10296ds6s448564981e344d727c6d 第1到共 23顶 《数学思想方法》单元辅导1 第一章数学思想与方法的两个源头 学习要求 1.知道（几阿解本）和（九童草术》形成的解因和蒂本内容 2.理解（几何原本）和《九登草术》数学思想的特点和意义。 主要内容指导 一、《几何原本》思想方法的体例及特点 《几何原本)共有十三篇，第一篇到第四算是关于平面几何一一直线形和圆的理论，第 五篇是比例论，第六篇讲平面相似形，第七，八，九篇则阐述算术（数论），第十篇是关于“不 可通约量”的理论，第十一、十二、十三篇是关于立体几何的理论和“穷粥法”·从内容上 米看，可以说，包括了当时希册数学各个方面的成就。《几何原本》思把方法上的特点，可 以表述如下。 (1)封闭的演择体系 (儿何原本》就是一个最早的标准的滴释体系：由少数不定义的概念，如点售线、平面 等等，和不证明的命圈一一公理与公设一一出发，在需要的地方，定义出相应的概名，按着 一定的逻相烧则，演怀出所有其他命题米。在《几何原本》的演释体系中，公理是最一粮的 命思，它门是一系列流绎推理的前提，这个体系的所有其也命思。都是从公理通过适当的 定义)推导出米的。除了推导所需要的逻舞规则外，《几何原本》的由一系列公理，定义， 定理等构成的数学理论体系，原则上不必依赖于其地东西。当然，在实际上，《儿何原本》 在某线陆方背离了这个原则：任明某些命题时运用了公理和逐辑规则之外的“直观”，但是， 那贝是个别的地方，并不影响体系的大局：而且，正是作为《几何原本》的“缺陷”面受到 了人们的指责的，后来的人们按欧几里得的原意，不新地在体系中排除直观，得到更严格的 数学理论体系，其指导思想正是由《几何原本》开始的。由于《几何原本)的这种思想原则 和结构方式，从实质上说，《几何原本》是一个比较完整的、相对封闭的数学理论体系。 (2)抽象化的内容 《几何原本)以及以它为代表的吉希醋数学著述，都是论述一般的、抽象的数学概念和 命题的。它们探讨的只是概念和命题的各种逻细关系，由一些给定了的概念和命题推演出另 一些概念和命题。它不考虑产生这些概之和命愿的社会背景，也不研究这些数学“模型”所 由之产生的那些现实原型，比如在《几何厚本》中研究了“所有的”矩形（即抽象的“矩形” 概含)的性质，们却不研究任何一个具体的矩形的实物的大小。又如在《几何原本》中，研 究数的若干性质，但却一点也不涉及具体的数的计算和应用。它用线段表示数。即一般的、 抽象的数，用演释推理研究其性质。它排斥各种理论的实际应用，重祝抽象理论、那祝具体 运用是《几何原本》的基本倾向
108296d8fae4485fa4983e344df727c6.doc 第 1 页 共 23 页 《数学思想方法》单元辅导 1 第一章 数学思想与方法的两个源头 学习要求 1．知道《几何原本》和《九章算术》形成的原因和基本内容； 2．理解《几何原本》和《九章算术》数学思想的特点和意义。 主要内容指导 一、《几何原本》思想方法的体例及特点 《几何原本》共有十三篇，第一篇到第四篇是关于平面几何一一直线形和圆的理论，第 五篇是比例论，第六篇讲平面相似形，第七、八、九篇则阐述算术(数论)，第十篇是关于“不 可通约量”的理论，第十一、十二、十三篇是关于立体几何的理论和“穷竭法”。从内容上 来看，可以说，包括了当时希腊数学各个方面的成就。《几何原本》思想方法上的特点，可 以表述如下。 （1）封闭的演绎体系 《几何原本》就是一个最早的标准的演绎体系：由少数不定义的概念，如点售线、平面 等等，和不证明的命题——公理与公设——出发，在需要的地方，定义出相应的概念，按着 一定的逻辑规则，演绎出所有其他命题来。在《几何原本》的演绎体系中，公理是最一般的 命题，它们是一系列演绎推理的前提，这个体系的所有其他命题，都是从公理(通过适当的 定义)推导出来的。