司题保 第九章 重积分的汁算及立用 一、重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、 重积分的应用 等HIGH EDUCATION PRESS
习题课 一、 重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 重积分的 计算 及应用
一、 重积分计算的基本方法 累次积分法 1.选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面（线）围成 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离。 2.选择易计算的积分序 积分域分块要少，累次积分易算为妙 3.掌握确定积分限的方法 图示法 (从内到外：面、线、点) 列不等式法 等HIGH EDUCATION PRESS 上页下页返回结砖
一、重积分计算的基本方法 1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 图示法 列不等式法 (从内到外: 面、线、点) 3. 掌握确定积分限的方法 —— 累次积分法 机动 目录 上页 下页 返回 结束
练习 P1242(3);6,7(1),(3) 补充题 计算积分 ∬x+do,其中D由y=2x, x+y=4,x+y=12所围成， 解答提示：接下页) 考HIGH EDUCATION PRESS 周000⑧
练习 计算积分 其中D 由 所围成. P124 2 (3) ; 6; 7 (1), (3) 补充题: 解答提示: (接下页) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
P1242③.计算二重积盼川2VR2-x2-y2dσ 其中D为圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域 提示：利用极坐标 0≤r≤R cos O r Rcos0 D-≤≤8 2R3g1-sm00 3 -j(-3 3 等HIGH EDUCATION PRESS
2 (3). 计算二重积分 其中D 为圆周 所围成的闭区域. 提示: 利用极坐标 r = Rcos 原式 = − 2 0 3 3 (1 sin )d 3 2 R y D R x o D : 0 r Rcos 2 2 − 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P124
P1246.把积分川∫(x,y,ddd化为三次积盼 其中2由曲面=x2+y2,y=x2及平面y=1,2=0 所围成的闭区域 提示：积分域为 0≤z≤x2+y2 ≤y≤1 -1≤x≤1 1 x2+y2 原式=「dx「dy∫f(x,y,ad -1x2 0 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
6. 把积分 化为三次积分, 其中由曲面 提示: 积分域为 : 原式 + 2 2 0 ( , , )d x y f x y z z 及平面 1 2 d x y − = 1 1 dx 所围成的闭区域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P124
P1247(1).计算积分 J∬n户ddyd:,其中n是两个球 x2+y2+z2≤R2及x2+y2+z2≤2R2 (R>0的公共部分 提示：由于被积函数缺x,y, 利用“先二后一”计算方便 原武-2：-以子-ddy 0:2x2R-子)d+,2R2-)d 59 πR5 480 等HIGH EDUCATION PRESS 周e000⑧
D1z D 2 z 7 (1) .计算积分 其中是两个球 ( R > 0 )的公共部分. 提示: 由于被积函数缺 x , y , 原式 = D z x y 1 d d z Rz z z R (2 )d 2 0 2 2 = − 利用“先二后一” 计算方便 . z z R d 2 0 2 D z x y 2 z z d d R R d 2 2 + z R z z R R ( )d 2 2 2 2 + − 5 480 59 = R R z y x o 2 R 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P124
P1247(3).计算三重积分 川2+z2)d,其中p是由 xo平面上曲线y2=2x绕x轴旋转而成的曲面与平面 飞=x所围成的闭区域 X=X 提示：利用柱坐标 y=rcos0 z=rsin r2≤x≤5 0 Ω： 0≤r≤V10 0≤0≤2π 250 等HIGH EDUCATION PRESS
7 (3).计算三重积分 其中是由 xoy平面上曲线 所围成的闭区域 . 提示: 利用柱坐标 sin cos z r y r x x = = = 原式 5 2 2 d r x 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 5 2 2 1 r x 0 r 10 0 2 r dr 10 0 3 = 2 0 d 3 250 = : z x y o 5 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P124
补充题计算积分∬Dx+y)do,其中D由y2=2x, x+y=4,x+y=12所围成 ↑1 ,2=2x 提示如图所示D=D2\D1, ☑ 2 f(xy)=x+y在D2内有定义且 0 4 连续，所以 -6 +d=+d +)dG =ay时'(x+wdx-d'+d =…=543 15 等HIGH EDUCATION PRESS 动目最上页下页返回结束
补充题. 计算积分 其中D 由 所围成 . 提示:如图所示 y 2x 2 = 4 2 − 4 − 6 o y x \ , D = D2 D1 f (x, y) = x + y在D2内有定义且 + = D (x y)d + 2 ( )d D x y − + 1 ( )d D x y 连续, 所以 − + y y x y x 12 2 2 ( )d − = 4 6 dy − + y y x y x 4 2 2 ( )d − − 2 4 dy 15 11 == 543 D1 D2 D 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、重积分计算的基本技巧 1.交换积分顺序的方法 2.利用对称性或重心公式简化计算 分块积分法 3.消去被积函数绝对值符号 利用对称性 4.利用重积分换元公式 练习题 P1231(总习题九)； P1244,7(2),9 解答提示：接下页) 》HIGH EDUCATION PRESS 周0008
二、重积分计算的基本技巧 分块积分法 利用对称性 1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或重心公式简化计算 3. 消去被积函数绝对值符号 练习题 4. 利用重积分换元公式 P123 1 (总习题九) ; P124 4, 7(2), 9 解答提示: (接下页) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
P1244.证明： mf()dx(a-)f 提示：左端积分区域如图 交换积分顺序即可证得 由球面x2+y2+2=1所围成的闭区域 提示：被积函数在对称域2上关于：为奇函数，利用 对称性可知原式为0. 等HIGH EDUCATION PRESS
− − = − a m a x y m a x a y e f x x a x e f x x 0 ( ) 0 ( ) 0 d ( )d ( ) ( )d 证明: 提示: 左端积分区域如图, D o y x y = x a 交换积分顺序即可证得. P124 4. 7(2). d , 1 ln( 1) 2 2 2 2 2 2 v x y z z x y z + + + + + + 求 其中是 1 2 2 2 x + y + z = 所围成的闭区域 . 提示: 被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数 , 利用 对称性可知原式为 0. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由球面 P124