《田间试验统计》 第八章 单因素试验资料的统计分析

第八章单因素试验资料的统计分析 第一节对比法和间比法试验资料的统计分析 对比法和间比法试验,均属于顺序排列的试验设计,不能正确地估计出无偏的试验误 差,因而试验结果不能采用方差分析的方法进行显著性测验,一般采用百分比法,即设对 照(CK)的产量(或其他性状)为100,然后求出各处理的百分数和对照相比。顺序排列 亦具有一定优点,如设计简单,播种、观察和收获等工作不易发生差错,可按品种的成熟 期,株高等排列,以减少处理间的生长竞争 、对比法试验结果的统计分析 对比法的主要优点是,处理和对照彼此相邻,由于相邻小区的的土壤肥力比较相似 所以供试处理与对照的比较有较高的精确度。其主要缺点是对照占地面积太大,土地利用 率不高。本试验设计主要用于育种工作后期处理不很多而土壤肥力变化又较大,难以进行 局部控制之时。 [例8.1」有一大豆品种比较试验,A、B、C、D、E、F6个品种,另加一标准品种CK, 采用对比法设计,3次重复,小区计产面积66.7m2,所得产量结果列于表8.1,试作分 表8.1大豆品比试验(对比法)的产量结果与分析 品种名称 各重复小区产量(kg) 总和T1 平均xi对邻近CK的% 35.5 109.0 100.0 36.4 38.0 34.5 109.5 36.5 119.3 91.8 1000 35.0 31.0 102.5 97.3 106.7 329 277 100.0 25.8 29.7 29.5 32.3 30.5 32.7 100.0 1.计算各品种对相邻CK的%在表8.1,先将各品种在各重复中的小区产量相加, 得66.7x3=200m2面积上的产量总和T。然后将各个T除以重复次数,得小区平均产 量x(这一步骤可省略)。再计算各品种产量对邻近C产量的百分数

第八章 单因素试验资料的统计分析 第一节 对比法和间比法试验资料的统计分析 对比法和间比法试验，均属于顺序排列的试验设计，不能正确地估计出无偏的试验误 差，因而试验结果不能采用方差分析的方法进行显著性测验，一般采用百分比法，即设对 照（CK）的产量（或其他性状）为 100，然后求出各处理的百分数和对照相比。顺序排列 亦具有一定优点，如设计简单，播种、观察和收获等工作不易发生差错，可按品种的成熟 期，株高等排列，以减少处理间的生长竞争。 一、对比法试验结果的统计分析 对比法的主要优点是，处理和对照彼此相邻，由于相邻小区的的土壤肥力比较相似， 所以供试处理与对照的比较有较高的精确度。其主要缺点是对照占地面积太大，土地利用 率不高。本试验设计主要用于育种工作后期处理不很多而土壤肥力变化又较大，难以进行 局部控制之时。 ［例 8.l」有一大豆品种比较试验，A、B、 C、D、E、F6 个品种，另加一标准品种 CK， 采用对比法设计，3 次重复，小区计产面积 66.7m2，所得产量结果列于表 8.l，试作分 析。 表 8．1 大豆品比试验（对比法）的产量结果与分析 品种名称 各重复小区产量(kg) 总和 TI 平均 x i 对邻近 CK 的％ I II III CK A B CK C D CK E F CK 37.0 36.4 38.0 31.5 36.5 35.2 30.6 28.4 30.6 35.2 36.5 36.8 37.0 30.8 35.0 32.0 32.9 25.8 29.7 32.3 35.5 34.0 34.5 29.5 31.0 30.1 27.7 23.6 28.3 30.5 109.0 107.2 109.5 91.8 102.5 97.3 91.2 77.8 88.6 98.0 36.3 35.7 36.5 30.6 34.2 32.4 30.4 25.9 29.5 32.7 100.0 98.3 119.3 100.0 111.7 106.7 100.0 85.3 90.4 100.0 1．计算各品种对相邻 CK 的％ 在表 8.1，先将各品种在各重复中的小区产量相加， 得 66.7 x 3＝ 200m2 面积上的产量总和 Ti 。然后将各个 Ti除以重复次数，得小区平均产 量 i x (这一步骤可省略）。再计算各品种产量对邻近 CK 产量的百分数:

