《工程科学学报》：面向全局和工程优化问题的混合进化JAYA算法（河南大学智能网络系统研究所）

《工程科学学报》录用稿，htps:/doi.org/10.13374/i,issn2095-9389.2021.10.27.002©北京科技大学2020 面向全局和工程优化问题的混合进化JAYA算法 刘景森2)，杨杰2)，李煜区 1)河南大学智能网络系统研究所，河南开封4750042)河南大学软件学院，河南开封4750043)河南大学管理科学与工程研究所，河南开 封475004 ☒通信作者，E-mail:leey@henu.edu.cn 摘要群智能优化算法是快速解决大规模复杂最优化问题的有效方法，JAYA算法是2O16年提出和公开的一种新型 群智能进化式优化算法，与当前活跃的其他进化算法相比，JAYA算法机制清晰结构简明、易于实现，且具有趋优 避差的导向性特征，对许多问题有着十分出色的寻优效果，是目前群智能领域较有影响的算法之一。但在面对具有 较高求解难度和挑战性并包含偏移、旋转、混合、组合等多种复合特性的CEC测试函数集和复杂工程设计约束优化问 题时依然存在容易陷入局部极值、寻优精度有时不高、求解结果不太稳定等问题为了更好求解复杂函数优化和工程 约束优化问题，进一步增强JAYA算法的寻优能力，提出一种面向全局优化的混合进化JAYA算法。首先在计算当前 最优和最差个体时引入反向学习机制，提高最优和最差个体跳离局部极值区域的可能性：然后在个体位置更新中引 入并融合正弦余弦算子和差分扰动机制，不仅增加了种群的多样牲，而且较好平衡与满足了算法在不同迭代时期对 探索和挖掘能力的不同需求：最后在算法结构上采用奇偶不陶的混哈进化策略，有效利用不同演化机制的优势结果 进一步提升了算法的收敛性和精度。之后给出了算法流程伪代码，理论分析证明了改进算法的时间复杂度与基本 JAYA相同，而通过6种代表性算法在包含和组合了30个基准函数的CEC2017测试套件上进行的多维度函数极值优 化测试，以及对拉伸弹簧、波纹舱壁、管柱设计、钢筋混凝士梁、焊接梁和汽车侧面碰撞等6个具有挑战性的工程设计 问题的优化求解，都清楚地表明改进后算法的寻优精度、收敛性能和求解稳定性均有显著提升，在求解C℉C复杂函 数和工程约束优化问题上有着明显优势。 关键词JAYA算法：CEC2017:正弦余弦 奇偶进化策略：工程设计优化问题 分类号TP18 Hybrid Evolutionary JAYA Algorithm For Global and Engineering Optimization Problems LIU Jingsen 2 YANG Jie2)LI Yu 1)Institute of Intelligent Networks System,Henan University,Kaifeng 475004,China 2) College of Software,Henan University,Kaifeng 475004,China Institute of Management Science and Engineering,Henan University,Kaifeng 475004,China Corresponding author,E-mail:leey@henu.edu.cn ABSTRACT Swarm intelligence optimization algorithm is an effective method to quickly solve large-scale complex optimization problems.JAYA algorithm is a new swarm intelligence evolutionary optimization algorithm.It is proposed and disclosed in 2016.Compared with other active evolutionary algorithms,JAYA algorithm has many advantages,such as the clear mechanism,the concise structure and easy to implement.It also has the guiding characteristics and it moves towards the 收稿日期： 基金项目：河南省重点研发与推广专项(182102310886)、国家自然科学基金资助项目(71601071)

面向全局和工程优化问题的混合进化 JAYA 算法 刘景森 1,2)，杨 杰 2) ，李煜 3) 1) 河南大学智能网络系统研究所，河南开封 475004 2) 河南大学软件学院，河南开封 475004 3) 河南大学管理科学与工程研究所，河南开 封 475004  通信作者，E-mail:leey@henu.edu.cn 摘 要 群智能优化算法是快速解决大规模复杂最优化问题的有效方法，JAYA 算法是 2016 年提出和公开的一种新型 群智能进化式优化算法，与当前活跃的其他进化算法相比，JAYA 算法机制清晰、结构简明、易于实现，且具有趋优 避差的导向性特征，对许多问题有着十分出色的寻优效果，是目前群智能领域较有影响的算法之一。但在面对具有 较高求解难度和挑战性并包含偏移、旋转、混合、组合等多种复合特性的 CEC 测试函数集和复杂工程设计约束优化问 题时依然存在容易陷入局部极值、寻优精度有时不高、求解结果不太稳定等问题。为了更好求解复杂函数优化和工程 约束优化问题，进一步增强 JAYA 算法的寻优能力，提出一种面向全局优化的混合进化 JAYA 算法。首先在计算当前 最优和最差个体时引入反向学习机制，提高最优和最差个体跳离局部极值区域的可能性；然后在个体位置更新中引 入并融合正弦余弦算子和差分扰动机制，不仅增加了种群的多样性，而且较好平衡与满足了算法在不同迭代时期对 探索和挖掘能力的不同需求；最后在算法结构上采用奇偶不同的混合进化策略，有效利用不同演化机制的优势结果 进一步提升了算法的收敛性和精度。之后给出了算法流程伪代码，理论分析证明了改进算法的时间复杂度与基本 JAYA 相同，而通过 6 种代表性算法在包含和组合了 30 个基准函数的 CEC2017 测试套件上进行的多维度函数极值优 化测试，以及对拉伸弹簧、波纹舱壁、管柱设计、钢筋混凝土梁、焊接梁和汽车侧面碰撞等 6 个具有挑战性的工程设计 问题的优化求解，都清楚地表明改进后算法的寻优精度、收敛性能和求解稳定性均有显著提升，在求解 CEC 复杂函 数和工程约束优化问题上有着明显优势。 关键词 JAYA 算法；CEC2017；正弦余弦算子；奇偶进化策略；工程设计优化问题 分类号 TP18 Hybrid Evolutionary JAYA Algorithm For Global and Engineering Optimization Problems LIU Jingsen1,2) , YANG Jie 2) , LI Yu 3)  1) Institute of Intelligent Networks System, Henan University, Kaifeng 475004, China 2) College of Software, Henan University, Kaifeng 475004, China 3) Institute of Management Science and Engineering, Henan University, Kaifeng 475004, China  Corresponding author, E-mail: leey@henu.edu.cn ABSTRACT Swarm intelligence optimization algorithm is an effective method to quickly solve large-scale complex optimization problems. JAYA algorithm is a new swarm intelligence evolutionary optimization algorithm. It is proposed and disclosed in 2016. Compared with other active evolutionary algorithms, JAYA algorithm has many advantages, such as the clear mechanism, the concise structure and easy to implement. It also has the guiding characteristics and it moves towards the 收稿日期： 基金项目：河南省重点研发与推广专项(182102310886)、国家自然科学基金资助项目（71601071） 《工程科学学报》录用稿，https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2021.10.27.002 ©北京科技大学 2020 录用稿件，非最终出版稿

