《田间试验统计》 第九章 多因素试验资料的统计分析

第九章多因素试验资料的统计分析 多因素试验是指两个或两个以上试验因素的试验,其处理组合数为各因素水平数之积 例如二因素试验中,一因素4水平,另一因素5水平,则这一试验就有4×5=20个处理组合 多因素试验因设计类型不同,故处理组合以不同方式进行田间排列,如完全随机、随机区组 拉丁方、裂区设计和条区设计等等。 第一节二因素完全随机试验资料的统计分析 因素试验的所有处理组合在试验中完全随机排列,而整理资料时,试验数据是按两个 因素交叉分组的,即为两向分组(或称交叉分组)的完全随机试验。 如选用几种温度和几种培养基培养某种真菌,以研究其生长速度,其每个观察值都是某 温度和某一培养基的组合同时作用的结果,故属两向分组资料,因所有观察值是在所有组 合完全随机排列下得到的,故又称二因素完全随机试验。完全随机试验按照处理组合内有无 重复观察值分为两种方差分析方法。 、无重复观察值的二因素试验资料 1.无重复观察值的二因素试验结果的分析 设有A和B两个因素,A因素有a个处理,B因素有b个处理,每一处理组合仅有1个 观察值,则全试验共有ab个观察值,其资料类型如表9.1 表91完全随机设计的二因素试验每处理组合只有一个观察值的资料符号 无重复观察值的二因素试验也叫只有单个观察值的二因素试验,其各项变异来源自由度 与平方和的估计及方差分析见表92。 表92表9.1类型资料自由度和平方和的分解及方差分析 上述这种试验资料如果A、B存在互作,则与误差混淆,因而无法分析互作,也不能取 得合理的试验误差估计。只有AB互作不存在时,才能正确估计误差。但在田间试验上, 9.2类型的方差分析却是常用的。因为在随机区组试验(见第8章)中,处理可看作A因素, 区组可看作B因素:而区组效应是随机模型的,处理和区组的互作在理论上又是不应存在的。 但是,这种设计的误差项自由度一般不应小于12,以较精确地估计误差。 (1)结果整理:将试验结果数据列成两向分组表,见表93。 (2)自由度和平方和的分解;根据表9.2,将各项自由度直接填于表94。以下分解平方和, 求得 6×4=9487838

1 第九章 多因素试验资料的统计分析 多因素试验是指两个或两个以上试验因素的试验，其处理组合数为各因素水平数之积。 例如二因素试验中，一因素 4 水平，另一因素 5 水平，则这一试验就有4×5=20个处理组合， 多因素试验因设计类型不同，故处理组合以不同方式进行田间排列，如完全随机、随机区组、 拉丁方、裂区设计和条区设计等等。 第一节 二因素完全随机试验资料的统计分析 二因素试验的所有处理组合在试验中完全随机排列，而整理资料时，试验数据是按两个 因素交叉分组的，即为两向分组（或称交叉分组）的完全随机试验。 如选用几种温度和几种培养基培养某种真菌，以研究其生长速度，其每个观察值都是某 一温度和某一培养基的组合同时作用的结果，故属两向分组资料，因所有观察值是在所有组 合完全随机排列下得到的，故又称二因素完全随机试验。完全随机试验按照处理组合内有无 重复观察值分为两种方差分析方法。 一、无重复观察值的二因素试验资料 １．无重复观察值的二因素试验结果的分析 设有 A 和 B 两个因素，A 因素有 a 个处理，B 因素有 b 个处理，每一处理组合仅有 1 个 观察值，则全试验共有 ab 个观察值，其资料类型如表 9.1。 表 9.1 完全随机设计的二因素试验每处理组合只有一个观察值的资料符号 无重复观察值的二因素试验也叫只有单个观察值的二因素试验，其各项变异来源自由度 与平方和的估计及方差分析见表 9.2。 表 9.2 表 9.1 类型资料自由度和平方和的分解及方差分析 上述这种试验资料如果 A、B 存在互作，则与误差混淆，因而无法分析互作，也不能取 得合理的试验误差估计。只有 AB 互作不存在时，才能正确估计误差。但在田间试验上，表 9.2 类型的方差分析却是常用的。因为在随机区组试验（见第８章）中，处理可看作 A 因素， 区组可看作 B 因素；而区组效应是随机模型的，处理和区组的互作在理论上又是不应存在的。 但是，这种设计的误差项自由度一般不应小于 12，以较精确地估计误差。 (1)结果整理：将试验结果数据列成两向分组表，见表 9.3。 (2)自由度和平方和的分解；根据表9.2，将各项自由度直接填于表 9.4。以下分解平方和， 求得 94 878.38 6 4 15092 =  C =