除了推导所需要的逻辑规则外，《几何原本》的由一系列公理、定义、 定理等构成的数学理论体系，原则上不必依赖于其他东西。当然，在实际上，《几何原本》 在某些地方背离了这个原则：证明某些命题时运用了公理和逻辑规则之外的“直观”。但是， 那只是个别的地方，并不影响体系的大局；而且，正是作为《几何原本》的“缺陷”而受到 了人们的指责的，后来的人们按欧几里得的原意，不断地在体系中排除直观，得到更严格 的 数学理论体系，其指导思想正是由《几何原本》开始的。由于《几何原本》的这种思想原则 和结构方式，从实质上说，《几何原本》是一个比较完整的、相对封闭的数学理论体系。 （2）抽象化的内容 《几何原本》以及以它为代表的古希腊数学著述，都是论述一般的、抽象的数学概念和 命题的，它们探讨的只是概念和命题的各种逻辑关系，由一些给定了的概念和命题推演出另 一些概念和命题。它不考虑产生这些概念和命题的社会背景，也不研究这些数学“模型”所 由之产生的那些现实原型。比如在《几何原本》中研究了“所有的”矩形(即抽象的“矩形” 概念)的性质，但却不研究任何一个具体的矩形的实物的大小。又如在《几何原本》中，研 究数的若干性质，但却一点也不涉及具体的数的计算和应用。它用线段表示数，即一般的、 抽象的数，用演绎推理研究其性质。它排斥各种理论的实际应用，重视抽象理论、鄙视具体 运用是《几何原本》的基本倾向
10s296ds0e448504983e344dT27c6de 第2项共 25风 (3)公理化的方法 作为现代数学的一种基本的表运方法和发展方式的公理法就是以欧几里得的《几何原 本》开其端的。它采用了前面我们说的比较严格的演绎体系一一通常称为公理体系。而建立 公理体系的方法就称为公理方法。欲几里得的公理法对后世影响极大，《几何原本》作为公 理法的具范对数学以及科学的发展起了很大的作用，现代数学和各门科学中的公理法正是由 《儿何原本》的公理法发展出米的。 作为现代数学的一种基本的表述方法和发展方式的公理法就是以欧几里得的（几何原 木》开其端的。它采用了前面我们说的比较严格的演样体系一一通常称为公理体系。而建立 公理体系的方法就称为公理方法。 《几何原本)13篇，共给出475个（有的版本是477个）命题，其中10个作为公理（冢 书分为5个“公理”，5个“公设”一一公理是指在“所有”科学中都适用的面公设则仅适 用于“几何学”，现代人们不如区别，一概称为公理)，其余65个命题都是由这些公理及 有关概念的定义演择推导出米的。在每一篇的开头都先给出本篇中所需要的服念的定义，共 给出119个定义。其中除了“点”、“线”、“面”等应看作不定义的概念以及个别定义不 确外，基本上都是符合逻辑上对定义的要求的： 从结构上米看，在第一算开头给出了10个公理，这是对全书都有效的。然后给出3 个定复。定义之后开始逐一引入和证明定理，定理的引入是有序的，因为在一个定理的证明 中，允许采用的论据只有公理和前面已经证过的定理。以后各算除了不再给出公理外也都属 此办理。全书来看也符合这种有序性：后面各算中可以利用前面各篇中的定义和定理作为证 明的依据，除了个别定理的证明不够严格，例如利用了图形的直观等，还有个别证情的以外， 大分证明从今天的观点来看也是正确的。 欧几里得的公理法对后世影响极大，《几何原本》作为公理法的具范对数学以及科学的 发展起了很大的作用。现代数学和各门科学中的公理法正是由《几何原本》的公理法发展出 来的。 二《几何原本》的思想方法源远流长 《几何原本》可以说是古希腊数学思纪的集中表现，它把古希醋数学的特点，数学思塑 方法的特点发扬光大了。考黎古希眉数学思塑的来源，则要追测到吉希背人进入文明的白然 历史条件。 希卧文明是一个海上文明，希卧半岛被海清地峡和高山分隔为被此几乎隔绝的小区域， 又有爱琴海上和爱奥尼亚海上希精两边诸岛的，把希醋半岛和小亚细亚)意大利连接起来。 当船在海上航行时，前后都有肉取可以里得见的岛屿，能够指示航程，这种条件几乎是世界 上任何其他地区都不具备的。希普海上文明以向海外移民的方式进行发晨，移民点首先形成 藏邦国家，海外贸易成为极其重要的经济活动。 正是希曹蚁隶制国家的这种塑特的城邦制度决定了吉希醋文化以及数学的特点
