《信号与系统》课程教学课件（PPT讲稿）§3.2 周期信号的频谱分析——傅里叶级数

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新疆大学信息科学与工程学院电子系 2011.1 §3.2 周期信号傅里叶 级数分析

主要内容 三角函数形式的傅氏级数 ·指数函数形式的傅氏级数 ·两种傅氏级数的送系 .频谱图 ·函数的对称性与傅里叶级数的送系 •周期信号的功率 傅里叶有限级数与最小方均误差

X 第 2 主要内容 页 •三角函数形式的傅氏级数 • 指数函数形式的傅氏级数 •两种傅氏级数的关系 • 频谱图 •函数的对称性与傅里叶级数的关系 •周期信号的功率 •傅里叶有限级数与最小方均误差

三角函数形式的傅里叶级数 1.三角函数集 {cos(no,t),sin(no,r)}是一个完备的正交函数集 t在一个周期内，n=0,1,.∞ 由积分可知 [cos(r@,)小sim(mo,上=0 且cosn@,)cos(m@,）小-z' m=n 0, n≠n 及sin)sinm，®）- m=n m≠n

X 第 3 一．三角函数形式的傅里叶级数 页 cos(n1 t),sin(n1 t) 是一个完备的正交函数集 t在一个周期内，n=0,1,. cos( ) sin( ) 0 2 2 1  1 = − T T n t m t ( ) ( )      =  = − m n m n T n t m t T T 0, , 2 cos cos 2 2 1 1 ( ) ( )      =  = − m n m n T n t m t T T 0, , 2 sin sin 2 2 1 1 由积分可知 1.三角函数集

2.级数形式 周期信号f(d),周期为T,基波角频率为0，= 2兀 T 在满足狄氏条件时，可展成 f0=a,+∑L.cos(no,）+b,sinno,p】 称为三角形式的傅里叶级数，其系数 直流分量 a=”0d 1o+7 余弦分量的幅度a.-子f0 d 刨题 正弦分量的幅度。，-子必”fe)snra,:

X 第 4 页 ( ) 1 1 1 2 , , T f t T  周期信号 周期为 基波角频率为 = 在满足狄氏条件时，可展成 ( )  cos( ) sin( ) (1) 1 0  1 1  = = + + n n n f t a a n t b n t 直流分量  + = t T t f t t T a 0 0 ( )d 1 0 余弦分量的幅度 ( )  + = t T t n f t n t t T a 0 0 ( )cos d 2 1 正弦分量的幅度 ( )  + = t T t n f t n t t T b 0 0 ( )sin d 2 1 称为三角形式的傅里叶级数，其系数 2．级数形式

其他形式 余弦形式 f0=c,+∑c,cosn@,t+p.） cn=Va好+b好 ,=arctan an Cn cOS On bn =-Cn sinPn 正弦形式f0)=d。+∑d,sim(a@,t+0.） ?arctan an dn sinOn b =dn cos0

X 第 5 其他形式 页 0 a0 c = 2 2 n n n c = a + b         − = n n n a b  arctan n n n a = c cos n n n b = −c sin 余弦形式 正弦形式 d0 = a0         = n n n a b  arctan an dn  n = sin bn dn  n = cos  ( )  = = + + 1 0 1 ( ) sin n n n f t d d n t  2 2 dn = an + bn ( ) cos( ) (2) 1 0  1  = = + + n n n f t c c n t 

幅度频率特性和相位频率特性 周期信号可分解为直流基波（⊙）和各次谐波 (no:基波角频率的整数倍)的线性组合。 cn~o关系曲线称为幅度频谱图； P~关系曲线称为相位频谱图。 可画出频谱图。 周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性

X 第 6 页 关系曲线称为幅度频谱图； 关系曲线称为相位频谱图。 可画出频谱图。 周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性 。 cn ~   n ~  幅度频率特性和相位频率特性 （ 基波角频率的整数倍）的线性组合。 周期信号可分解为直流，基波（ ）和各次谐波 : 1 1   n

二.指数函数形式的傅里叶级数 1.复指数正交函数集 n=0,±1，±2. 2.级数形式 f()=∑F(n@,)eor 3.系数 利用复变函数的正交特性 (at F(n)= einore-inor dt 也可写为 "f(De m dt n

X 第 7 二．指数函数形式的傅里叶级数 页 1．复指数正交函数集 e jn1 t  n = 0,1,2 2．级数形式 3．系数   − − = 1 1 1 1 1 0 j j 0 j 1 e e d ( ) e d ( ) T n t n t T n t t f t t F n     ( ) ( ) e (4) 1 j 1 n t n f t F n     =−  = ( )e d (5) 1 1 1 0 j  − = T n t f t t T  利用复变函数的正交特性 Fn 也可写为

说明 f0=∑F(no,)ene F()(eat ●周期信号可分解为（仁o,∞区间上的指数信号emt 的线性组合。 ●如给出F(no),则f(t)惟一确定(4)（⑤）式是一对 变换对

X 第 8 说明 页 ( ) 变换对。 •如给出F(n1 )， 则f t 惟一确定，(4)、(5)式是一对 ( ) 的线性组合。 周期信号可分解为 区间上的指数信号 n t 1 j , e  • −   ( ) ( ) e (4) 1 j 1 n t n f t F n     =−  = ( ) ( ) e d (5) 1 1 1 0 j 1  − = T n t f t t T F n  

两种系数之间的关系及频谱图 F()( 利用欧拉公式 f(co)d-(in(t)d =(an -jba) F(-n)=f()cos(n)dt+f()sin(nt)dt =+j6,） F(no,F(-no)是复数F(no,)=F(no,ep

X 第 9 三．两种系数之间的关系及频谱图 页  − = T n t f t t T F n 0 j 1 ( )e d 1 ( )  1 ( ) ( )   = − T T f t n t t T f t n t t T 0 1 0 1 ( )sin d 1 ( )cos d j 1   ( ) n n a jb 2 1 = − ( ) ( )   − = + T T f t n t t T f t n t t T F n 0 1 0 1 1 ( )sin d 1 ( )cos d j 1 (  )   ( ) an bn j 2 1 = + 利用欧拉公式 ( ) n F n F n    j 1 1 ( ), ( )是复数 = ( )e F n1 F −n1

幅频特性和相频特性 幅频特性 F(na 2 相频特性 Pr arctan n 关于o的偶函数（实际n取正值） 关于o的奇函数（实际n取正值） F(n@) 关于o的偶函数 ono) 关于o的奇函数

X 第 10 页 第 页 n n n F n a b c 2 1 2 1 ( ) 2 2 1 = + = 相频特性         − = n n n a b  arctan 幅频特性和相频特性 幅频特性 ( ) 关 于 的奇函数 关 于 的偶函数 关 于 的奇函数（实际 取正值） 关 于 的偶函数（实际 取正值）        ( ) 1 1 n F n b n a n n n