SSr=602+652+…+652-C=11462 2432+2632+…+2502 C=65.87 SS.=11462-6587-545=43.30 表94表9.3资料的方差分析 (3)F测验:将上述结果录于表94,并算得各MS值。对温度间有无不同效应作F测验 有 1.82 F 对处理间有无不同效应F测验有H:k2=0,得 2.89 推断:温度间无显著差异,不同生长素处理有显著差异。 (4)处理间比较:此例有预先指定的对照,故用DLSD法。求得 2×289 .r? 1.201(节间) 当p=5,v=15时,Do0s=2.90,Do1=3.70,故 DLSD0s=1.201×290=348(节间) DLSDo01=1.201×3.70=444(节间 以DLSD测验各生长素处理与对照的差异显著性于表9.5。 (5)试验结论:由于温度间F测验差异不显著,所以说明不同温度对豌豆见第一朵花时的 总节间数变化影响不大;生长素处理F测验差异显著,其中赤霉素处理的豌豆总节间数最多, 并与对照差异达极显著,其余处理皆与对照无显著差异。 2.线性模型与期望均方 表9.1中任一观察值的线性模型为 μ+t+β,+ (9.1) 上式的μ为总体平均:t和B,分别为因素A和B的效应,可以是固定模型或随机模型 En为随机误差,它彼此独立,并来自正态总体M(Qa2)。上式说明表91类型资料的总变异 (xn-)可分解为A因素处理间效应τ、B因素处理间效应阝,和试验误差Ey三个部分 表9.1类型资料的各变异来源的期望均方见表92

2 114.62 65.87 5.45 43.30 5.45 6 375 382 377 375 65.87 4 243 263 250 60 65 65 114.62 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − − = − = + + + = − = + + + = = + + + − = e B A T SS SS C SS C SS C   表 9.4 表 9.3 资料的方差分析 (3) F 测验：将上述结果录于表 9.4，并算得各 MS 值。对温度间有无不同效应作 F 测验 有 H0： 0 2  = ，得 1 2.89 1.82 F =  对处理间有无不同效应 F 测验有 H0： 0 2 k = ，得 52 0.05 4. 2.89 13.17 F = =  F 推断：温度间无显著差异，不同生长素处理有显著差异。 (4)处理间比较：此例有预先指定的对照，故用 DLSD 法。求得 1.201( ) 4 2 2.89 1 2 = 节间  sx −x = 当 p=5，ve=15 时，Dt0.05=2.90，Dt0.01=3.70，故 DLSD0.05=1.201×2.90=3.48 (节间) DLSD0.01=1.201×3.70=4.44 (节间) 以 DLSD 测验各生长素处理与对照的差异显著性于表 9.5。 (5)试验结论：由于温度间 F 测验差异不显著，所以说明不同温度对豌豆见第一朵花时的 总节间数变化影响不大；生长素处理 F 测验差异显著，其中赤霉素处理的豌豆总节间数最多， 并与对照差异达极显著，其余处理皆与对照无显著差异。 ２．线性模型与期望均方 表 9.1 中任一观察值的线性模型为 ij i j ij x =  +  +  +  (9.1) 上式的  为总体平均； i  和  j 分别为因素 A 和B 的效应，可以是固定模型或随机模型； ij  为随机误差，它彼此独立，并来自正态总体 N(0, 2  )。上式说明表 9.1 类型资料的总变异 ( xij −  )可分解为 A 因素处理间效应 i  、B 因素处理间效应  j 和试验误差 ij  三个部分。 表 9.1 类型资料的各变异来源的期望均方见表 9.2

、有重复观察值的二因素试验资料 1.有重复观察值的二因素试验结果的分析 设有A、B两个试验因素,A因素有a个处理,B因素有b个处理,共有ab个处理组合 每一组合有n个观察值,则该资料有ab个观察值。如果试验按完全随机设计,则其资料类 型如表9 表9.6完全随机设计的二因素试验,每处理组合有重复观察值的资料符号表 表96类型资料比表9.1类型资料仅增加一项变异来源—-AXB互作,其变异来源的自 由度与平方和分解见表97 3×3×3 SSr=2142+2122+…+1402-C=21928 16922+11822+122 C=17945 3×3 132+13462+133.52 C-17945-3.96=1917 SS=21928-17945-3.96-1917=16.70 (3)F测验:将上述结果录于表99,以固定模型作F测验。假设H:(邯)=0,求 得F=4790928=516F0;假设H:t=0,求得F=89730928=968>F0:假设H:B,=0, 求得F=198/0.928=213<F00。所以该试验肥类×土类的互作和肥类的效应都是极显著的,而 土类间(即表98的3个x,值)无显著差异 (4)平均数的比较: ①各处理组合平均数的比较:肥类×土类的互作显著,说明各处理组合的效应不是各单 因素效应的简单相加,而是肥类效应随土类而不同(或反之)所以宜进一步比较各处理组合 的平均数。在此用新复极差测验,求得 根据y=18,算得各LSR05和LSR0的值于表9.10 表9.10表9.8资料各处理组合平均数的LSR值(新复极差测验) 将表98的各个值除以m=3,即得各处理组合的平均数,以表910的显著尺度测验各 平均数的差异显著性于表9.1 由表9.11可见,A1B1处理组合的产量极显著地高于其他处理组合:其次为A1B2和A1B3

