司数保 第十一章 级款的收敛、求和写展开 一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 三、幂级数和函数的求法 四、 函数的幂级数和付式级数 展开法 等HIGH EDUCATION PRESS
习题课 级数的收敛、求和与展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数 展开法 一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 第十一章
求和 n(x) S(x)(在收敛域内进行) n=0 展开 当x=x时为数项级数 4n(x) 当un(x)=anx”时为幂级数 n=0 un (x)=an cosnx+bn sinnx (an,bn为傅氏系数)时，为傅立叶级数 基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开」 等HIGH EDUCATION PRESS 动目最上页下页返回结球
求和 展开 (在收敛域内进行) 基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开. 为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数. 时为数项级数; 时为幂级数; an bn ( , 机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、 数项级数的审敛法 1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2.正项级数审敛法 必要条件lim un=0 n→a0 不满足一发散 满足 比值审敛法limm+1 三0 部分和极限 N n->wo Un 一不定 比较审敛法 根值审敛法lim4n=p 用它法判别 n→∞ 积分判别法 p 收敛 发散 HIGH EDUCATION PRESS 周f00o⊙
一、数项级数的审敛法 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数审敛法 必要条件 lim = 0 → n n u 不满足 发 散 满足 比值审敛法 lim n→ un+1 un = 根值审敛法 = → n n n lim u 1 收 敛 发 散 =1 不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.任意项级数审敛法 概念：∑为收敛级数 n=1 若， 收敛，称∑4n绝对收敛 n=1 n=1 若∑4发散，称∑4n条件收敛 n=1 n=1 Leibniz判别法：若4n≥4n+1>0,且lim4n=0 n00 则交错级数 ∑(-1)n收敛，且余项Tn≤n+1 =1 考HIGH EDUCATION PRESS
3. 任意项级数审敛法 为收敛级数 Leibniz判别法: 若 且 则交错级数 收敛 , 概念: 且余项 若 收敛 , 称 绝对收敛 若 发散 , 称 条件收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.若级数 ∑an与∑bn均收敛，且an≤cn≤b, n=】 n=] (n=1,2,),证明级数∑cn收敛 n=1 证：0≤cn-an≤bn-am(n=1,2,),则由题设 ∑b,-an)收敛→∑(cn-a)收敛 1 →立c-2e.-a+a,l =∑(cn-an)+∑an收敛 n= 练习题：P2571；2；3；4；5 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目最上页下页返回结束
例1. 若级数 均收敛 , 且 证明级数 收敛 . 证: n n n n 0 c − a b − a (n =1, 2 , ), 则由题设 ( ) 1 n n bn − a = 收敛 ( ) 1 n n n c − a = 收敛 [( ) ] 1 n n n n = c − a + a = ( ) 1 n n n = c − a = = + n 1 n a 收敛 练习题: P257 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 机动 目录 上页 下页 返回 结束
解答提示： P257题2.判别下列级数的敛散性 )1 (23 ncos2 nn 2n2 (3) n=1 2n (4)1 5a” (a>0,s>0 n 提示：(1).1imn=1,.Vε>0,3N,当n>N时，有 n→0 1、1 1-8</n<1+e nnn(1+8) 因调和级数发散，据比较判别法，原级数发散 等HIGH EDUCATION PRESS 周e00g⑧
解答提示: P257 题2. 判别下列级数的敛散性: 提示: (1) lim =1, → n n n 1− 1+ n n 因调和级数发散, 据比较判别法, 原级数发散 . 0 , N , 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2y 2n2 利用比值判别法，可知原级数发散 (3) 3 用比值法可断级数收效 n=l 2 再由比较法可知原级数收敛 00 1 n 因n充分大时0,s>0):用比值判别法可知 a1时发散 「s>1时收敛 a=1时，与p级数处比较可知 1s≤1时发散 等HIGH EDUCATION PRESS 盟0008
利用比值判别法, 可知原级数发散. 用比值法, 可判断级数 因 n 充分大时 , ln 1 1 10 n n ∴原级数发散 . : 2 cos (3) 1 3 2 n= n n n (5) ( 0, 0): 1 = a s n a n s n 用比值判别法可知: 时收敛 ; 时, 与 p 级数比较可知 s 1 时收敛; 时发散. 再由比较法可知原级数收敛 . s 1 a 1 a 1 时发散. a =1 发散, 收敛, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
P257题3.设正项级数∑4，和∑，都收敛，证明级数 n=1 n=1 ∑(n+n)也收敛 n=1 提示：因l1imun=limv=0,∴.存在V>0,当n>N时 n-→0 n-→00 unN) 利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确 等HIGH EDUCATION PRESS -0C08 机动目录上页下页返回结束
P257 题3. 设正项级数 和 也收敛 . 提示: 因 lim = lim = 0 , → → n n n n u v 存在 N > 0, 又因 2( ) 2 2 n n u + v 利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确. 都收敛, 证明级数 当n >N 时 机动 目录 上页 下页 返回 结束
P257题4.设级数∑4n收敛，且1imn=1,问级数 n=l n-→n1ln ∑y是否也收敛？说明理由 n=] 提示：对正项级数，由比较判别法可知 ∑yn收敛， n=1 但对任意项级数却不一定收敛.例如，取 (-1)”1 n nn lim =1+lim S (-1) 2=1 n-→oln n→oVn 00 00 级数∑4n收敛，级数∑yn发散. n=1 n=1 等HIGH EDUCATION PRESS 周f00o⑧
P257 题4. 设级数 收敛 , 且 是否也收敛？说明理由. 但对任意项级数却不一定收敛 . 问级数 提示: 对正项级数,由比较判别法可知 级数 收敛 , n n n u v → lim 收敛, 级数 发散 . n n n ( 1) 1 lim − = + → =1 例如, 取 n n v n n ( 1) 1 + − = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
P257题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性 (1) -r (2) n+1 n=1 元n+1 (3) ∑(-1)nn+ (4) ∑(-1)n(n+10 n=] n=l 提示：(1)P>1时，绝对收敛， 0<p≤1时，条件收敛； p≤0时，发散 U● (2)因各项取绝对值后所得强级数 收敛，故 原级数绝对收敛 等HIGH EDUCATION PRESS
; 1 (3) ( 1) ln 1 = + − n n n n P257 题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: ; sin (2) ( 1) 1 1 1 1 = + + + − n n n n 提示: (1) P >1 时, 绝对收敛 ; 0 < p ≤1 时, 条件收敛 ; p≤0 时, 发散 . (2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 . 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 1 1 1 收敛 = + n n