对邻近CK的%=感近CK总产量100某品种平均产感0 某品种总产量 邻近CK平均产量 例如:A品种对邻近CK的%1090100=983,或。357 ×100=983。其余品种皆 36.3 可类推 2.试验结论相对生产力大于100%的品种,其百分数愈高,就愈可能优于对照品种。 但决不能认为超过100%的所有品种都是显著地优于对照的,因为将品种与相邻CK相比只 是减少了误差,误差仍然是存在的,一般田间试验很难察觉处理间差异在5%以下的显著 性。所以对于对比法(包括间比法)的试验结果,要判断某品种的生产力确实优于对照 其相对生产力一般至少应超过对照10%以上:凡相对生产力仅超过对照5%左右的品种 均宜继续试验再作结论。当然,由于不同试验的误差大小不同,上述标准仅供参考。 在本例,B品种和C品种的产量均超过对照10%以上,大体上可以认为它们确实优于 对照.D品种产量仅超过对照6.7%(<10%),因而不能作出D品种的确优于对照的结论,尚 需进一步试验。 在农业生产上,作物产量习惯于用每亩产量表示。对比法试验结果,当欲以亩产量表 示时,首先应算得对照区的总产量。然后将对照区总产量乘以化对照区总产量为亩产量的 改算系数cf,得到对照的亩产量。 666.7 (8.1) 8.1式中的A是小区计产面积,以m为单位;n是小区数目。最后用各品种的相对生 产力乘对照的亩产量,即得各品种的亩产量 如本例,上表8.1可算得对照区总产量=109.0+91.8+98.0=390.0(kg),c=6667/(12 7)=0.8333,所以 对照种亩产量=390.0×0.8333=325.0(kg) A品种亩产量=325.0×98.3%=319.5(kg) B品种亩产量=325.0×119.3%=387.7(kg) 依此类推 二、间比法试验资料的统计分析 间比法的二个对照间安排了更多的小区,各处理要与两端对照的平均数(理论对照标 准CK)相比,因此其精确度较对比法为差。这类设计常用于育种初期阶段,如选种圃、品系 鉴定圃以及良种繁育时的株行圃,此时育种材料多、小区小,着重于优良性状的选择,产量 仅作参考。 例8.2]有一小麦新品系鉴定试验,共12个品系,另加一对照品种,采用间比法设 计,3次重复,小区计产面积20m,每隔4个品系设一个对照。所得产量结果列于表8.2

1 100 CK 100 CK CK  =  邻近 平均产量 某品种平均产量 邻近 总产量 某品种总产量 对邻近 的％＝ 例如：A 品种对邻近 CK 的％ 100 98.3 36.3 35.7 100 98.3 109.0 107.2 =  = ，或 =  = 。其余品种皆 可类推。 2. 试验结论 相对生产力大于 100％的品种，其百分数愈高,就愈可能优于对照品种。 但决不能认为超过 100％的所有品种都是显著地优于对照的，因为将品种与相邻 CK 相比只 是减少了误差，误差仍然是存在的，一般田间试验很难察觉处理间差异在５％以下的显著 性。所以对于对比法（包括间比法）的试验结果，要判断某品种的生产力确实优于对照， 其相对生产力一般至少应超过对照 10％以上；凡相对生产力仅超过对照５％左右的品种， 均宜继续试验再作结论。当然，由于不同试验的误差大小不同，上述标准仅供参考。 在本例，Ｂ品种和Ｃ品种的产量均超过对照 10％以上，大体上可以认为它们确实优于 对照. Ｄ品种产量仅超过对照 6.7％(<10％),因而不能作出Ｄ品种的确优于对照的结论,尚 需进一步试验。 在农业生产上，作物产量习惯于用每亩产量表示。对比法试验结果，当欲以亩产量表 示时，首先应算得对照区的总产量。然后将对照区总产量乘以化对照区总产量为亩产量的 改算系数 cf，得到对照的亩产量。 nA cf 666.7 = (8.1) 8.1 式中的 A 是小区计产面积，以 m 2 为单位；n 是小区数目。最后用各品种的相对生 产力乘对照的亩产量，即得各品种的亩产量。 如本例，上表 8.1 可算得对照区总产量＝109.0+91.8+98.0=390.0(kg)，cf=666.7/(12× 66.7)=0.8333，所以 对照种亩产量＝390.0×0.8333＝325.0(kg) A 品种亩产量 ＝325.0×98.3%＝319.5(kg) B 品种亩产量 ＝325.0×119.3%＝387.7(kg) ……，依此类推 二、间比法试验资料的统计分析 间比法的二个对照间安排了更多的小区，各处理要与两端对照的平均数(理论对照标 准 —— CK)相比，因此其精确度较对比法为差。这类设计常用于育种初期阶段，如选种圃、品系 鉴定圃以及良种繁育时的株行圃，此时育种材料多、小区小，着重于优良性状的选择,产量 仅作参考。 [例 8.2] 有一小麦新品系鉴定试验，共 12 个品系，另加一对照品种, 采用间比法设 计，3 次重复，小区计产面积 20m2 , 每隔 4 个品系设一个对照。所得产量结果列于表 8.2