3 二、有重复观察值的二因素试验资料 １．有重复观察值的二因素试验结果的分析 设有 A、B 两个试验因素，A 因素有 a 个处理，B 因素有 b 个处理，共有ab 个处理组合， 每一组合有 n 个观察值，则该资料有 abn 个观察值。如果试验按完全随机设计，则其资料类 型如表 9.6。 表 9.6 完全随机设计的二因素试验，每处理组合有重复观察值的资料符号表 表 9.6 类型资料比表9.1 类型资料仅增加一项变异来源－A×B 互作，其变异来源的自 由度与平方和分解见表 9.7。 179.45 3 3 169.2 118.2 122.0 21.4 21.2 14.0 219.28 6 207.72 3 3 3 (409.4) 2 2 2 2 2 2 2 − =  + + = = + + + − = =   = SS C SS C C A T  219.28 179.45 3.96 19.17 16.70 179.45 3.96 19.17 3 62.7 54.8 40.6 3.96 3 3 141.3 134.6 133.5 2 2 2 2 2 2 = − − − = − − − = + + + = − =  + + = e A B B SS SS C SS C  （３）F 测验：将上述结果录于表 9.9 ，以固定模型作 F 测验。假设 H0：() ij = 0 ，求 得 F=4.79/0.928=5.16>F0.01；假设H0：i = 0 ，求得 F=89.73/0.928=96.8>F0.01；假设H0： j = 0 ， 求得 F=1.98/0.928=2.13<F0.05。所以该试验肥类×土类的互作和肥类的效应都是极显著的，而 土类间（即表 9.8 的 3 个  j x 值）无显著差异。 （４）平均数的比较： ①各处理组合平均数的比较：肥类×土类的互作显著，说明各处理组合的效应不是各单 因素效应的简单相加，而是肥类效应随土类而不同（或反之）；所以宜进一步比较各处理组合 的平均数。在此用新复极差测验，求得 0.554( ) 3 0.928 SE = = g 根据 v=18，算得各 LSR0.05和 LSR0.01 的值于表 9.10。 表 9.10 表 9.8 资料各处理组合平均数的 LSR 值（新复极差测验） 将表 9.8 的各个 Tij 值除以 n=3，即得各处理组合的平均数，以表9.10 的显著尺度测验各 平均数的差异显著性于表 9.11 由表 9.11 可见，A1B1 处理组合的产量极显著地高于其他处理组合；其次为 A1B2 和A1B3

它们之间并无显著差异,但极显著地高于除A1B1外的其他处理组合。除上述外,其余处理组 合间皆无显著差异。 ②各肥类平均数的比较:肥类间的F测验极显著,说明τ;≠0。求得肥类平均数的标准 误差、=032(g),故有各肥类平均数的LSR值于表912,并有显著性测验结果于 3×3 表9.13。 表9.11表9.8资料各处理组合平均数的新复极差测验 由表9.13可见,肥料A1与A3、A2均有极显著的差异;但A3与A2无显著差异 5)试验结论:表98试验的分析结果表明,肥料A1对小麦的增产效果最好,土类间 则无显著差异:但A1施于油砂土比施于其他土壤上更有突出的增产效果,即A1B1处理组合 的小麦产量最高。 2.线性模型与期望均方 表96中任一观察值的线性模型为 xk=μ+T;+β,+()n+E (9.2) 上式的u为总体平均:t和β分别为因素A和B的效应;(TB)为AxB互作:E为 随机误差,遵循分布N(02)。上式说明表96类型资料的总变异(x1k-p)可分解为A因素 效应、B因素效应β、AXB互作(),和试验误差E四个部分。 表9.14表96类型资料各变异来源的期望均方 第二节多因素随机区组试验资料的统计分析 、二因素随机区组试验资料 1.二因素随机区组试验结果的分析 设有A和B两个试验因素,各具a和b个水平,作随机区组设计,有r次重复,则该试 验共得rab个观察值。其各项变异来源的自由度可分解于表9.15 表9.15二因素随机区组试验自由度的分解 变异来源 DE 区组 处理 A×B (a-1)(b-1) r-1)(ab-1

4 它们之间并无显著差异，但极显著地高于除A1B1外的其他处理组合。除上述外，其余处理组 合间皆无显著差异。 ②各肥类平均数的比较：肥类间的 F 测验极显著，说明 i  0 。求得肥类平均数的标准 误差 0.32( ) 3 3 0.928 SE = g  = ，故有各肥类平均数的LSR 值于表 9.12，并有显著性测验结果于 表 9.13。 表 9.11 表 9.8 资料各处理组合平均数的新复极差测验 由表 9.13 可见，肥料 A1 与 A3、A2 均有极显著的差异；但 A3 与 A2 无显著差异。 （５）试验结论：表 9.8 试验的分析结果表明，肥料 A1对小麦的增产效果最好，土类间 则无显著差异；但 A1 施于油砂土比施于其他土壤上更有突出的增产效果，即 A1B1 处理组合 的小麦产量最高。 ２．线性模型与期望均方 表 9.6 中任一观察值的线性模型为 ijk i j ij ijk x =  +  +  + () +  (9.2) 上式的  为总体平均； i  和  j 分别为因素 A 和 B 的效应； ij () 为 A B 互作； ijk  为 随机误差，遵循分布 (0, ) 2 N  。上式说明表9.6 类型资料的总变异 ( − ) ijk x 可分解为 A 因素 效应 i  、B 因素效应  j 、 A B 互作 ij () 和试验误差 ijk  四个部分。 表 9.14 表 9.6 类型资料各变异来源的期望均方 第二节 多因素随机区组试验资料的统计分析 一、二因素随机区组试验资料 １．二因素随机区组试验结果的分析 设有 A 和 B 两个试验因素，各具 a 和 b 个水平，作随机区组设计，有 r 次重复，则该试 验共得 rab 个观察值。其各项变异来源的自由度可分解于表 9.15。 表 9.15 二因素随机区组试验自由度的分解 变异来源 DF 区 组 处 理      A  B B A 误 差 r-1 ab-1      − − − − ( 1)( 1) 1 1 a b b a (r-1)(ab-1)