108296d8fae4485fa4983e344df727c6.doc 第 2 页 共 23 页 （3）公理化的方法 作为现代数学的一种基本的表述方法和发展方式的公理法就是以欧几里得的《几何原 本》开其端的。它采用了前面我们说的比较严格的演绎体系——通常称为公理体系，而建立 公理体系的方法就称为公理方法。欧几里得的公理法对后世影响极大，《几何原本》作为公 理法的典范对数学以及科学的发展起了很大的作用。现代数学和各门科学中的公理法正是由 《几何原本》的公理法发展出来的。 作为现代数学的一种基本的表述方法和发展方式的公理法就是以欧几里得的《几何原 本》开其端的。它采用了前面我们说的比较严格的演绎体系——通常称为公理体系，而建立 公理体系的方法就称为公理方法。 《几何原本》13 篇，共给出 475 个(有的版本是 477 个)命题，其中 10 个作为公理(原 书分为 5 个“公理”，5 个“公设”——公理是指在“所有”科学中都适用的而公设则仅适 用于“几何学”，现代人们不加区别，一概称为公理)，其余 465 个命题都是由这些公理及 有关概念的定义演绎推导出来的。在每一篇的开头都先给出本篇中所需要的概念的定义，共 给出 119 个定义。其中除了“点”、“线”、“面”等应看作不定义的概念以及个别定义不 确外，基本上都是符合逻辑上对定义的要求的。 从结构上来看，在第一篇开头给出了 10 个公理，这是对全书都有效的，然后给出 23 个定义，定义之后开始逐一引入和证明定理。定理的引入是有序的，因为在一个定理的证明 中，允许采用的论据只有公理和前面已经证过的定理。以后各篇除了不再给出公理外也都照 此办理，全书来看也符合这种有序性：后面各篇中可以利用前面各篇中的定义和定理作为证 明的依据。除了个别定理的证明不够严格，例如利用了图形的直观等，还有个别证错的以外， 大部分证明从今天的观点来看也是正确的。 欧几里得的公理法对后世影响极大，《几何原本》作为公理法的典范对数学以及科学的 发展起了很大的作用。现代数学和各门科学中的公理法正是由《几何原本》的公理法发展出 来的。 二 《几何原本》的思想方法源远流长 《几何原本》可以说是古希腊数学思想的集中表现，它把古希腊数学的特点，数学思想 方法的特点发扬光大了。考察古希腊数学思想的来源，则要追溯到古希腊人进入文明的自然 历史条件。 希腊文明是一个海上文明，希腊半岛被海湾地峡和高山分隔为彼此几乎隔绝的小区域， 又有爱琴海上和爱奥尼亚海上希腊两边诸岛屿，把希腊半岛和小亚细亚)意大利连接起来。 当船在海上航行时，前后都有肉眼可以望得见的岛屿，能够指示航程，这种条件几乎是世界 上任何其他地区都不具备的。希腊海上文明以向海外移民的方式进行发展，移民点首先形成 城邦国家，海外贸易成为极其重要的经济活动。 正是希腊奴隶制国家的这种独特的城邦制度决定了古希腊文化以及数学的特点
108296d5fae4485f24983e344df727c6 doc 第3页共 23项 在古希精的社会生活中，需要应用数学来解决的问愿，当然包括办理事务、商业贸易 以及最基本的杜会生产实我一一农业、手工业一一等方面的问圈。对于利用数学米解决这些 问题，一方面在古埃及数学，巴比伦数学中已小有基础，稍加改变就可以应用：另一方面由 于古希量城邦制度，大量使用奴隶劳动，面同时，古希精的手工业和商业都是私人的事业， 因而实际上在颇大的程度上，它们也是由效蚊隶（管家）具体经营的，奴隶可以采用古代东方传 来的数学解决这些日圈。