试作分析 表8.2小麦品系鉴定试验(间比法)的产量结果与分析 各重复小区产量(kg) 总和T平均对照标准CK对CK的% 12.0 13.0 12.0 33 AL 13.013.0 40.0 13.33 12.50 106.6 12.0 13.00 12.50 04.0 AAMKAMAAKAAAA 13.013.012.0 38.012.67 12.50 101.4 12.0 13.0 38,0 13.0 40.0 13.33 103.8 15.014.0 114.3 12.0 13.014.014.0 41.013.67 106.5 14.013.012.0 10.011.0 12.0 33.0 12.34 13.0 l1.67 11.012.0 12.013.012.0 37.0 12.33 12.34 99.9 1.计算各品系和CK的平均产量将各品系和CK在各重复的小区产量相加得T 再除以重复数,得小区平均产量x;。 2.计算各品种的理论对照标准CK 如:A、AA、A4品系的=CK1+CK212.3312.67 12.5 其余各品种的CK依此类推。 3.计算各品系产量对相应CK产量的百分数,即得各品系的相对生产力(%)。 品系A1的平均产量 如品系A1的相对生产力(%) 品系A1的理论对照标准CK 100 ×100=106.6 其余各品系的相对生产力按同法计算。 4.试验结论试验结果表明,相对生产力超过CK10%以上的有品系A6,相对生产 力超过CK5%以上的有品系A1和A8。其中A的增产幅度最大,品系A1和A尚需作进一 步试验

2 试作分析。 表 8.2 小麦品系鉴定试验（间比法）的产量结果与分析 品 系 各重复小区产量 （kg） 总和 Ti 平均 i x 对照标准 —— CK 对 —— CK的% Ⅰ Ⅱ Ⅲ CK1 A1 A2 A3 A4 CK2 A5 A6 A7 A8 CK3 A9 A10 A11 A12 CK4 12.0 13.0 12.0 13.0 13.0 14.0 14.0 12.0 13.0 12.0 13.0 12.0 13.0 13.0 12.0 13.0 12.0 13.0 13.0 14.0 13.0 15.0 14.0 15.0 13.0 13.0 12.0 13.0 14.0 14.0 14.0 13.0 12.0 10.0 11.0 12.0 10.0 12.0 13.0 11.0 12.0 13.0 12.0 13.0 12.0 12.0 11.0 12.0 37.0 40.0 39.0 37.0 38.0 38.0 40.0 44.0 38.0 41.0 39.0 33.0 35.0 36.0 37.0 35.0 12.33 13.33 13.00 12.33 12.67 12.67 13.33 14.67 12.67 13.67 13.00 11.00 11.67 12.00 12.33 11.67 12.50 12.50 12.50 12.50 12.84 12.84 12.84 12.84 12.34 12.34 12.34 12.34 106.6 104.0 98.6 101.4 103.8 114.3 98.7 106.5 89.1 94.6 97.2 99.9 1．计算各品系和 CK 的平均产量 将各品系和 CK 在各重复的小区产量相加得 Ti ， 再除以重复数，得小区平均产量 i x 。 2. 计算各品种的理论对照标准 —— CK 如：A1、A2、A3、A44 品系的 —— CK = CK1+CK2 2 = 12.33+12.67 2 =12.5 其余各品种的 —— CK依此类推。 3．计算各品系产量对相应 —— CK产量的百分数，即得各品系的相对生产力（％）。 如品系 A1 的相对生产力（％）= 品系A1的平均产量 品系A1的理论对照标准CK ×100 = 13.33 12.5 × 100=106.6 其余各品系的相对生产力按同法计算。 4. 试验结论 试验结果表明，相对生产力超过 —— CK 10％以上的有品系 A6，相对生产 力超过 —— CK 5％以上的有品系 A1 和 A8 。其中 A6 的增产幅度最大，品系 A1 和 A8 尚需作进一 步试验