best solution and avoids the worst solution.It has excellent optimization effect on many problems and it is one of the most influential algorithms in the field of swarm intelligence.However,when dealing with the CEC test suite which contains and combines shifted,rotation,hybrid,combination and other composite characteristics and the complex engineering constrained optimization problems with great difficulty and challenge,it has some defects,such as easy to drop into the local extremum, the optimization accuracy is sometimes not high,the solution result is not very stable and so on.In order to better solve complex functions optimization and engineering constrained optimization problems,and further enhance the optimization ability of JAYA algorithm,a global optimization-oriented Hybrid evolutionary JAYA algorithm is proposed.Firstly, opposition-based learning is introduced to calculate the current optimal and worst individuals,which improves the possibility of the optimal and worst individuals to jump out of the local extremum region;Secondly,the sine cosine operator and differential disturbance mechanism are introduced and integrated in the individual position updating.which not only improves the diversity of the population,but also better balances and meets the different requirements of the algorithm for exploration and mining ability in different iteration periods;Finally,in the algorithm structure,the hybrid evolution strategy with different parity is adopted and the advantages of different evolution mechanisms are effectively used,which further improves the convergence and accuracy of the algorithm.Then,the pseudo code of the improved algorithm is given,the theoretical analysis proves that the time complexity of the improved algorithm is consistent with the basic JAYA algorithm Through the simulation experiment of functions extremum optimization of 6 representative algorithms on multiple dimensions of the CEC2017 test suite which contains and combines 30 benchmark fungtions and the optimal solution of 6 more challenging engineering design problems,such as the tension/compression spring,the corrugated bulkhead,the tubular column,the reinforced concrete beam,the welded beam and the car side impact and so on.The optimal solution of the test results clearly show that the improved algorithm has significantly improved the optimization accuracy,convergence performance and solution stability and it has obvious advantag solving CEC complex functions and engineering constrained optimization problems KEY WORDS JAYA algorithm;CEC2017;Sine cosine Parity evolution strategy;Engineering design optimization problems 优化问题普遍存在于生产生话的诸多领域，近年来，全局优化问题越来越复杂，规模越来越庞 大，具有高维、非线性、目标函数不导等特点，传统的优化方法已经很难有效地进行求解，而基于 群体搜索的元启发式智能优化算法却获得了较好效果，引起学者们的广泛青睐和研究。如：受鸟群 捕食过程启发提出的粒子算法)，受正余弦函数数学模型启发而提出的正弦余弦算法，，受座 头鲸捕食行为启发提出的鲸鱼优化算法，受量子力学原理和基于量子的原子模型启发提出的原子 轨道搜索算法等等这些智能优化算法的不断提出、改善和优胜劣汰，为求解大规模复杂全局优化 问题提供了新思路。》 函数极值优化问题是测试算法寻优性能的主要方法，而工程设计约束优化问题则是智能优化算 法的重要应用领域。工程设计问题广泛存在又难以求解，其目标函数与约束条件的非线性以及决策 变量搜索空间不可行域的出现，使得传统优化方法束手无策，而群智能优化算法的研究与应用则为 解决这类问题提供了实用且有效的方法。如：KaD等提出了一种基于引力搜索算法和粒子群算法 的有效混合方法：刘三阳等提出了一种求解约束优化问题的协同进化教与学优化算法；Banaie-. Dezfoul M等例提出了一种狩猎策略的灰狼优化算法：肖子雅等o提出了一种精英反向学习的黄金 正弦鲸鱼算法：Nadimi-Shahraki M H等提出一种基于维度学习狩猎搜索策略的改进灰狼优化算法： 汪逸晖等提出一种引入动态感知概率、莱维飞行策略以及变异更新机制的改进乌鸦搜索算法。这些 算法均被应用于求解工程约束优化问题，并取得了良好效果，但求解的多为几个经典老问题，种类 较少且比较简单，解决工程设计优化问题仍需探索求解能力更强、寻优精度更高、稳定性和普适性更 好的算法

best solution and avoids the worst solution. It has excellent optimization effect on many problems and it is one of the most influential algorithms in the field of swarm intelligence. However, when dealing with the CEC test suite which contains and combines shifted, rotation, hybrid, combination and other composite characteristics and the complex engineering constrained optimization problems with great difficulty and challenge, it has some defects, such as easy to drop into the local extremum, the optimization accuracy is sometimes not high, the solution result is not very stable and so on. In order to better solve complex functions optimization and engineering constrained optimization problems, and further enhance the optimization ability of JAYA algorithm, a global optimization-oriented Hybrid evolutionary JAYA algorithm is proposed. Firstly, opposition-based learning is introduced to calculate the current optimal and worst individuals, which improves the possibility of the optimal and worst individuals to jump out of the local extremum region; Secondly, the sine cosine operator and differential disturbance mechanism are introduced and integrated in the individual position updating, which not only improves the diversity of the population, but also better balances and meets the different requirements of the algorithm for exploration and mining ability in different iteration periods; Finally, in the algorithm structure, the hybrid evolution strategy with different parity is adopted and the advantages of different evolution mechanisms are effectively used, which further improves the convergence and accuracy of the algorithm. Then, the pseudo code of the improved algorithm is given ，the theoretical analysis proves that the time complexity of the improved algorithm is consistent with the basic JAYA algorithm. Through the simulation experiment of functions extremum optimization of 6 representative algorithms on multiple dimensions of the CEC2017 test suite which contains and combines 30 benchmark functions and the optimal solution of 6 more challenging engineering design problems, such as the tension/compression spring, the corrugated bulkhead, the tubular column, the reinforced concrete beam, the welded beam and the car side impact and so on. The optimal solution of the test results clearly show that the improved algorithm has significantly improved the optimization accuracy, convergence performance and solution stability and it has obvious advantages in solving CEC complex functions and engineering constrained optimization problems. KEY WORDS JAYA algorithm; CEC2017; Sine cosine operator; Parity evolution strategy; Engineering design optimization problems 优化问题普遍存在于生产生活的诸多领域，近年来，全局优化问题越来越复杂，规模越来越庞 大，具有高维、非线性、目标函数不可导等特点，传统的优化方法已经很难有效地进行求解，而基于 群体搜索的元启发式智能优化算法却获得了较好效果，引起学者们的广泛青睐和研究。如：受鸟群 捕食过程启发提出的粒子群算法[1,2]，受正余弦函数数学模型启发而提出的正弦余弦算法[3,4]，受座 头鲸捕食行为启发提出的鲸鱼优化算法[5]，受量子力学原理和基于量子的原子模型启发提出的原子 轨道搜索算法[6]等等。这些智能优化算法的不断提出、改善和优胜劣汰，为求解大规模复杂全局优化 问题提供了新思路。 函数极值优化问题是测试算法寻优性能的主要方法，而工程设计约束优化问题则是智能优化算 法的重要应用领域。工程设计问题广泛存在又难以求解，其目标函数与约束条件的非线性以及决策 变量搜索空间不可行域的出现，使得传统优化方法束手无策，而群智能优化算法的研究与应用则为 解决这类问题提供了实用且有效的方法。如：Kar D 等[7]提出了一种基于引力搜索算法和粒子群算法 的有效混合方法；刘三阳等[8]提出了一种求解约束优化问题的协同进化教与学优化算法；Banaie￾Dezfoul M 等[9]提出了一种狩猎策略的灰狼优化算法；肖子雅等[10]提出了一种精英反向学习的黄金 正弦鲸鱼算法；Nadimi-Shahraki M H 等[11]提出一种基于维度学习狩猎搜索策略的改进灰狼优化算法； 汪逸晖等[12]提出一种引入动态感知概率、莱维飞行策略以及变异更新机制的改进乌鸦搜索算法。这些 算法均被应用于求解工程约束优化问题，并取得了良好效果，但求解的多为几个经典老问题，种类 较少且比较简单，解决工程设计优化问题仍需探索求解能力更强、寻优精度更高、稳定性和普适性更 好的算法。 录用稿件，非最终出版稿