在奴隶社会中，奴隶主阶级是不会从事奴隶所做之事的，这就使得 作为复隶主阶级中人的古希醋爱学家所创立的数学体系中不包含实际应用数学的内容。吉希 量数学家十分那视“应用”数学，这也是一个重要的原因。 幕么当时的社会实践向数学家（他门都是哲学家）提出了什么问题呢？提出了在政治生 活中怎样提高论技巧的网恶。由于吉希醋的规邦制度，奴隶主阶级成员辉享有广泛的民主， “民主生话又使得议事会、陪市法庭和公民大会成为说话的艺术即雄料术的广国的用武之 地，维辩术可以使一个普通公民成为民众的领袖。”辞论术成为希醋哲学家（他们也是数学 家)所努力研究的对象，而数学是科论术的有力工具。不过辩论术需要的数学和农业、手工 业及商业中需要的数学是不一样的。用数学作为论术的工具就要强调数学概念的准确 性、正辑推理的严谨性、发展数学证明的技巧和方法等等：实际上，古希册的逻辑学：是与 量学有关地发展起米的 古希精社会生活中的实践需要，促使了数学滴峰方法的发展。促进了形式逻细的发展， 这种家展反过来又作用于数学，在一定程度上左右了数学发展的方白，千是逐渐发展了公理 化的方法，强调抽象化的理论，形成了封闭的演解体系。当然，这个体系的形成是一个较长 的历史过程。 古希精的泰勒斯(Thales,约公元前624一57年)首先开始采用数学证明的方法，他是 公认的希腊哲学的鼻租。秦勒斯早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，学到了古代的 知识。后米开始从自然现象中去寻找真理，创立了伊爽尼亚学派。据说。素粉斯曾测量过埃 及金字塔的高度，还预言过公元前585年5月8日发生的一次日蚀。他的最大的贡献则是 开始采用证明方法，它标志若希普人的数学走上了抽象化发提的道路。 精后，有毕达哥拉斯(Pytha0s。釣公元前590一00年，希腊)及其学派的数学工作。 他门企图用数来解释一切，不仅仅认为万物都包含数，而且说万物都是数。华达哥拉斯发残 了勾股定理，可能他学派中的成员还给出了正明（西方称为毕达哥拉撕定理），并且由此导致 不可通约量的发现。他们还找到用三个正整数表示直角三角形三边长的一种公式，发现了五 种正多面体，在毕达哥拉斯学派那里。数学完全离开了人们的实际应用（基粉斯还把数学应 用于实际利题)成为一门抽象的科学。 公元前5世纪，雅具出现了智人学派，他们把数学与雄哥术、文法，逻辑、大文等结合 起来探时，他门在数学上研究的中心月题是尺规作图的三大问题：1。三等分任意角：2，倍 立方一一求作一个立方体，使其体积是一已知立方体的二修：3，化圆为方一一求作一正方 形，使其而积等于一已知圆。这三个月题当时并没有解决，但对它的研究促进了数学的抽象 化发展。实际上，“智人”门探时作图问题的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺提的 限制下从理论上去解决这些问题，这是数学从实际应用向理论研究过浅的一个重要的步骤。 尺规作图的研究为公理的形成莫定了基陆一一关于尺规作图的规定与后米欧几里得《几何原 本》中的若干公理是一致的
108296d8fae4485fa4983e344df727c6.doc 第 3 页 共 23 页 在古希腊的社会生活中，需要应用数学来解决的问题，当然包括办理事务、商业贸易、 以及最基本的社会生产实践——农业、手工业—一等方面的问题。对于利用数学来解决这些 问题，—方面在古埃及数学，巴比伦数学中已小有基础，稍加改变就可以应用；另一方面由 于古希腊城邦制度，大量使用奴隶劳动，而同时，古希腊的手工业和商业都是私人的事业， 因而实际上在颇大的程度上，它们也是由奴隶(管家)具体经营的，奴隶可以采用古代东方传 来的数学解决这些问题。在奴隶社会中，奴隶主阶级是不会从事奴隶所做之事的，这就使得 作为奴隶主阶级中人的古希腊数学家所创立的数学体系中不包含实际应用数学的内容。