由表9.15可见,二因素的随机区组试验和单因素随机区组试验,在变异来源上的区别仅 在于:前者的处理项可进而分解为A因素水平间(简记为A)、B因素水平间(简记为B)和 AB互作间(简记为AXB)三个部分,因而也就可分解出相应的自由度和平方和 (ab-1)=(1)+(b-1)+(a1b-1) 处理组合自由度=A的自由度+B的自由度+AXB的自由度 -2)2+∑∑( (94) 处理组合平方和=A的平方和+B的平方和+AXB的平方和 上式中,k=12,…,a;}=1,2…,b;x=各处理组合平均数,x=A因素各水平平均数, x=B因素各水平平均数,x=全试验平均数 [例9.3]图91早稻品种和密度随机区组试验的田间排列和产量 表9.16图9.1资料区组和处理产量的两向表 (1)结果整理:将所得结果按处理组合和区组作两向分组整理成表9.16;按品种和密 度作两向分组整理成表917。 表917表图9.1资料品种(4)和密度(B)的两向表 在表9.16和表917中,T=区组总和,TB=处理组合总和,T产品种总和,T=密度总和, T=全试验总和 峻()自由度和平方和的分解:自由度的分解可按表915直接填入918,以下分解各变异来 的平方和 矫正数C= T 20l =1496.33 rb3×3×3 由表9.16按单因素随机区组的分析方法可得 C=40.67 区组S∑2 702+682+63 C=2.89 处理组合S∑T2B 242+202+…+28 误差SS≥=总SS区组SS-处理组合SS=40.67-2.89-2967=8.11,由表917对处理组合项 SS=2967进行再分解

5 由表 9.15可见，二因素的随机区组试验和单因素随机区组试验，在变异来源上的区别仅 在于：前者的处理项可进而分解为 A 因素水平间（简记为 A）、B 因素水平间（简记为B）和 AB 互作间（简记为 A×B）三个部分，因而也就可分解出相应的自由度和平方和 (ab-1)=(a-1)+(b-1)+(a-1)(b-1) (9.3) 处理组合自由度＝A 的自由度＋B 的自由度＋A×B 的自由度  − =  − +  − +  − − + a b kl k l b l a b a kl k r x x rb x x ra x x r x x x x 1 1 2 2 1 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) (9.4) 处理组合平方和＝A 的平方和＋B 的平方和＋A×B 的平方和 上式中，k=1,2, … ,a；l=1,2,…,b； kl x =各处理组合平均数， k x =A 因素各水平平均数， xl = B 因素各水平平均数， x =全试验平均数。 [例 9.3] 图 9.1 早稻品种和密度随机区组试验的田间排列和产量 表 9.16 图 9.1 资料区组和处理产量的两向表 （１）结果整理：将所得结果按处理组合和区组作两向分组整理成表 9.16；按品种和密 度作两向分组整理成表 9.17。 表 9.17 表图 9.1 资料品种(A)和密度(B)的两向表 在表 9.16和表 9.17 中， Tr =区组总和，TAB=处理组合总和，TA=品种总和，TB=密度总和， T=全试验总和。 (2)自由度和平方和的分解：自由度的分解可按表 9.15 直接填入 9.18，以下分解各变异来 源的平方和 1 496.33 3 3 3 2012 =   = = rab T 矫正数C 由表 9.16 按单因素随机区组的分析方法可得 29.67 3 24 20 28 2.89 3 3 70 68 63 8 7 9 40.67 2 2 2 2 2 2 2 2 r 2 2 2 1 2 − = + + + − =  = − =  + + − =  = = − = + + + − = C C r T SS C C ab T SS SS x C C AB t r rab T   处理组合 区组 误差 SSe=总 SST-区组 SSr-处理组合SSt=40.67-2.89-29.67=8.11，由表 9.17 对处理组合项 SSt=29.67 进行再分解