JAYA算法I1是20I6年由Rao RV提出的一种新型启发式智能优化算法，该算法控制参数少、 易于实现，且具有趋优避差的导向性特征，很适于求解全局优化和工程设计优化问题，成为最近几 年优化计算领域重要的研究和改进算法之一，已被成功应用于旅行商，文本聚类，特征选择，柔性 车间调度，水电站水库优化调度等问题的求解之中。 虽然JAYA算法趋优避差的机制特点契合于复杂函数和工程设计中全局优化的思想和需求，但 JAYA算法与其他基础性智能优化算法一样，其本身也存在着容易陷入局部极值、寻优精度有时不高 和收敛速度较慢等问题。为此，许多学者针对JAYA算法的不足之处做了相应改进。Kunjie Yu等吲引 入自适应惯性权重、基于经验的学习策略和混沌精英学习方法，提高了JAYA算法的寻优精度和稳 定性。Fei Kang等II将JAYA算法与支持向量机相结合，并成功应用于桥梁结构健康监测中的温度 效应预测问题。Ingle KK等吲入莱维飞行和贪婪选择策略，丰富了JAYA算法种群的多样性，增 强了算法的勘探能力，并成功应用于信道均衡问题。laccaG等I引入莱维飞行于JAYA算法位置 更新产生随机数，有效提高了算法跳出局部极值的能力。Fuqing Zhao等人应学习策略，提 高了JAYA算法的全局搜索能力，并成功应用于多目标混合零空闲置换流水车间调度问题。FeiKang 等构建了基于高斯过程代理模型的JAYA算法，并成功应用于混凝士动力参数反演分析，拓宽 了JAYA算法的应用领域。Yiying Zhang等o引入局部开发和全局探索惫略有效增强了JAYA算法 逃离局部最优的能力。Nayak DR等2引入变异策略，增强了JAYA算法全局收敛能力。Yiying Zhang 等2,2引入包含三种不同学习策略的综合学习机制来更新个体位置，提高了JAYA算法的全局搜索 能力。 这些改进使JAYA算法在各自应用领域的优化性能得以提升，但JAYA算法求解全局优化和工 程设计优化问题的能力仍有进一步改进的空间。本提出种面向复杂函数和工程设计优化问题的 混合进化JAYA算法(Hybrid evolutionary JAYA algorithm,H-JAYA)。首先在计算当前最优和最差个 体位置时引入反向学习机制，增强最优和最差个体跳禽局部极值区域的可能性。然后在个体位置更 新中引入并融合正弦余弦算子和差分扰动机制不仅增加了种群的多样性，而且有效平衡和较好满 足了算法在不同迭代时期对探索和挖掘能力的不同需求。最后采用奇偶不同的混合进化策略，有效 利用不同演化机制的优势结果，进一步提高了算法的收敛性和精度。随后给出了算法流程伪代码， 用理论分析证明了H-JAYA没有增加算法的时间复杂度。通过对基于多个不同寻优特征基准函数的 CEC2017测试函数集套件进行多维度，多算法极值优化求解对比测试，结果表明，H-JAYA的收敛 性能、寻优精度和求解稳定性均有明显提升，求解CEC2017复杂函数的效果相当优越，全局优化能 力出色，非参数统计检验结果也显示了H-JAYA与其他对比算法的差异具有显著性。而对拉伸弹簧、 波纹舱壁、管柱设计、钢筋混凝生梁、焊接梁和汽车侧面碰撞等6个具有挑战性的工程设计约束优化 问题的求解，也显示予HY算法在处理不同类型工程优化设计问题时有着明显的优越性和适应 性。 1改进算法以-JA 1.1盖体JAY算法 Stepl设置算法初始参数：种群个体数量N、最大进化代数Mr_itr、个体维度D,并在寻优范 围内随机生成每个个体的初始位置x,(=1,2,N)。 Step2根据目标函数计算种群个体的适应度值f八x,。 Step3根据种群中个体的适应度值f八x,,找出最好和最差适应度值∫和f,并记录其位置 a和Xont

