t 从 0 到 2 的一段弧. 提示: = 2 0 2 原式 a tsin td t 2 0 2 = a − t cost − sint 机动 目录 上页 下页 返回 结束
P18436).计算xyzdz,其中T由平面y=:截球面 x2+y2+z2=1所得，从z轴正向看沿逆时针方向 提示：因在T上有x2+2y2=1,故 x=coSt =方五 (0≤t≤2π) z=方sin 原式=，12c 22J0 cos-tsin2tdt 242cos2t(-cos2t)dt 2元 22422 16 等HIGH EDUCATION PRESS
z o y x 1 P184 3(6). 计算 其中由平面 y = z 截球面 提示: 因在 上有 故 原式 = = − 2 2 1 4 3 2 2 1 2 从 z 轴正向看沿逆时针方向. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.基本技巧 (1)利用对称性及重心公式简化计算； (2)利用积分与路径无关的等价条件 (3)利用格林公式（注意加辅助线的技巧）； (4)利用斯托克斯公式； (⑤)利用两类曲线积分的联系公式 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目最上页下页返回结
(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 . 2. 基本技巧 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.计算7=∫(x2+y+z2)ds,其中r为曲线 x2+y2+z2=a2 x+x+z=0 解：利用轮换对称性，有 xds=ds=Jrds 利用重心公式知人yds=ds=0 (的重心在原点) 13x2+y2+2 -a ds-a 等HIGH EDUCATION PRESS 周f000⑧
例1. 计算 其中 为曲线 解: 利用轮换对称性 , 有 x ds y ds z ds 2 2 2 = = 利用重心公式知 I (x y z )ds 3 2 2 2 2 = + + 3 3 4 = a z o y x (的重心在原点) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.计算=∫，(x2-y)dx+0y2-xdy,其中L是沿逆 时针方向以原点为中心，α为半径的上半圆周 解法1令P=x2-y,Q=y2-x,则 =-1=P Ox 这说明积分与路径无关，故 1=Bx2-ydx+02- =02dx=- 3 等HIGH EDUCATION PRESS
例2. 计算 其中L 是沿逆 时针方向以原点为中心, C o y B A x L 解法1 令 , , 2 2 P = x − y Q = y − x 则 这说明积分与路径无关, 故 I x y x y x y AB( )d ( )d 2 2 = − + − − = a a x d x 2 a 为半径的上半圆周. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
解法2添加辅助线段BA,它与L所围区域为D,则 1=+842-)dx+0y2-xdy (2-y)dx+(v2-x)dy =0dxdy-g2ax=-a (利用格林公式) 思考： (1)若L改为顺时针方向如何计算下述积分 1=∫x2-3y)dx+0y2-xdy (2)若L同例2，如何计算下述积分 12=[,(x2-y+y2)dx+(v2-x)dy 等HIGH EDUCATION PRESS
解法2 BA, 它与L所围区域为D, C o y B A x L = D 0 d xd y x y x y x y BA( )d ( )d 2 2 − − + − x x a a d 2 − − D (利用格林公式) 思考: (2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分: = − + − L I (x y )d x ( y x)d y 2 2 2 2 + y = − + − L I (x y)d x ( y x)d y 2 2 1 3 3 3 2 = − a (1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分: + = − + − L BA I (x y)d x ( y x)d y 2 2 添加辅助线段 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考题解答： ()1=J(x2-3y)dx+(0y2-x)dy -LAB -5AB B --2Jpdxdyt3a-aGa-r 3 212=J2(x2-y+y2)dx+02-x)dy =J(x2-y)dx+G2-xdy+ L:x=acost,y=asint,t:0-→π =1-"asin3tdt = 2a3-203. .1=-2a HIGH EDUCATION PRESS
思考题解答: = − + − L I (x y)d x ( y x)d y 2 2 (1) 1 3 = − L+AB AB = − D 2 d xd y ) 3 2 ( 2 = a a − = − + − L I (x y )d x ( y x)d y 2 2 2 2 (2) + y = − + − L (x y)d x (y x)dy 2 2 + L y dx 2 a sin t d t 3 0 3 − L : x = acost, y = asint, 3 3 2 = − a 3 = −2a t : 0 → 3 3 2 + a = I C o y B A x L D 机动 目录 上页 下页 返回 结束