第二节单因素完全随机试验资料的统计分析 完全随机设计是将具有n次重复的k个处理完全随机地布置到各个试验单元中去的试 验方法,并未施以“局部控制”,它是试验设计中最简单的一种,广泛应用于环境变异较小 的盆栽试验、温室试验和实验室试验,在田间试验中很少应用。完全随机设计的主要优点 为设计方便,分析简易,方差分析时不受缺失数据的影响;缺点是当土壤肥力差异增大时 会增大试验误差,故其应用范围有一定限制。 单因素完全随机设计的试验资料,只在一个因素内有不同的处理级别,因而,将其整 理后的资料为单向分组资料(见表7.1),组间的总和数T或组间的平均数x之间的差异反 映的是处理效应;组内重复观察值之间的差异反映的是误差效应 、各处理观察值数目相等的单向分组资料 在k个处理中,每处理皆含有n个供试单位的资料称为组内观察值数目相等的单向分 组资料如表7.1。在作方差分析时,其任一观察值的线性模型皆由720式表示,方差分析表 如表8.3。 表83组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析 变异来源自由度 平方和 期望均方(EMS) F DE SS MS 固定模式随机模式 处理间 k-1n∑(x1-x) g-+mK- C-+mo 误差kn-)∑∑(x-x) 总变异 1k-1 例8.3]研究6种氮肥施用法(k=6)对小麦的效应,每种施肥法种5盆小麦(n=5),完全 随机设计,最后测定它们的含氮量(mg),其结果如表8.4。试作方差分析。 表8.46种施肥法小麦植株的含氮量(mg) 施氮法 129 10.5 14.6 14.0 10.8 14.6 13.3 12.2 10.7 44 13.7 13.6 10.8 13.0 14.4 13.7 13.76 13.12 10.66 1448 13.64

3 第二节 单因素完全随机试验资料的统计分析 完全随机设计是将具有 n 次重复的 k 个处理完全随机地布置到各个试验单元中去的试 验方法，并未施以“局部控制”，它是试验设计中最简单的一种，广泛应用于环境变异较小 的盆栽试验、温室试验和实验室试验，在田间试验中很少应用。完全随机设计的主要优点 为设计方便，分析简易，方差分析时不受缺失数据的影响；缺点是当土壤肥力差异增大时， 会增大试验误差，故其应用范围有一定限制。 单因素完全随机设计的试验资料，只在一个因素内有不同的处理级别，因而，将其整 理后的资料为单向分组资料（见表 7.1），组间的总和数 Ti 或组间的平均数 i x 之间的差异反 映的是处理效应；组内重复观察值之间的差异反映的是误差效应。 一、各处理观察值数目相等的单向分组资料 在 k 个处理中，每处理皆含有 n 个供试单位的资料称为组内观察值数目相等的单向分 组资料如表 7.1。在作方差分析时，其任一观察值的线性模型皆由 7.20 式表示, 方差分析表 如表８.３。 表 8.3 组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析 变异来源 自由度 DF 平方和 SS 均 方 MS Ｆ 期望均方(EMS ) 固定模式 随机模式 处理间 误 差 k-1 k(n-1) n∑ 2 i (x − x) 2 ij i  (x − x ) 2 2 e t s s 2 2 / t e s s 2 2  + m  2  2 2  + m  2  总变异 nk-1 2 (x x)  ij − [例 8.3]研究 6 种氮肥施用法(k=6)对小麦的效应，每种施肥法种 5 盆小麦(n=5)，完全 随机设计，最后测定它们的含氮量(mg)，其结果如表 8.4。试作方差分析。 表 8.4 6 种施肥法小麦植株的含氮量(mg) 施 氮 法 1 2 3 4 5 6 12.9 12.3 12.2 12.5 12.7 14.0 13.8 13.8 13.6 13.6 12.6 13.2 13.4 13.4 13.0 10.5 10.8 10.7 10.8 10.5 14.6 14.6 14.4 14.4 14.4 14.0 13.3 13.7 13.5 13.7 xi =12.52 13.76 13.12 10.66 14.48 13.64

为了简化分析,首先将表84各x值皆减去10由此算得的平方和与由原观察值算得 的完全相同,而得到表85。 表8.56种施氮法的小麦植株含氮量(将表84各值作x-10转换) 处理 4 5 6 总和 2.9 4.0 0.5 2.3 4.6 3.3 2.2 3.8 3.4 0.7 4.4 3.7 2.5 3.6 4 0.8 4.4 3.5 0.5 12.6 18.8 15.6 3.3 22.4 18.2 T=90.9 1.结果整理首先将原始资料整理成单向分组资料(如表8.4):然后将各处理(不 同施氮法)的每盆含氮量相加得T(用于求处理平方和Ss),除以n得x(用于进行多重比 较):再将全试验各盆含氮量相加得7(用于求矫正数C) 2.自由度与平方和的分解据各自由度公式可得 总变异自由度DFr=mk-1=6×5 处理间自由度DF=k-1=6-1=5 误差(处理内由度DF=k(n-1)=65-1)=24 以下按各平方和公式求得 矫正数C== 30=275427 SSr=∑x2-C=2.92+2.32+…+3.72-C=45.763 1262+18.8 182 =SSr-SS1=45.763-44463=1.300 3.F测验 S288926 =16407 S20.0542 表86表8.5资料的方差分析 变异来源 处理间 44.463 8.8926 45.763