JAYA 算法[13]是 2016 年由 Rao R V 提出的一种新型启发式智能优化算法，该算法控制参数少、 易于实现，且具有趋优避差的导向性特征，很适于求解全局优化和工程设计优化问题，成为最近几 年优化计算领域重要的研究和改进算法之一，已被成功应用于旅行商，文本聚类，特征选择，柔性 车间调度，水电站水库优化调度等问题的求解之中。 虽然 JAYA 算法趋优避差的机制特点契合于复杂函数和工程设计中全局优化的思想和需求，但 JAYA 算法与其他基础性智能优化算法一样，其本身也存在着容易陷入局部极值、寻优精度有时不高 和收敛速度较慢等问题。为此，许多学者针对 JAYA 算法的不足之处做了相应改进。Kunjie Yu 等[14]引 入自适应惯性权重、基于经验的学习策略和混沌精英学习方法，提高了 JAYA 算法的寻优精度和稳 定性。Fei Kang 等[15]将 JAYA 算法与支持向量机相结合，并成功应用于桥梁结构健康监测中的温度 效应预测问题。Ingle K K 等[16]引入莱维飞行和贪婪选择策略，丰富了 JAYA 算法种群的多样性，增 强了算法的勘探能力，并成功应用于信道均衡问题。Iacca G 等[17]引入莱维飞行用于 JAYA 算法位置 更新产生随机数，有效提高了算法跳出局部极值的能力。Fuqing Zhao 等[18]引入自适应学习策略，提 高了 JAYA 算法的全局搜索能力，并成功应用于多目标混合零空闲置换流水车间调度问题。Fei Kang 等[19]构建了基于高斯过程代理模型的 JAYA 算法，并成功应用于混凝土坝动力参数反演分析，拓宽 了 JAYA 算法的应用领域。Yiying Zhang 等[20]引入局部开发和全局探索策略，有效增强了 JAYA 算法 逃离局部最优的能力。Nayak D R 等[21]引入变异策略，增强了 JAYA 算法全局收敛能力。Yiying Zhang 等[22,23]引入包含三种不同学习策略的综合学习机制来更新个体位置，提高了 JAYA 算法的全局搜索 能力。 这些改进使 JAYA 算法在各自应用领域的优化性能得以提升，但 JAYA 算法求解全局优化和工 程设计优化问题的能力仍有进一步改进的空间。本文提出一种面向复杂函数和工程设计优化问题的 混合进化 JAYA 算法（Hybrid evolutionary JAYA algorithm, H-JAYA）。首先在计算当前最优和最差个 体位置时引入反向学习机制，增强最优和最差个体跳离局部极值区域的可能性。然后在个体位置更 新中引入并融合正弦余弦算子和差分扰动机制，不仅增加了种群的多样性，而且有效平衡和较好满 足了算法在不同迭代时期对探索和挖掘能力的不同需求。最后采用奇偶不同的混合进化策略，有效 利用不同演化机制的优势结果，进一步提高了算法的收敛性和精度。随后给出了算法流程伪代码， 用理论分析证明了 H-JAYA 没有增加算法的时间复杂度。通过对基于多个不同寻优特征基准函数的 CEC2017 测试函数集套件进行多维度、多算法极值优化求解对比测试，结果表明，H-JAYA 的收敛 性能、寻优精度和求解稳定性均有明显提升，求解 CEC2017 复杂函数的效果相当优越，全局优化能 力出色，非参数统计检验结果也显示了 H-JAYA 与其他对比算法的差异具有显著性。而对拉伸弹簧、 波纹舱壁、管柱设计、钢筋混凝土梁、焊接梁和汽车侧面碰撞等 6 个具有挑战性的工程设计约束优化 问题的求解，也显示了 H-JAYA 算法在处理不同类型工程优化设计问题时有着明显的优越性和适应 性。 1 改进算法 H-JAYA 1.1 基本 JAYA 算法 Step1 设置算法初始参数：种群个体数量 N 、最大进化代数Max iter _ 、个体维度 D ，并在寻优范 围内随机生成每个个体的初始位置 ( 1,2,..., ) i x i N  。 Step2 根据目标函数计算种群个体的适应度值  i f x 。 Step3 根据种群中个体的适应度值  i f x ，找出最好和最差适应度值 min f 和 max f ，并记录其位置 x best 和 x worst 。 录用稿件，非最终出版稿

Step4由公式(1)对个体每一维的位置进行更新。 x1+=x（l+r,x)-x（-r2x()-x (1) 其中，x()是当前全局最优位置的第j维值，x)为当前全局最差位置的第j维值，x,是 当前代中第i个个体在第广维的位置值，x:+)是更新后下一代中第i个个体在第j维的位置值，”1、 r,均为0,1之间均匀分布的随机数。 Stp5由目标函数f(x)求出新个体的适应度值，并对新旧解进行对比，若新解较优，则替换上 代的个体位置，否则保留原来的个体位置。 Step6判断当前迭代次数t是否达到最大迭代次数，若t≤Mar_iter, Step7确定最终的最优值并输出。 1.2引入反向学习机制 JAYA算法中种群的当前最优和最差位置具有重要作用，用来引种群个体向全局最优解进化， 但若种群的当前最优和最差位置陷入局部极值区域，就容易导致群体出现搜索停滞的现象，无法获 得更优的全局最优解。基于以上原因，将反向学习机制引入到AY个算法的当前最优和最差位置中。 本文使用的反向学习机制是将基本反向学习与随机反向学习相融合，使JAYA算法种群中当前 最优和最差个体位置随机进行基本反向学习或随机反向学习，从而增强最优和最差个体跳离局部极 值区域的可能性，更好地引导JAYA算法种群寻找到金局最优解。而只对个体位置更新计算中起关键 作用的当前最优和最差个体进行反向学习而不是树所有伞体再逐一进行反向学习，既有利于避免 JAYA算法陷于局部最优，又不至于影响算法的收敛速。引入反向学习机制的数学模型如下： 1 1fx.甽 x.o(+1)=x(t) (7) else

Step4 由公式(1)对个体每一维的位置进行更新。          1   1 2             j j j j j j i i best i worst i x x x x x x t t t t t t r r (1) 其中，   j best x t 是当前全局最优位置的第 j 维值，   j worst x t 为当前全局最差位置的第 j 维值，   j i x t 是 当前代中第i 个个体在第 j 维的位置值，  1 j i x t  是更新后下一代中第i 个个体在第 j 维的位置值，r 1、 r 2 均为 0,1 之间均匀分布的随机数。 Step5 由目标函数 f x  求出新个体的适应度值，并对新旧解进行对比，若新解较优，则替换上 代的个体位置，否则保留原来的个体位置。 Step6 判断当前迭代次数t 是否达到最大迭代次数，若t Max iter  _ ，返回 Step2； Step7 确定最终的最优值并输出。 1.2 引入反向学习机制 JAYA 算法中种群的当前最优和最差位置具有重要作用，用来引导种群个体向全局最优解进化， 但若种群的当前最优和最差位置陷入局部极值区域，就容易导致群体出现搜索停滞的现象，无法获 得更优的全局最优解。基于以上原因，将反向学习机制引入到 JAYA 算法的当前最优和最差位置中。 本文使用的反向学习机制是将基本反向学习与随机反向学习相融合，使 JAYA 算法种群中当前 最优和最差个体位置随机进行基本反向学习或随机反向学习，从而增强最优和最差个体跳离局部极 值区域的可能性，更好地引导 JAYA 算法种群寻找到全局最优解。而只对个体位置更新计算中起关键 作用的当前最优和最差个体进行反向学习而不是对所有个体再逐一进行反向学习，既有利于避免 JAYA 算法陷于局部最优，又不至于影响算法的收敛速度。引入反向学习机制的数学模型如下：   1 0.5; sign rand 0.5.          (2)       ' min max     ( ) sign  best best x x t t X X (3) if           '  best best f t f t x x     '   1 best best x x t t (4) else    1   best best x x t t (5) end         ' min max    sign  worst worst x x t t X X (6) if           '  worst worst f t f t x x    1   worst worst t t x x (7) else 录用稿件，非最终出版稿