rb>(r-x ∑T C=02+6532+ C=1.57 (96) SSA=处理组合SS,-SSA-SSB=2967-6.37-1.57=2173 (9.7) 以上SS=A因素平方和,SSE=B因素平方和,SSAB=AB互作平方和。 (3)方差分析表和F测验:将上述结果列于表918。这里对A和B两因素皆取固定模 型,区组则取随机模型,因此各项变异来源的M均可用对误差项MS的比进行F测验。取 显著水平a=0.05 表918水稻品种与密度二因素试验的方差分析 表918的F测验说明:区组间、密度间差异不显著,而品种间与品种×密度间的差异都 显著。由此说明,不同品种有不同的生产力,而不同品种又要求有相应不同的密度。所以需 进一步测验品种间与品种×密度间的差异显著性 (4)多重比较 ①品种间比较:此处以各品种的小区平均数(将表9.17上的各个TA值除以rb=9)进行 新复极差测验。假设为:Ho:41=442=4B对H4:4An、Ha2、43不相等。算得 .51 rbV3×3 =0.238(kg) 查附表8,p=2时,SSR0,16=300,SSR001J6=413:p=3时,SSR00516=3.15,SR0o,6=434 因此有 p=2,LSR005=0.238×3.00=0.71kg,LSRo1=0.238×413=0.98(kg) p=3,LSR05=0.238×3.15=0.75(kg),LSR001=0.238×434=1.03(kg) 其测验结果列于表919。表9.19说明:A3和A2无显著差异,但A3和A1的差异达α=0.01 水平,A2和A1的差异达a=005水平。因此,就品种的平均效应而言,A3和A都是比较好 的。但A2的生育期比A3短,对安排后作有利。故在季节矛盾不突出时,选用A3、A2皆可 否则,宜选用A2。 ②品种×密度的互作:由于品种×密度的互作是极显著的,说明各品种所需求的最适密 度可能不相同。因此,可分别计算各品种不同密度的简单效应,以分析互作的具体情形。将 表9.16各个TAB值除以r=3,即得各品种在不同密度下的小区平均产量(kg67m2)于表920 对表920各个差数作新复极差测验,有A1品种Hb:HB1=B2=HB3,A2品种Ho B1=B2=4B3和A3品种Ho:HB1=HB2=4B3算得

6 6.37 3 3 61 69 71 ( ) 2 2 2 2 2 − =  + + − =  =  − = C C rb T SS rb x x A A k (9.5) 1.57 3 3 70 65 66 ( ) 1 2 2 2 2 2 − =  + + − =  =  − = C C ra T SS ra x x b B B l (9.6) SS AB = 处理组合SSt − SS A − SSB = 29.67 − 6.37 −1.57 = 21.73 (9.7) 以上 SSA=A 因素平方和，SSB=B 因素平方和，SSAB=AB 互作平方和。 （３）方差分析表和 F 测验：将上述结果列于表 9.18。这里对 A 和 B 两因素皆取固定模 型，区组则取随机模型，因此各项变异来源的 MS 均可用对误差项 MS 的比进行 F 测验。取 显著水平  = 0.05。 表 9.18 水稻品种与密度二因素试验的方差分析 表 9.18 的 F 测验说明：区组间、密度间差异不显著，而品种间与品种×密度间的差异都 显著。由此说明，不同品种有不同的生产力，而不同品种又要求有相应不同的密度。所以需 进一步测验品种间与品种×密度间的差异显著性。 （４）多重比较 ①品种间比较：此处以各品种的小区平均数（将表 9.17 上的各个 TA 值除以 rb=9）进行 新复极差测验。假设为：H0：  A1 =  A2 =  A3 对 HA：  A1、 A2 、  A3 不相等。算得 0.238( ) 3 3 0.51 2 kg rb s SE e =  = = 查附表 8，p=2 时，SSR0.05,16=3.00，SSR0.01,16=4.13；p=3 时，SSR0.05,16=3.15，SSR0.01,16=4.34。 因此有 3, 0.238 3.15 0.75( ), 0.238 4.34 1.03( ) 2, 0.238 3.00 0.71( ), 0.238 4.13 0.98( ) 0.05 0.01 0.05 0.01 p LSR k g LSR k g p LSR k g LSR k g = =  = =  = = =  = =  = 其测验结果列于表 9.19。表 9.19 说明：A3 和A2 无显著差异，但A3 和A1 的差异达  =0.01 水平，A2 和 A1 的差异达  =0.05 水平。因此，就品种的平均效应而言，A3 和 A2 都是比较好 的。但 A2 的生育期比A3短，对安排后作有利。故在季节矛盾不突出时，选用 A3、A2 皆可； 否则，宜选用 A2。 ②品种×密度的互作：由于品种×密度的互作是极显著的，说明各品种所需求的最适密 度可能不相同。因此，可分别计算各品种不同密度的简单效应，以分析互作的具体情形。将 表 9.16 各个TAB值除以 r=3，即得各品种在不同密度下的小区平均产量(kg/6.7m2 )于表 9.20。 对表 9.20 各个差数作新复极差测验，有 A1 品种 H0： ,  B1 =  B2 =  B3 A2 品种 H0：  B1 =  B2 =  B3 和 A3 品种 H0：  B1 =  B2 =  B3 算得：