古希 腊数学家十分鄙视“应用”数学，这也是一个重要的原因。 那么当时的社会实践向数学家(他们都是哲学家)提出了什么问题呢？提出了在政治生 活中怎样提高辩论技巧的问题。由于古希腊的城邦制度，奴隶主阶级成员都享有广泛的民主， “民主生活又使得议事会、陪审法庭和公民大会成为说话的艺术即雄辩术的广阔的用武之 地，雄辩术可以使一个普通公民成为民众的领袖。” 辩论术成为希腊哲学家(他们也是数学 家)所努力研究的对象，而数学是辩论术的有力工具。不过辩论术需要的数学和农业、手工 业及商业中需要的数学是不一样的。用数学作为辩论术的工具就要强调数学概念的准确 性、逻辑推理的严谨性、发展数学证明的技巧和方法等等。实际上，古希腊的逻辑学就是与 数学有关地发展起来的。 古希腊社会生活中的实践需要，促使了数学演绎方法的发展，促进了形式逻辑的发展， 这种家展反过来又作用于数学，在一定程度上左右了数学发展的方向，于是逐渐发展了公理 化的方法，强调抽象化的理论，形成了封闭的演绎体系。当然，这个体系的形成是一个较长 的历史过程。 古希腊的泰勒斯(Thales，约公元前 624—547 年)首先开始采用数学证明的方法，他是 公认的希腊哲学的鼻祖。泰勒斯早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，学到了古代的 知识。后来开始从自然现象中去寻找真理，创立了伊奥尼亚学派。据说，泰勒斯曾测量过埃 及金字塔的高度，还预言过公元前 585 年 5 月 28 日发生的一次日蚀。他的最大的贡献则是 开始采用证明方法，它标志着希腊人的数学走上了抽象化发展的道路。 稍后，有毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前 580—500 年，希腊)及其学派的数学工作。 他们企图用数来解释一切，不仅仅认为万物都包含数，而且说万物都是数。毕达哥拉斯发现 了勾股定理，可能他学派中的成员还给出了证明(西方称为毕达哥拉斯定理)，并且由此导致 不可通约量的发现。他们还找到用三个正整数表示直角三角形三边长的一种公式，发现了五 种正多面体。在毕达哥拉斯学派那里，数学完全离开了人们的实际应用(泰勒斯还把数学应 用于实际问题)成为一门抽象的科学。 公元前 5 世纪，雅典出现了智人学派，他们把数学与雄辩术、文法、逻辑、天文等结合 起来探讨。他们在数学上研究的中心问题是尺规作图的三大问题：1．三等分任意角；2．倍 立方—一求作一个立方体，使其体积是一已知立方体的二倍；3．化圆为方——求作一正方 形，使其面积等于一已知圆。这三个问题当时并没有解决，但对它的研究促进了数学的抽象 化发展，实际上，“智人”们探讨作图问题的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的 限制下从理论上去解决这些问题，这是数学从实际应用向理论研究过渡的一个重要的步骤。 尺规作图的研究为公理的形成奠定了基础——关于尺规作图的规定与后来欧几里得《几何原 本》中的若干公理是一致的
10296ds6s448564981e344d727c6d 第4到共 23项 爱利亚E1ea,意大利半岛南端学派的巴门尼德(Parmenides,的公元前6世纪末一公 元黄5世纪中叶以后，希爵)第一个采用了反证法，反正法的采用使得人们得到某种拍象的 思想事物的“存在”性，从而实现了认积中从个别到一般的转化，对数学理论的发展具有重 大的意义。这一个学派的芝诺(2o,的公元前价一43年，希腊)在证明中使用了归深法， 面且他提出的四个悖论（二分悖论，追龟悖论、飞箭不动、运动场悖论》对逻辑的发展也起了 巨大的推动作用。 霍典学派的柏2图(Pht©如，的公元前27一347年，希腊)丰常重视数学，论述了许多论 证方法、定义方法及一些逻细规律，他最先要求数学定义要准确，假设要清楚并提出证明的 某些逐辑要求.