4 为了简化分析，首先将表 8.4 各 xij 值皆减去 10(由此算得的平方和与由原观察值算得 的完全相同，而得到表 8.5。 表 8.5 6 种施氮法的小麦植株含氮量（将表 8.4 各值作 xij-10 转换） 处理 1 2 3 4 5 6 总和 2.9 2.3 2.2 2.5 2.7 4.0 3.8 3.8 3.6 3.6 2.6 3.2 3.4 3.4 3.0 0.5 0.8 0.7 0.8 0.5 4.6 4.6 4.4 4.4 4.4 4.0 3.3 3.7 3.5 3.7 Ti 12.6 18.8 15.6 3.3 22.4 18.2 T=90.9 1．结果整理 首先将原始资料整理成单向分组资料（如表８.４）；然后将各处理（不 同施氮法）的每盆含氮量相加得 Ti（用于求处理平方和 SSt），除以ｎ得 i x (用于进行多重比 较)；再将全试验各盆含氮量相加得 T (用于求矫正数 C)。 2．自由度与平方和的分解 据各自由度公式可得 ( ) ( 1) 6(5 1) 24 1 6 1 5 1 6 5 1 29 = − = − = = − = − = = − =  − = DF k n DF k DF nk e t T 误差 处理内自由度 处理间自由度 总变异自由度 以下按各平方和公式求得 45.763 44.463 1.300 44.463 5 12.6 18.8 18.2 2.9 2.3 3.7 45.763 275.427 30 (90.9) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − = − = − = + + + − =  = =  − = + + + − = = = = e T t i t T SS SS SS C C n T SS SS x C C nk T C   矫正数 3．F 测验 164.07 0.0542 8.8926 2 2 = = = e t S S F 表 8.6 表 8.5 资料的方差分析 变异来源 DF SS MS F F0.01 处理间 误 差 5 24 44.463 1.300 8.8926 0.0542 164.07 3.90 总变异 29 45.763

按v1=5,v。=24,查F表得F=390,现实得F>F0,故,P<0.01,因而推断: 否定H0:41=42=…=μ6,即6种施氮法的植株含量是显著不同的 4.多重比较——各处理平均数x的比较 在此用新复极差测验,算得 Se= 20542 =0.104l(mg) 1 然后按v=24,从附表8查出p=23…,6时的 SSRoos和 SSRoor,并按7.17式即 LSR=SSR·SE算得各种p时的 L SRoo5和 LSRoOL1值于表87。 表87表8.5资料新复极差测验的LSR值 3 SSRoo 3.07 3.22 4.14 4.33 4.39 0.304 0.319 0.341 0.457 5.试验结论 根据表87的LSR005和LSR01尺度,即可作出6个平均数的多重比较于表8.8。表88 的测验结果说明,除掉第2法和第6法之间的差异为不显著外,其余各种方法间的差异都 达到a=001水平。 表8.86种施氮法植株含氮量的差异显著性 平均数 差异显著性 施氮法 14.48 5263 13.76 %abb BBc 13.12 D 4 E 、各处理观察值数目不等的单向分组资料 若k处理中观察值的数目分别为n1、m、……、n,则为组内观察值数目不等的单向分 组资料。其方差分析的原理、步骤与处理内观察值数目相等的资料完全相同,不同的是各 处理的n不等,所以在方差分析时,下列有关公式作了相应改变: 1.分解平方和与自由度的公式