xomt+l=xaat)） (8) end 其中：n为o,则之间均匀分布的随机数，rand为o,叫之间均匀分布的随机数，X=和X-分别为 种 群中个体位置空间的上界和下界。从和”分别是当前个体最优和最差位置，H 和 x.(++1) 分别是更新后的下一代个体最优和最差位置。 1.3引入正弦余弦算子和楚分扰动机制 基本JAYA算法，采用了一个统一的位置更新公式，机制清晰简单、易天现入洱具有趋优避差 的导向性特征，对一些问题有着较好的寻优效果。但对于一些复杂多极值优化同题，由于缺少不同 迭代时期需要不同全局探索和局部挖掘能力与平衡的机制，导致算法前期的全局搜索有时不够充分， 容易陷入局部极值，而后期则存在最优解附近局部精细挖掘能力不强的问题，造成算法有时寻优精 度不高和收敛速度较慢的情况。为此，在JAYA算法的个体位置更新中引入并融合正弦余弦算子和差 分扰动机制，正弦余弦算子通过迭代自适应因子和正弦余弦函数的变化改变JAYA算法中种群的个 体状态，增加种群的多样性，并有效平衡和较好满足了算法在不同迭代时期对探索和挖掘能力的不 同需求。差分扰动机制源于差分进化算法的变异思想，通过引入差分扰动，可以增强算法的局部搜 索能力，提高收敛速度，而采用的双随机差分策略也较好保持了种群的活跃性，降低算法陷入局部 极值的风险。将上述两种机制产生的位置更新公式通过转换概率：，分别对应于算法的全局搜索和 局部搜索阶段，有效提高了算法的寻优精度和收敛性能，数学模型如下： m.=rand if (m.<os -x*m义mm-ka-mmm:x-k (9) else (f八x.l<f八x.l if x,t+l=() (10) else 录用稿件 (x.-x) (11) end if end if 其中：m.为o,之间均匀分布的随机数，x()是当前全局最优位置的第j维值，x()为当前 全局最差位置的第维值，x)是当前代中第i个个体在第j维的位置值，x《+是更新后下一代中 第i个个体在第j维的位置值，x。、x。是种群中两个随机个体，满足a∈l,N和b∈中，，且a≠b≠i,缩 放因子F为0，之间的D维随机向量。在正弦余弦算子机制中，控制搜索距离的参数m:为0，网之间均

    '   1 worst worst t t x x (8) end 其中： 为 0,1 之间均匀分布的随机数，rand 为 0,1 之间均匀分布的随机数， X max 和 X min 分别为 种 群中个体位置空间的上界和下界。   best x t 和   worst x t 分别是当前个体最优和最差位置，  +1 best x t 和  +1 worst x t 分别是更新后的下一代个体最优和最差位置。 1.3 引入正弦余弦算子和差分扰动机制 基本 JAYA 算法，采用了一个统一的位置更新公式，机制清晰简单、易于实现，且具有趋优避差 的导向性特征，对一些问题有着较好的寻优效果。但对于一些复杂多极值优化问题，由于缺少不同 迭代时期需要不同全局探索和局部挖掘能力与平衡的机制，导致算法前期的全局搜索有时不够充分 ， 容易陷入局部极值，而后期则存在最优解附近局部精细挖掘能力不强的问题，造成算法有时寻优精 度不高和收敛速度较慢的情况。为此，在 JAYA 算法的个体位置更新中引入并融合正弦余弦算子和差 分扰动机制，正弦余弦算子通过迭代自适应因子和正弦余弦函数的变化改变 JAYA 算法中种群的个 体状态，增加种群的多样性，并有效平衡和较好满足了算法在不同迭代时期对探索和挖掘能力的不 同需求。差分扰动机制源于差分进化算法的变异思想，通过引入差分扰动，可以增强算法的局部搜 索能力，提高收敛速度，而采用的双随机差分策略也较好保持了种群的活跃性，降低算法陷入局部 极值的风险。将上述两种机制产生的位置更新公式通过转换概率m4，分别对应于算法的全局搜索和 局部搜索阶段，有效提高了算法的寻优精度和收敛性能，数学模型如下： 4 m  rand if   4 m  0.5              1 sin cos    1 2 3 1 2 3                 j j j j j j i i best i worst i x x m m m x x m m m x x t t t t t t (9) else if           a b f t f t x x        1 ( )        i best a b x x x x t t F t t (10) else      1 - ( )        i best a b x x x x t t F t t (11) end if end if 其中：m4为 0,1 之间均匀分布的随机数，   j best x t 是当前全局最优位置的第 j 维值，   j worst x t 为当前 全局最差位置的第 j维值，   j i x t 是当前代中第i 个个体在第 j 维的位置值，  1 j i x t  是更新后下一代中 第i 个个体在第 j 维的位置值，x a 、x b 是种群中两个随机个体，满足a N 1,  和b N 1,  ，且a b i   ，缩 放因子F 为 0,1 之间的D 维随机向量。在正弦余弦算子机制中，控制搜索距离的参数m2为 0, 之间均 录用稿件，非最终出版稿

匀分布的随机数，控制距离对解影响的参数m,为0，之间均匀分布的随机数，而对于控制搜索步长 的迭代自适应因子m,采用了带有随机性的非线性递减策略，其计算公式为： m,=1-ln1+ rand.(e-1)1 Max iter (12) 分析式2可知，m起着平衡全局搜索和局部搜索能力的重要作用。在算法迭代前期，m,的值 较大，全局搜索步幅较大，使算法具有较强的全局探索能力，而在算法迭代后期，：的值较小，增 加了算法在最优解附近区域深度挖掘的能力，提高了算法的收敛精度。而m,在保持从1到0整体非 线性递减趋势的同时，也呈现出一定的随机性，这种随机性降低了算法如在中前期未能搜索到全局 最优值附近，而在后期因控制因子的单调递减直接陷入局部极值无法跳出的风险。 1.4寄得不同的混合进化第暗 为了更好发挥和融合改进前后两种不同JAYA机制的进化特点，采用奇偶不同的混合进化策略， 具体描述为：当迭代次数为奇数时，使用融合正弦余弦算子和差分扰动的个体位置更新公式进行搜 索：当迭代次数为偶数时，使用基本JAYA算法的个体位置更新公式进行搜索。同时，在这两种机 制中都引入上面所述的反向学习机制，而且当更新后所产生个体的适应度值优于上一代个体的适应 度值时，新的个体位置将被接受，否则按一定概率接受更新后的个体位置。接受概率P的计算公式 为： (13) 其中，缩放因子入为[0,0.之间均匀分布的随机数人接受概率p利用e的负指数函数特性随迭 代次数增加而非线性递减，在算法的迭代前期，接受概率P较大，可以接受较多的差解，有利于进 化的多样性，随着迭代次数的增加，接受概率P不断减小，接受较差解越来越少，最后在接受概率 P趋于0时，就不再接受任何较差解了，这在迭代后期有利于算法在最优值附近利用两种不同机制 反复进行深度挖掘，提高了算法的收敛性和精度。 2H-JAYA算法流程与时间复杂度分析 2.1H-JAYA算法流程 H-JAYA算法描述如下： 适应度函数f(, 初始化种群x,i=(l,2, 初始化各参数 计算种群中个体的适应度值八x,) t=1 while(t≤MaxLiter) 根据种群中个体的适应度值儿，比较并记录最好和最差解的位置一和不 根据公式(2)~(8)以反向学习机制对最好位置x和最差位置xm进行反向学习 由公式12)计算迭代自适应因子m if(mod,2)≠0) *使用奇偶不同的混合进化策略*/