51 Se= =0.412(kg) 表920品种在不同密度下的小区平均产量及其差异显著性 并有: p=2,LSR0516=124(kg),LSRo11-1.70(kg) 1.30(kg),L 用上述尺度测验表920的各个差数,结果A1、A2品种都以B1为优,并与B2、B3有显著 差异:而A3品种则以B3为优,并与B2、B1有显著差异。这种不同情况就是品种和密度存在 互作的反应。所以A3品种应选B3密度,而A2、A品种则应选B1密度 要比较全部九个处理组合间差异的显著性,可以将表920中(1)、(2)、(3)按数量高 低合成一张表,然后计算p=2至9的LSR值,这里从略 2.二因素随机区组试验的线性模型和期望均方 因素随机区组试验每一观察值x的线性模型为 XJM=H+B,+Ak+B,+(AB)u+E (9.8) 上式中,μ为总体平均:β,为区组效应;Ek为随机误差,具有N(0,2);Ak、B 以及(AB)分别为A因素主效、β因素主效及AB交互作用效应 方差分析时三种模型的期望均方列于表922。 、三因素随机区组试验资料 1.三因素随机区组试验结果的分析 设有A、B、C三个试验因素,各具a、b、c个水平,作随机区组设计,设有r个区组 则该试验共有mabc个观察值,其各项变异来源及自由度的分解见表923。 由表923可见,三因素随机区组试验和单因素随机区组试验比较起来,仅在于前者的 处理间变异被再分解为7项,其中主效3项,一级互作3项,二级互作1项。各项都有其相 应的自由度和平方和,并且这些项的自由度之和与平方和之和一定等于处理项的自由度和平 方和,即: 处理组合DF1=DFA+DF+DFC+DFAB+DFAC+DFBC+ DFABC 处理组合SS=SS4+SSB+SSCc+SS4B+SSAC+SSBC+SSBC 99和910式中的下标为因素,如:DFA=A因素自由度,DFB=B因素自由度,…,SSBC=A BXC的平方和等。关于各项平方和的计算,将在例中说明。 [例94]

7 0.412( ) 3 0.51 2 kg r s SE e = = = 表 9.20 品种在不同密度下的小区平均产量及其差异显著性 并有： p=2，LSR0.05,16=1.24(kg)，LSR0.01,16=1.70(kg) p=3，LSR0.05,16=1.30(kg)，LSR0.01,16=1.79(kg) 用上述尺度测验表 9.20 的各个差数，结果A1、A2品种都以 B1 为优，并与B2、B3有显著 差异；而A3 品种则以B3为优，并与 B2、B1有显著差异。这种不同情况就是品种和密度存在 互作的反应。所以 A3品种应选 B3密度，而 A2、A1 品种则应选 B1密度。 要比较全部九个处理组合间差异的显著性，可以将表 9.20 中（1）、（2）、（3）按数量高 低合成一张表，然后计算 p=2 至 9 的 LSR 值，这里从略。 2．二因素随机区组试验的线性模型和期望均方 二因素随机区组试验每一观察值 jkl x 的线性模型为 jkl j Ak Bl AB kl jkl x =  +  + + + ( ) +  （9.8） 上式中，  为总体平均；  j 为区组效应； jkl  为随机误差，具有 N（0， 2  ）；Ak、Bl 以及(AB)kl分别为 A 因素主效、  因素主效及 AB 交互作用效应。 方差分析时三种模型的期望均方列于表 9.22。 二、三因素随机区组试验资料 1．三因素随机区组试验结果的分析 设有 A、B、C 三个试验因素，各具 a、b、c 个水平，作随机区组设计，设有 r 个区组， 则该试验共有 rabc 个观察值，其各项变异来源及自由度的分解见表 9.23。 由表 9.23 可见，三因素随机区组试验和单因素随机区组试验比较起来，仅在于前者的 处理间变异被再分解为 7项，其中主效 3 项，一级互作 3 项，二级互作 1 项。各项都有其相 应的自由度和平方和，并且这些项的自由度之和与平方和之和一定等于处理项的自由度和平 方和，即： 处理组合 DFt=DFA+DFB+DFC+DFAB+DFAC+DFBC+DFABC (9.9) 处理组合 SSt=SSA+SSB+SSC+SSAB+SSAC+SSBC+SSABC (9.10) 9.9 和 9.10 式中的下标为因素，如：DFA=A 因素自由度，DFB=B 因素自由度，…，SSABC=A ×B×C 的平方和等。关于各项平方和的计算，将在例中说明。 [例 9.4]