5 按 vt = 5, ve = 24 ，查 F 表得 F0.01=3.90，现实得 F >>F0.01，故，P<<0.01，因而推断： 否定 0 1 2 6 H :  =  ==  ，即 6 种施氮法的植株含量是显著不同的。 4．多重比较——各处理平均数 i x 的比较 在此用新复极差测验，算得 0.1041( ) 5 0.0542 2 mg n S SE e = = = 然后按 ve=24，从附表 8 查出 p=2,3,…，6 时的 SSR0.05 和 SSR0.01，并按 7.17 式即 LSR = SSR  SE 算得各种 p 时的 LSR0.05 和 LSR0.01 值于表 8.7。 表 8.7 表 8.5 资料新复极差测验的 LSR 值 P 2 3 4 5 6 SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05,24 LSR0.01,24 2.92 3.96 0.304 0.412 3.07 4.14 0.319 0.431 3.15 4.24 0.328 0.441 3.22 4.33 0.335 0.450 3.28 4.39 0.341 0.457 5．试验结论 根据表 8.7 的 LSR0.05 和 LSR0.01 尺度，即可作出 6 个平均数的多重比较于表 8.8。表 8.8 的测验结果说明，除掉第 2 法和第 6 法之间的差异为不显著外，其余各种方法间的差异都 达到  = 0.01 水平。 表 8.8 6 种施氮法植株含氮量的差异显著性 施氮法 平均数 i x 差异显著性 5% 1% 5 2 6 3 1 4 14.48 13.76 13.64 13.12 12.52 10.66 a b b c d e A B B C D E 二、各处理观察值数目不等的单向分组资料 若 k 处理中观察值的数目分别为 n1、n2、……、nk, 则为组内观察值数目不等的单向分 组资料。其方差分析的原理、步骤与处理内观察值数目相等的资料完全相同，不同的是各 处理的 ni 不等，所以在方差分析时，下列有关公式作了相应改变： 1．分解平方和与自由度的公式

总变异自由度DFr=∑n1-1 处理间自由度DF1=k-1 (8.2) 误差自由度DFe=∑n;-k 总变异平方和 Ssr=∑(x-x)2=2x2-C 处理间平方和S=∑n(x1-x)2=X()-C 误差平方和 ∑∑(x-x)=s-s (83) 2.多重比较时标准误的公式由于各处理的重复数不等,可先算得各n的平均数 n)2-∑n2 (84) ∑n1)(k-1) 然后有 SE= (8.5) no (8.6) [例84]小麦三个新品系A、A2、A3和A4(对照)籽粒蛋白质的测定结果如表89所示, 试测验其蛋白质含量的差异显著性。 表89小麦新品系和对照籽粒蛋白质含量 蛋白质含量(%) 11.110813.112.312.513.1 12.15 12.313.212.813412.1 63.8 10.311.211812.110.511.811.2 78.9 1127 A4 (CK) 11.212.112.411.812.8

6 总变异自由度 DFT = ∑ni -1 处理间自由度 DFt = k-1 （8.2） 误差自由度 DFe =∑n i -k ni T C  = 2 总变异平方和   = − =  − ni SST x x x C 1 2 2 ( ) 处理间平方和 = − =  − k i i t i i C n T SS n x x 1 2 2 ( ) ( ) 误差平方和 = − = − k T t n SSe x xi SS SS i 1 1 2 ( ) （8.3） 2．多重比较时标准误的公式 由于各处理的重复数不等，可先算得各 ni 的平均数 n0。 ( )( 1) ( ) 2 2 0  −  −  = n k n n n i i i （8.4） 然后有 0 2 n s SE e = （8.5） 或 0 2 2 1 2 n s S e x −x = （8.6） [例 8.4] 小麦三个新品系 A1、A2、A3 和 A4(对照)籽粒蛋白质的测定结果如表 8.9 所示， 试测验其蛋白质含量的差异显著性。 表 8.9 小麦新品系和对照籽粒蛋白质含量 品 系 蛋白质含量（%） n i Ti i x A1 A2 A3 A4（CK） 11.1 10.8 13.1 12.3 12.5 13.1 12.3 13.2 12.8 13.4 12.1 10.3 11.2 11.8 12.1 10.5 11.8 11.2 11.2 12.1 12.4 11.8 12.8 6 5 7 5 72.9 63.8 78.9 60.3 12.15 12.76 11.27 12.06 ∑ n i =23 T =275.9

1.结果整理先将原始资料整理成单向分组资料,再依次求出n;、T;、,、∑n和 T(如表8.9)。 2.自由度与平方和的分解根据82式及83式可得 总变异自由度DFr=∑n1=23-1=22 处理间自由度DF=k1=4-1=3 误差自由度DFe=∑m-k=23-4=19 C=27592 330960 23 总变异平方和SSr=(1l12+10.82+…+12.82)-3309.60=17.15 处理间平方和S=(292638278926032 )-330960=6.77 6 7 误差平方和SSe=17.15-6.77=10.38 3.F测验 表8.10表89资料的方差分析 显著水平 变异来源 DA S F 0.05 3.13 10.38 0.55 总变异 17.15 F测验结果,F>F06,说明不同小麦品系间蛋白质的含量有显著差异,应进 作多重比较。 4.多重比较一一各处理平均数x,的比较由84式可得 在此用新复极差测验(LSR法)该法不仅能测验各新品系与对照间差异显著性,还能 测验各品种相互比较的差异显著性。由8.5式可得 3×(4-1) 由8.5式可得 查附表8,当误差自由度v=19时,p自2到4的SSR00s和 SPool1的值,并计算各LSF 值于表8.11