匀分布的随机数，控制距离对解影响的参数m3为 0,1 之间均匀分布的随机数，而对于控制搜索步长 的迭代自适应因子m1，采用了带有随机性的非线性递减策略，其计算公式为：   1 rand e 1 1 ln 1 _             t m Max iter (12) 分析式 12 可知，m1起着平衡全局搜索和局部搜索能力的重要作用。在算法迭代前期， m1的值 较大，全局搜索步幅较大，使算法具有较强的全局探索能力，而在算法迭代后期，m1的值较小，增 加了算法在最优解附近区域深度挖掘的能力，提高了算法的收敛精度。而m1在保持从 1 到 0 整体非 线性递减趋势的同时，也呈现出一定的随机性，这种随机性降低了算法如在中前期未能搜索到全局 最优值附近，而在后期因控制因子的单调递减直接陷入局部极值无法跳出的风险。 1.4 奇偶不同的混合进化策略 为了更好发挥和融合改进前后两种不同 JAYA 机制的进化特点，采用奇偶不同的混合进化策略， 具体描述为：当迭代次数为奇数时，使用融合正弦余弦算子和差分扰动的个体位置更新公式进行搜 索；当迭代次数为偶数时，使用基本 JAYA 算法的个体位置更新公式进行搜索。同时，在这两种机 制中都引入上面所述的反向学习机制，而且当更新后所产生个体的适应度值优于上一代个体的适应 度值时，新的个体位置将被接受，否则按一定概率接受更新后的个体位置。接受概率 p 的计算公式 为： 1 1 _  e           t p Max iter (13) 其中，缩放因子 为 0,0.1 之间均匀分布的随机数，接受概率 p 利用 e 的负指数函数特性随迭 代次数增加而非线性递减，在算法的迭代前期，接受概率 p 较大，可以接受较多的差解，有利于进 化的多样性，随着迭代次数的增加，接受概率 p 不断减小，接受较差解越来越少，最后在接受概率 p 趋于 0 时，就不再接受任何较差解了，这在迭代后期有利于算法在最优值附近利用两种不同机制 反复进行深度挖掘，提高了算法的收敛性和精度。 2 H-JAYA 算法流程与时间复杂度分析 2.1 H-JAYA 算法流程 H-JAYA 算法描述如下： 适应度函数 f x  初始化种群xi ，i N   1, 2, , K  初始化各参数Max iter _ 、D 、 N 计算种群中个体的适应度值  i f x t 1 while  t Max iter  _  根据种群中个体的适应度值  i f x ，比较并记录最好和最差解的位置 x best 和 x worst 根据公式 2 ~ 8    以反向学习机制对最好位置 x best 和最差位置 x worst 进行反向学习 由公式 12 计算迭代自适应因子m1 if  mod ,2 0  t    /*使用奇偶不同的混合进化策略*/ 录用稿件，非最终出版稿

for i=1:N m.=rand if(m.rand) X=Xno end if end if end for i else for i=1:N 用稿件 for 次 生成个上的随机数户，r 由公武)对个体第j维的位置进行更新 end for 计算更新后个体适应度值f八x) if(f(x.)<f(x)) X=Xo else 由公式计算接受概率p

for i N 1: 4 m  rand if   4 m  0.5 for j D 1: 由公式 9 使用正弦余弦算子对个体第 j 维的位置进行更新 end for j else 从种群中随机选取两个个体 x a 、x b if           a b f t f t x x  由公式 10 通过差分扰动机制对个体的位置进行更新 else 由公式 11 通过差分扰动机制对个体的位置进行更新 end if end if 计算更新后个体适应度值   new f x if       new i f f x x  x x i new  else 由公式 13 计算接受概率 p if  p rand   x x i new  end if end if end for i else for i N 1: for j D 1: 生成 0,1 上的随机数r 1，r 2 由公式 1 对个体第 j 维的位置进行更新 end for j 计算更新后个体适应度值   new f x if       new i f f x x  x x i new  else 由公式 13 计算接受概率 p 录用稿件，非最终出版稿

ifp>rand） X=Xo end if end if end for i end if t=t+1 end while 根据新的适应度值比较并输出最优解位置 2.2时间复杂度证正明 时间复杂度是体现算法性能的关键因素，它反映了算法的运算效率。文献24和文献[25]分别对 蝴蝶优化算法和萤火虫算法的时间复杂度进行了分析，本文采用同样的思想衬AYA算法的时间 复杂度进行分析。 对于群智能优化算法而言，当算法的进化代数和种群大小取值在之不合理范围内时，再增加进 化代数和种群大小的值，对提高算法的寻优能力和求解精度已基本没有作用，因此将迭代次数和种 群规模设置为一个固定值是群智能优化算法求解问题时普遍采用的友法，而决定算法时间复杂度的 基本要素就是代表问题规模的个体空间维度。 在基本JAYA算法中，若种群规模为N,个体位置的维度为n, 设：设置初始参数的时间为t, f八n 初始化JAYA算法个体位置中每一维的时间为”， 求 相标 函数适应度值的时间为。则初始化 种群阶段的时间复杂度为： T=O(。 O(n+f(n) 进入迭代后，总迭代次数为r_e 在个体位置更新阶段，设： 根据种群中个体的适应度值找出并记录最好和最差个体位置的时间 为，产生均匀分布随机数以5的时间分别为'，由公式()对个体位置每一维进行更新的时间为。 则该阶段的时间复杂度为： T=OL2+N-(2-43+n-4)=Om) 在边界处理和新伯解比较阶段，设：每个个体每一维边界处理的时间为，计算新个体适应度 值的时间为公新旧解适应度值的比较替换的时间为。，则此阶段的时间复杂度为： T=O(N.(n-ts+f(n)+t))=O(n+f(n)) 综上所述，基本AYA算法总的时间复杂度为： T(n)=T+Max_iter-(,=On+f(n)) 在H-JAYA改进算法中，算法的种群规模N、个体维度”、参数设置时间、初始化种群和求给定目 标函数适应度值的时间均与基本JAYA算法一致，两者初始化过程一样，因此H-JAYA算法在初始