图92棉花三因素随机区试验的田间排列和产量(kg/22m2) (1)结果整理:将上述结果按区组和处理组合作两向分组整理成表925,再按任两个因 素作两向分组整理成表926(1)、9.26(2)、9.26(3)。 表中T、TABC、TA、TB、Tc依次分别为各区组、处理组合、品种、播期、密度的总和数 T为全试验总和数。各个总和数包含的小区数目,必为总小区数目(abc)除以该总和数的下 标所具有的水平。例如:每个T包括abo=abc2×2×3=12个小区;每个TABC包括 rabclabc=r=3个小区,每个TA包括rbla=rbc=3×2×3=18个小区;……等等。记住这个规 则,有助于后面的分析计算 (2)自由度和平方和的分解:自由度的分解可根据表923直接填入表927。以下分解 平方和:求得 2522 矫正数C= rbc3×2×2×3 由表9.25可求得 总SS=∑x2-C=122+122+…+72-C=39600 组 处理组合SS1 = 2TABC=392+342+…+192-c=320 误差SS.=39600-1.16-382.00=12.84 由表9.26(1)可求得 ∑T 3×2×3 ∑T2 C=2500 rac 3×2×3 ∑T4B 1012+732+402+38C-25600-2500=1877 3×3 由表9.26(2)或可求得 C=0.50 3×2×2 rabC-ss-SS 672+602+…+392 -C-256.00-0.50=80.16 由表926(3)可求得

8 图 9.2 棉花三因素随机区试验的田间排列和产量（kg/22.2m2） （1）结果整理：将上述结果按区组和处理组合作两向分组整理成表 9.25，再按任两个因 素作两向分组整理成表 9.26(1)、9.26(2)、9.26(3)。 表中 Tr、TABC、TA、TB、TC依次分别为各区组、处理组合、品种、播期、密度的总和数。 T 为全试验总和数。各个总和数包含的小区数目，必为总小区数目（abc）除以该总和数的下 标所具有的水平。例如：每个 Tr 包括 abc/r=abc=2×2×3=12 个小区；每个 TABC 包括 rabc/abc=r=3 个小区，每个 TA包括 rabc/a=rbc=3×2×3=18 个小区；……等等。记住这个规 则，有助于后面的分析计算。 （2）自由度和平方和的分解：自由度的分解可根据表 9.23 直接填入表 9.27。以下分解 平方和：求得 1 764.00 3 2 2 3 252 2 2 =    = = rabc T 矫正数C 由表 9.25 可求得 396.00 1.16 382.00 12.84 382.00 3 39 34 19 1.16 2 2 3 83 82 87 x 12 12 7 396.00 2 2 2 2 2 2 2 2 r 2 2 2 2 = − − = − = + + + − =  = − =   + + − =  = =  − = + + + − = e ABC t r T SS C C r T SS C C abc T SS SS C C 误差 处理组合 区组 总   由表 9.26(1)可求得： 256.00 25.00 18.77 3 3 101 73 40 38 25.00 3 2 3 141 111 256.00 3 2 3 174 78 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − − − =  + + + = − − −  = − =   + − =  = − =   + − =  = C C SS SS rc T SS C C rac T SS C C rbc T SS A B AB AB B B A A 由表 9.26(2)或可求得 0.50 3 2 2 83 83 86 2 2 2 2 − =   + + − =  = C C rab T SS C C 256.00 0.50 80.16 3 2 67 60 39 2 2 2 2 − − − =  + + + = − − −  = C C SS SS rab T SS A C AC AC  由表 9.26(3)可求得

∑TBC B-SS 2+…+38c 25.00-0.50=1.50 3×2 由9.10式可求得 38200-256.00-2500-0.50-18.77-80.16-1.50=007 至此,各项变异来源的平方和皆已分解完成,将它们填入表927。 以上各项变异来源的平方和计算,都是应用前面己有的公式。实际上,在某些特定情况 下,计算效应和互作的平方和,可以使用一些简式。这些情况有: ①当某因素只有两个水平时,其效应平方和为 上式的T1和72分别为该因素的水平1总和数和水平2总和数,N为全试验观察值数目, 如本例,据9.11式可由表926(1)求得 (174-78)2 =256.00 3×2×2×3 14l-l1 3×2×2×3 ②当两个因素都只有两水平时,其互作平方和为 (两因素两向表的对角和之差)2 (9.12) 如本例,据9.12式由表926(1)可求得 (101+38)-(73+4 =18.77 3×2××2×3 ③当一因素为2水平,另一因素c≥3水平时,其互作平方和为 ∑d2(∑ (9.13) N/c 上式的d为具有2水平的因素的各个简单效应,即2个水平的差数。如本例,据9.13式可由 表926(2)和表926(3)分别算得