7 1．结果整理 先将原始资料整理成单向分组资料，再依次求出 n i 、Ti 、 i x 、ni 和 T（如表８.9）。 2．自由度与平方和的分解 根据 8.2 式及 8.3 式可得 总变异自由度 DFT =∑n i-1=23-１=22 处理间自由度 DFt = k-1 = 4-１=3 误差自由度 DFe =∑ni-k=23-4=19 3309.60 23 275.9 2 C = = 总变异平方和 SST =（11.12 + 10.82 + … + 12.82）-3309.60=17.15 处理间平方和 SSt =（ 5 60.3 7 78.9 5 63.8 6 72.9 2 2 2 2 + + + ）-3309.60=6.77 误差平方和 SSe = 17.15-6.77=10.38 3．F 测验 表 8.10 表 8.9 资料的方差分析 变异来源 DF SS MS F 显著水平 0.05 0.01 处 理 误 差 3 19 6.77 10.38 2.26 0.55 4.11 3.13 5.01 总变异 22 17.15 F 测验结果，F > F0.05 ，说明不同小麦品系间蛋白质的含量有显著差异，应进一步 作多重比较。 4．多重比较——各处理平均数 i x 的比较 由 8.4 式可得 在此用新复极差测验（LSR 法） 该法不仅能测验各新品系与对照间差异显著性，还能 测验各品种相互比较的差异显著性。由 8.5 式可得 5.7 6 23 (4 1) 23 (6 5 7 6 ) 2 2 2 2 2 0 =   − − + + + n = 由 8.5 式可得 0.30 6 0.55 0 2 = = = n s SE e 查附表 8，当误差自由度 ve =19 时，p 自 2 到 4 的 SSR0.05 和 SSR0.01 的值，并计算各 LSR 值于表 8.11

表8.11表89资料新复极差测验的LSR 表812表89资料新复极差测验 4 处理 平均蛋白质 差异显著性 AB 0.890.930.96 12.06 AB LSRool 1.22 1.27 1.31 A3(CK)l1.27 5.试验结论:表8.12表明A2、A3间蛋白质含量差异极显著,其它之间均不显著 三、各处理又可分为亚组的单向分组资料 单向分组资料,如果每组又分若干个亚组,而每个亚组内又有若干个观察值,则为组 内分亚组的单向分组资料,简称系统分组资料。系统分组并不限于组内仅分亚组,亚组内 还可分小组,小组内还可分小亚组,……如此一环套一环地分下去。这种试验的设计称为 巢式设计( Nested design)。在农业试验上系统分组资料亦是常见的。如对数块土地取土样 分析,每块地取了若干样点,而每一样点的土样又作了数次分析的资料,或调查某种果树 危害,随机取若干株,每株取不同部位枝条,每枝条取若干叶片査其各叶片病斑数的资料 等,皆为系统分组资料。以下我们仅讨论二级分组观察值数目相等的系统分组资料的方差 分析。 设一系统分组资料共有l组,每组内又分m个亚组,每一亚组内有n个观察值,则该 资料共有lm个观察值,其资料类型如表8.13。 表8.13中每一观察值的线性可加模型为 Xik=A+,+E+Sik (8.7) 表8.13二级系统分组资料lm个观察值的符号 (1,2,…,=1,2,…,m,k=1,2,…n) xi12 x:22 xii? xiIn en 亚组总和 T T=∑ 组总和T7 T T 亚组均数订 Mil i2 Iy xu 组均数x x=T/Imn