if  p rand   x x i new  end if end if end for i end if t t  1 end while 根据新的适应度值比较并输出最优解位置 2.2 时间复杂度证明 时间复杂度是体现算法性能的关键因素，它反映了算法的运算效率。文献[24]和文献[25]分别对 蝴蝶优化算法和萤火虫算法的时间复杂度进行了分析，本文采用同样的思想对 H-JAYA 算法的时间 复杂度进行分析。 对于群智能优化算法而言，当算法的进化代数和种群大小取值在一个合理范围内时，再增加进 化代数和种群大小的值，对提高算法的寻优能力和求解精度已基本没有作用，因此将迭代次数和种 群规模设置为一个固定值是群智能优化算法求解问题时普遍采用的方法，而决定算法时间复杂度的 基本要素就是代表问题规模的个体空间维度。 在基本 JAYA 算法中，若种群规模为 N ，个体位置的维度为n ，设：设置初始参数的时间为t 0， 初始化 JAYA 算法个体位置中每一维的时间为t 1，求给定目标函数适应度值的时间为 f n  。则初始化 种群阶段的时间复杂度为： 1 0 1 T =O t N n t f n O n f n ( ( ( ))) ( ( ))       进入迭代后，总迭代次数为Max iter _ 。 在个体位置更新阶段，设：根据种群中个体的适应度值找出并记录最好和最差个体位置的时间 为 2 t ，产生均匀分布随机数 1 r 、2 r 的时间分别为 3 t ，由公式 1 对个体位置每一维进行更新的时间为 4 t 。 则该阶段的时间复杂度为： 2 2 3 4 T =O t N t n t O n ( (2 )) ( )       在边界处理和新旧解比较阶段，设：每个个体每一维边界处理的时间为 5 t ，计算新个体适应度 值的时间为 f n( ) ，新旧解适应度值的比较替换的时间为 6 t ，则此阶段的时间复杂度为： 3 5 6 T =O N n t f n t O n f n ( ( ( ) )) ( ( ))       综上所述，基本 JAYA 算法总的时间复杂度为：   1 2 3 T n =T +Max iter T T =O n f n _ ( )) （  + ） （ 在 H-JAYA 改进算法中，算法的种群规模 N 、个体维度n、参数设置时间、初始化种群和求给定目 标函数适应度值的时间均与基本 JAYA 算法一致，两者初始化过程一样，因此 H-JAYA 算法在初始 录用稿件，非最终出版稿

化种群阶段的时间复杂度与基本JAYA算法相同，为： T=T,=O(n+f(n》 进入迭代后，总迭代次数仍为Mar_ier。 根据种群中个体的适应度值找出并记录最好和最差个体位置的时间仍为，设：由公式(2)求 sg(n)的时间为8，由公式)、公式6)分别对最优解、最差解进行反向学习的时间均为：，分别对 反向学习前后新旧最优解、最差解进行比较替换的时间均为8，用公式13)产生接受概率P的时间为 8,则这一阶段的时间复杂度为： T,=0%2+6+262+26,+6)=00) 在迭代次数为奇数时的个体位置更新阶段，设：由公式2产生m:的时间为6，m:、m和转换概 率m都是均匀分布的随机数，产生它们的时间分别为， 执行全局搜索的个体数为k(0sk≤N ),由公式对个体位置每一维进行更新的时间为： P5执行局部搜索的个体数为N-k,此 时，从种群中随机选取两个个体的时间为， 随机选取个体适应度值的时间分别为(m ,比较这两个个体适应度值的时间为， 用公式 或山对个体位置进行更新的时间为8，则这一阶 段的时间复杂度为： T=0(6,+n-+(W-k)-(,+2fm++6》=0n+fm) 在迭代次数为奇数时的边界处理和新旧解比较阶段，每个个体每一维边界处理的时间、计算更 新后个体适应度值的时 解适应度值的比较替换时间均与基本JAYA算法在边界处理和新旧 解比较阶段的时间致， 故该阶段的时间复杂度为： T=T,=0n+f八) 在迭代次数为偶数时的个体位置更新阶段，产生均匀分布随机数”、：的时间分别为：、由公式 (进行每一维个体位置更新的时间仍为。故该阶段的时间复杂度为： T,=0N(2t3+mt,》=Om) 在迭代次数为偶数时的边界处理和新旧解比较阶段，每个个体每一维边界处理的时间、计算更 新后个体适应度值的时间、新旧解适应度值的比较替换时间均与迭代次数为奇数时的边界处理和新

化种群阶段的时间复杂度与基本 JAYA 算法相同，为： ' 1 1 T T= O n f n   ( ( )) 进入迭代后，总迭代次数仍为Max iter _ 。 根据种群中个体的适应度值找出并记录最好和最差个体位置的时间仍为 2 t ，设：由公式 2 求 sign  的时间为 1，由公式 3 、公式 6 分别对最优解、最差解进行反向学习的时间均为 2，分别对 反向学习前后新旧最优解、最差解进行比较替换的时间均为 3，用公式 13 产生接受概率 p 的时间为  4，则这一阶段的时间复杂度为： ' 2 2 1 2 3 4 T =O t O ( 2 2 ) (1)            在迭代次数为奇数时的个体位置更新阶段，设：由公式 12 产生m1的时间为 5，m2、m3和转换概 率m4都是均匀分布的随机数，产生它们的时间分别为t 3，设 4 m  0.5执行全局搜索的个体数为k ( 0   k N )，由公式 9 对个体位置每一维进行更新的时间为 6；而 4 m  0.5执行局部搜索的个体数为 N k  ，此 时，从种群中随机选取两个个体的时间为 7，计算这两个随机选取个体适应度值的时间分别为 f n( ) ，比较这两个个体适应度值的时间为t 6，用公式 10 或 11 对个体位置进行更新的时间为 8，则这一阶 段的时间复杂度为： ' 3 5 3 6 7 6 8 T =O +N t +k n N k f n t O n f n ( 3 ( ) ( 2 ( ) )) ( ( ))                  在迭代次数为奇数时的边界处理和新旧解比较阶段，每个个体每一维边界处理的时间、计算更 新后个体适应度值的时间、新旧解适应度值的比较替换时间均与基本 JAYA 算法在边界处理和新旧 解比较阶段的时间一致，故该阶段的时间复杂度为：   ' 4 3 T T= =O n f n ( )  在迭代次数为偶数时的个体位置更新阶段，产生均匀分布随机数r 1、r 2的时间分别为t 3、由公式  1 进行每一维个体位置更新的时间仍为 4 t 。故该阶段的时间复杂度为： ' 5 3 4 O N n O n ( (2 )) ( ) T t t       在迭代次数为偶数时的边界处理和新旧解比较阶段，每个个体每一维边界处理的时间、计算更 新后个体适应度值的时间、新旧解适应度值的比较替换时间均与迭代次数为奇数时的边界处理和新 录用稿件，非最终出版稿