9 25.00 0.50 1.50 3 2 48 45 38 2 2 2 2 − − − =  + + + = − − −  = C C SS SS ra T SS B C BC BC  由 9.10 式可求得 SS ABC = 382.00 − 256.00 − 25.00 − 0.50 −18.77 − 80.16 −1.50 = 0.07 至此，各项变异来源的平方和皆已分解完成，将它们填入表 9.27。 以上各项变异来源的平方和计算，都是应用前面已有的公式。实际上，在某些特定情况 下，计算效应和互作的平方和，可以使用一些简式。这些情况有： ①当某因素只有两个水平时，其效应平方和为： N T T SS 2 1 2 ( − ) = （9.11） 上式的 T1 和T2 分别为该因素的水平 1 总和数和水平 2 总和数，N 为全试验观察值数目， 如本例，据 9.11 式可由表 9.26（1）求得 25.00 3 2 2 3 (141 111) 256.00 3 2 2 3 (174 78) 2 2 =    − = =    − = B A SS SS ②当两个因素都只有两水平时，其互作平方和为 N SS 2 (两因素两向表的对角和之差) = （9.12） 如本例，据 9.12 式由表 9.26(1)可求得 18.77 3 2 2 3 [(101 38) (73 40)]2 =    + − + SS AB = ③当一因素为 2 水平，另一因素 c≥3 水平时，其互作平方和为 N d N c d SS 2 2 ( ) /  =  = （9.13） 上式的 d 为具有 2 水平的因素的各个简单效应，即 2 个水平的差数。如本例，据9.13式可由 表 9.26(2)和表 9.26(3)分别算得

d rabc/c rabc =80.16 3×2×2 3×2×2×3 3×2×2 3×2×2×3 (3)方差分析和F测验:在此三个试验因素皆取固定模型,所以各项均方都可与误差 项均方相比而得出F值于表927。F测验表明,在该试验中显著的项目只有主效A(品种)、 B(播期)和一级互作A×B(品种×播期)、A×C(品种×密度),其余皆不显著。由于F 值的大小表示着效应或互作变异的大小,故在上述显著的效应和互作中,其对产量作用的大 小次序为A>A×C>B>AXB (4)效应和互作的显著性测验:本例以亩产量为单位进行测验。 ①品种效应:表9.261)的每个TA是bc=3×2×3=18个小区的产量,故 c=6667 18×2221.67 A品种亩产量=174×167=2906(kg) 因此 A2品种亩产量=78×167=130.3(kg) 相差 3(kg) 为测验差数1603kg亩的显著性,在此有H4-以4=0对H44-H4≠0。显著 水平取α=005。算得亩产量的标准误 58 539×295=159(kg) 所以应接受H4,即A1品种的产量显著高于A2a 实际上,当因素或互作的-=1时,t测验、q测验、SR测验的假设和结果都完全相同, 而且也和F测验的假设和结果完全相同。所以,以后遇到这种情况,都可以根据F测验结果 直接作出判断,而不需再作测验 ②播期效应:表9.26(1)的每个TB值是mc=3×2×3=18个小区的产量,故c167。因此 B谷雨播亩产量=141×1.67=2354(k B2立夏播亩产量=111×167=1854(kg) 相 差 由表9.27的F测验已知,此500kg亦为显著,故播期应选用谷雨播。 ③品种×播期的互作:表926(1)在B1下d4-42=61,在B2下d4-42=35,其差异即 为互作值

10 1.50 3 2 2 3 30 3 2 2 13 7 10 80.16 3 2 2 3 96 3 2 2 51 37 8 ( ) / 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 =    −   + + = =    −   + + =  −  = − − BC A A A A AC SS rabc d rabc c d SS （3）方差分析和 F 测验：在此三个试验因素皆取固定模型，所以各项均方都可与误差 项均方相比而得出 F 值于表 9.27。F 测验表明，在该试验中显著的项目只有主效A（品种）、 B（播期）和一级互作 A×B（品种×播期）、A×C（品种×密度），其余皆不显著。由于 F 值的大小表示着效应或互作变异的大小，故在上述显著的效应和互作中，其对产量作用的大 小次序为 A>A×C>B>A×B。 （4）效应和互作的显著性测验：本例以亩产量为单位进行测验。 ①品种效应：表 9.26(1)的每个 TA 是 rbc=3×2×3=18 个小区的产量，故 174 1.67 290.6( ) 1.67 18 22.2 666.7 1 A kg cf =  = =  = 品种亩产量 因此 160.3(kg) 78 167 130.3(kg) 2 相差 A 品种亩产量 =  = 为测验差数 160.3kg/亩的显著性，在此有 : 0 0 1 2 H  A −  A = 对 : 0 1 2 HA  A −  A  。显著 水平取  = 0.05 。算得亩产量的标准误 5.39 2.95 15.9(kg) 18 0.58 1.67 5.39(kg) 0.05,22 =  = =   = LSR SE 所以应接受 HA，即 A1 品种的产量显著高于 A2。 实际上，当因素或互作的 v=1 时，t 测验、q 测验、SSR 测验的假设和结果都完全相同， 而且也和 F 测验的假设和结果完全相同。所以，以后遇到这种情况，都可以根据 F 测验结果 直接作出判断，而不需再作测验。 ②播期效应：表 9.26(1)的每个TB 值是 rac=3×2×3=18 个小区的产量，故 cf=1.67。因此 有 50.0(kg) 111 1.67 185.4(kg) 141 1.67 235.4(kg) 2 1 相 差 立夏播亩产量 谷雨播亩产量 =  = =  = B B 由表 9.27 的 F 测验已知，此 50.0kg 亦为显著，故播期应选用谷雨播。 ③品种×播期的互作：表 9.26（1）在B1 下 61 1 2 d A −A = ，在 B2下 35 1 2 d A −A = ，其差异即 为互作值