8 表 8.11 表 8.9 资料新复极差测验的 LSR 表 8.12 表 8.9 资料新复极差测验 p 2 3 4 处理 平均蛋白质 含 量 差异显著性 0.05 0.01 SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01 2.96 4.05 0.89 1.22 3.11 4.24 0.93 1.27 3.19 4.35 0.96 1.31 A2 A1 A4 A3（CK） 12.76 12.15 12.06 11.27 a ab ab b A AB AB B 5．试验结论：表 8.12 表明 A2、A3 间蛋白质含量差异极显著，其它之间均不显著。 三、各处理又可分为亚组的单向分组资料 单向分组资料，如果每组又分若干个亚组，而每个亚组内又有若干个观察值，则为组 内分亚组的单向分组资料，简称系统分组资料。系统分组并不限于组内仅分亚组，亚组内 还可分小组，小组内还可分小亚组，……如此一环套一环地分下去。这种试验的设计称为 巢式设计（Nested design）。在农业试验上系统分组资料亦是常见的。如对数块土地取土样 分析，每块地取了若干样点，而每一样点的土样又作了数次分析的资料，或调查某种果树 危害，随机取若干株，每株取不同部位枝条，每枝条取若干叶片查其各叶片病斑数的资料 等，皆为系统分组资料。以下我们仅讨论二级分组观察值数目相等的系统分组资料的方差 分析。 设一系统分组资料共有 l 组，每组内又分 m 个亚组，每一亚组内有 n 个观察值，则该 资料共有 lmn 个观察值，其资料类型如表 8.13。 表 8.13 中每一观察值的线性可加模型为 ijk i ij ijk x =  + +  +  （8.7） 表 8.13 二级系统分组资料 lmn 个观察值的符号 （i=1,2,… ,l; j=1,2,…,m; k=1,2,…,n） 组 别 1 2  i  l    1 2 j m      ln 1 12 11 i i k i i x x x x   i n i k i i x x x x 2 2 22 21   ijm ij ij x x x    2 1 imn im iml x x x    2  亚组总和 Tij 组总和 Ti 亚组均数 ij x 组均数 i x T1 1 x T2 2 x …… …… Ti1 i1 x Ti2 i2 x i ij i ij x x T T im im x T   Tl l x T =  x x = T / lmn

以上μ为全体平均;τ为组效应或处理效应,可以是固定模型或随机模型;s为同组 中各亚组的效应,一般为随机变异,具有N(0G3);:k为同一亚组中各观察值的变异,具 有N(0a2)。上式说明,表8.13的任一观察值的总变异(x-)可分解为3种变异因素的 变异:(1)组间(或处理间)变异;(2)同一组内亚组间变异;(3)同一亚组内各观察值 的变异。其自由度和平方和的估计如下: 自由度=lmn-1 (8.8) (x-x) 其中 (8.9) 2.组间(处理间)变异 自由度=l-1 ∑T2 (8.10) -x)= 3.同一组内亚组间的差异 自由度=1(m-1) nG, -x).27: 2r- (8.11) 4.亚组内的变异 自由度=lm(n-1) ∑m( 因而可得方差分析表于表8.14 表814二级系统分组资料的方差分析 期望均方(EMS) 变异来源 F 随机模型 mn2(,-1)2 52/32l 02+no2 +mno2 o+no3+mnc2 组内亚组间m-1)∑Σm(x-x)ss/52a2+n3 +n0 亚组内m0n-1)∑∑∑(x-x)2s2 总变异Lmn1

9 以上  为全体平均； i  为组效应或处理效应，可以是固定模型或随机模型； ij  为同组 中各亚组的效应，一般为随机变异，具有 2 (0, N  )；  ijk 为同一亚组中各观察值的变异，具 有 (0, ) 2 N  。上式说明，表 8.13 的任一观察值的总变异（ x −  ）可分解为 3 种变异因素的 变异：（1）组间（或处理间）变异；（2）同一组内亚组间变异；（3）同一亚组内各观察值 的变异。其自由度和平方和的估计如下： 1．总变异      = − = − = −   lmn SST x x x C lmn 1 2 ( ) 自由度 1 （8.8） 其中 lmn T C 2 = （8.9） 2．组间（处理间）变异      −  = − = = −  l i T i C mn T SS mn x x l 1 2 2 ( ) 自由度 1 （8.10） 3．同一组内亚组间的差异      = − = − = −  l m  ij  i e ij i mn T n T SS n x x l m 1 1 2 2 2 1 ( ) 自由度 ( 1) （8.11） 4．亚组内的变异      = − = − = −    l m n ij e ijk ij ijk n T SS n x x x lm n 1 1 1 2 2 2 2 ( ) 自由度 ( 1) （8.12） 因而可得方差分析表于表 8.14 表 8.14 二级系统分组资料的方差分析 变异来源 DF SS MS F 期望均方（EMS） 混合模型 随机模型 组 间 组内亚组间 亚 组 内 ( 1) ( 1) 1 − − − lm n l m l 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ij ij i i x x n x x mn x x    −   −  − 2 2 2 1 2 1 e e s s s 2 2 2 1 2 1 2 / / e e t e s s s s 2 2 2 2 2 2          n n mn + + + 2 2 2 2 2 2          n n mn + + + 总 变 异 Lmn-1 2 (x − x)