旧解比较阶段相同。故该阶段的时间复杂度为： T。=T=0n+f) 综上所述，H-JAYA算法总的时间复杂度为： T()-T+Max_ier.M ier (-O(n+f(m) 2 由此可知，改进算法H-JAYA和基本JAYA算法的时间复杂度相同，没有降低算法的运行效率。 3仿真实验 为了全面检验改进算法H-JAYA的寻优能力，本文的仿真实验分为两部分进行。3.1节将算法在 CEC2017测试函数集上进行多维度函数极值优化测试，用以验证算法的寻优性能与收敛能力。3.2 节研究了6个具有挑战性的工程设计约束优化问题，用以检验算法在不同类型程优化设计问题上 的求解能力和应用潜力。两部分实验都将本文算法H-JAYA与基本AA算法(20l6))、Improved JAYA Optimization Algorithm(IJAYA,2017)14 Comprehensive Learning laya Algorithm (CLJAYA, 2020)2,2、鲸鱼优化算法(WOA,2016)和Hybrid Firefly and Particle Swarm Optimization Algorithm(HFPSO,2018)27共6种性能优越的代表性算法进行了比实验。 为了保证实验的公平性与客观性，6种对比算法采用相伺的软硬件平台在相同条件下独立运 行50次，运行环境为Windows10、编程语言为MATLAB R2019种群大小均为30，最大进化代数 Mr_ier=lOO0。算法参数设置方面，4种JAYA类算法无需务设参数，而WOA算法只需设置用于 定义对数螺旋的常数b=1,HFPS0算法中学习因子cK写c2均为1.49445，这些参数的取值都与各自 算法的原文献和源代码取值相同。 3.1函数极值优化仿真实验 3.1.1寻优精度分析 本文对CEC2017测试集中30个函数都进行了测试和分析，因篇幅限制下面只讨论按序给出的 混合测试函数(xa(x和（不组合测试函数(x)寸(x)、s(x~(x)和(x)(x,其他 函数的测试结果与之类似，不再 一赘述。 表1统计了6种算法分别10维、50维和100维时，对于不同测试函数各自独立运行50次， 得到的最佳值、平均值和羞。 表16种算法在定选代次数下的导优结果比较 Table 1 parison optimization results of 6 algorithms under fixed iteration times D=10 D=50 D=100 Functions Algorithm Best Mean Variance Best Mean Variance Best Mean Variance H-JAYA 1.10E+031.11E+03 1.40E+01 1.37E+03 1.74E+031.65E+05 1.50E+04 3.94E+042.47E+08 IJAYA 1.11E+03 1.12E+03 2.62E+01 3.87E+03 7.80E+03 2.20E+06 1.68E+05 2.55E+05 1.32E+09 CLJAYA 1.11E+03 1.18E+03 4.57E+03 5.95E03 1.27E+04 137E+07 9.30E+04 1.32E+05 3.71E+08 (x) HFPSO .+03 1.16E+03 2.65E+03 5.19E+03 1.43E+04 3.5407 .2E+05 2.37Et05 5.10E+09 JAYA 1.14E+03 1.19E+03 1.19E+03 5.59E+03 9.84E+03 6.79E06 1.66E+05 2.68E+05 2.61E+09 WOA 1.12E+03 1.22E+03 1.04E+04 2.93E03 5.25E+03 1.65E+06 1.26E+05 2.31E05 6.78E+09 f(x) H-JAYA 280E+03 1.01E+04 3.15E+07 6.03E+06 4.80E+07 5.94E+15 4.18E+081.46E+09 1.74E+18 IJAYA 8.60E+04 4.01E+05 1.35E+11 1.18E+09 1.85E+09 1.55E+17 9.17E+09 1.20E+10 2.80E+18

旧解比较阶段相同。故该阶段的时间复杂度为： ' ' 6 4 T T   O n f n ( ( )) 综上所述，H-JAYA 算法总的时间复杂度为：   ' ' ' ' ' ' ' 1 2 4 5 6 _ _ ( ( )) 2    + ( +3 ） Max iter T n =T +Max iter T T T +T +T =O n f n 由此可知，改进算法 H-JAYA 和基本 JAYA 算法的时间复杂度相同，没有降低算法的运行效率。 3 仿真实验 为了全面检验改进算法 H-JAYA 的寻优能力，本文的仿真实验分为两部分进行。3.1 节将算法在 CEC2017 测试函数集[26]上进行多维度函数极值优化测试，用以验证算法的寻优性能与收敛能力。3.2 节研究了 6 个具有挑战性的工程设计约束优化问题，用以检验算法在不同类型工程优化设计问题上 的求解能力和应用潜力。两部分实验都将本文算法 H-JAYA 与基本 JAYA 算法(2016)[13]、Improved JAYA Optimization Algorithm(IJAYA, 2017)[14]、Comprehensive Learning Jaya Algorithm（CLJAYA, 2020）[22,23]、鲸鱼优化算法（ WOA, 2016）[5]和 Hybrid Firefly and Particle Swarm Optimization Algorithm（HFPSO, 2018）[27]共 6 种性能优越的代表性算法进行了对比实验。 为了保证实验的公平性与客观性，6 种对比算法采用相同的软、硬件平台在相同条件下独立运 行 50 次，运行环境为 Windows10、编程语言为 MATLAB R2019a，种群大小均为 30，最大进化代数 Max iter _ =1000 。算法参数设置方面，4 种 JAYA 类算法无需另设参数，而 WOA 算法只需设置用于 定义对数螺旋的常数b=1，HFPSO 算法中学习因子 c1 与 c2 均为 1.49445，这些参数的取值都与各自 算法的原文献和源代码取值相同。 3.1 函数极值优化仿真实验 3.1.1 寻优精度分析 本文对 CEC2017 测试集中 30 个函数都进行了测试和分析，因篇幅限制下面只讨论按序给出的 混合测试函数     f x f x 11 12 ~ 和     f x f x 19 20 ~ ，组合测试函数     f x f x 21 22 ~ 、     f x f x 25 26 ~ 和     f x f x 29 30 ~ , 其他 函数的测试结果与之类似，不再一一赘述。 表 1 统计了 6 种算法分别在 10 维、50 维和 100 维时，对于不同测试函数各自独立运行 50 次， 得到的最佳值、平均值和方差。 表 1 6 种算法在固定迭代次数下的寻优结果比较 Table 1 Comparison optimization results of 6 algorithms under fixed iteration times Functions Algorithms D=10 D=50 D=100 Best Mean Variance Best Mean Variance Best Mean Variance   11 f x H-JAYA 1.10E+03 1.11E+03 1.40E+01 1.37E+03 1.74E+03 1.65E+05 1.50E+04 3.94E+04 2.47E+08 IJAYA 1.11E+03 1.12E+03 2.62E+01 3.87E+03 7.80E+03 2.20E+06 1.68E+05 2.55E+05 1.32E+09 CLJAYA 1.11E+03 1.18E+03 4.57E+03 5.95E+03 1.27E+04 1.37E+07 9.30E+04 1.32E+05 3.71E+08 HFPSO 1.11E+03 1.16E+03 2.65E+03 5.19E+03 1.43E+04 3.54E+07 1.12E+05 2.37E+05 5.10E+09 JAYA 1.14E+03 1.19E+03 1.19E+03 5.59E+03 9.84E+03 6.79E+06 1.66E+05 2.68E+05 2.61E+09 WOA 1.12E+03 1.22E+03 1.04E+04 2.93E+03 5.25E+03 1.65E+06 1.26E+05 2.31E+05 6.78E+09   12 f x H-JAYA 2.80E+03 1.01E+04 3.15E+07 6.03E+06 4.80E+07 5.94E+15 4.18E+08 1.46E+09 1.74E+18 IJAYA 8.60E+04 4.01E+05 1.35E+11 1.18E+09 1.85E+09 1.55E+17 9.17E+09 1.20E+10 2.80E+18 录用稿件，非最终出版稿