柏拉图的学生亚里士多德(Aristotcles,.公元前3粥一322，希精)对古希衢 数学体系的形成作出了重大贡献。首先，他给出西方第一个逻辑系统：他对各种逻辑规律， 例如矛盾律、排中律，同一律都作了论速，指出它们在逻辑证明中的重要意文：触发展了三 段论法这种滴择推理的基本方法，实际上，他的三段论体系就是一个初级的公理体系，明显 的表现出公理化的横向：他论述了一个体系内不定义的概念和不证明的公理存在的匹要性， 并在实际上给出后米款几里得所采用的某些公理，亚里士多德莫定了古希背数学的、逻辑基 础，欧几里得正是在这个基础上完成了自己的体系的。 《几何原本》的公理化方法是一种严格的演译推理方法，每一步推理都要求有根据，这 种严格性本身就不能接受“无限”的观多，这也是古希醋数学思想的一个传统，亚里士多德 就不承认“实无限”一一实际上的、真实存在的完成了的无限一一的存在，他认为只有“潜 无限”一一一种潜在的、不断继续的、不能完成的过程—一概念。《几何原本》鞋承了这种 思想并以一种数学体系来表达出这一点。但不承认“实无限”与数学本身是有矛盾的，例如 巴门尼德的存在性证明，芝诺的归谬法。都是《几何原本》中采用的有效论适方法，自它们 实际上是依赖于“实无限”的观之的一一只有承认无限集合是一个完成了的“存在”，才能 对其使用排中律，这是反证法的依据。此外，“不可通约”量的“存在”也就是实无限的存 在，在古希醋数学发展之初，就由于发现不可通的量而引起了一场“危机”，这实际就是这 种矛盾的一一种表现。对这个矛盾，《几何冢本》采取了日避的办法，例知一条直线的延长 可能，不说成可以“无限”延长，而说成可以“任意”延长：第五公设的表运方式最能体呢 这一点：不深用过直线外一点具能引该直线的一条平行线这一命题，而采用“如果一直线和 两直线相交，所构成的两个月侧内角之和小于两直角，那么，把这两直线延长，它们一定在 那两内角所在的一侧相交”这种说法，日道了检验平行的无限延长问题。但回避并不等于不 存在矛盾，《几何系本》的一线缺点。例知有的地方过于依懒直观没有引入相应公理夕在很 大程度上也与这种“回避”有关，因为例如连续性也是依赖于“实无限”观。 《几何原本》是古希卧数学由素勒斯和毕达哥拉斯开其瑞的传统发展的产物，可以说是 古希醋数学的最高成就。它开拓了数学思想发展的一个取之不湖的源泉，对人类文化的发展 做出了重大的贡献。但它本身，随着希背文明的兴衰，却有着一段由折的经历： 公元前4世纪，由于马其领人征服了希替，希普文化得以传到电中海沿岸的广大地区， 特别是埃及的亚历山大成为学术的中心，希量本土反而退居次要地位。公元前16年，罗马 人灭亡希醋，并主幸了地中海沿岸地区，亚历山大的希醋学者仍能雕承前人的工作，数学上 有所建树。在当时的社会急刚变化的情况下，数学也有了多方面的发展，如数论，大地测量， 算术等。而欧几里得《几何原本》提供的体系上，思想方法上的范例仍然是一条主线
108296d8fae4485fa4983e344df727c6.doc 第 4 页 共 23 页 爱利亚(E1ea，意大利半岛南端)学派的巴门尼德(Parmenides，约公元前 6 世纪末一公 元前 5 世纪中叶以后，希腊)第一个采用了反证法，反证法的采用使得人们得到某种抽象的 思想事物的“存在”性，从而实现了认识中从个别到一般的转化，对数学理论的发展具有重 大的意义。这一个学派的芝诺(Zeno，约公元前 49—43 年，希腊)在证明中使用了归谬法， 而且他提出的四个悖论(二分悖论，追龟悖论、飞箭不动、运动场悖论)对逻辑的发展也起了 巨大的推动作用。 雅典学派的柏拉图(Phton，约公元前 427—347 年，希腊)非常重视数学，论述了许多论 证方法、定义方法及一些逻辑规律，他最先要求数学定义要准确，假设要清楚并提出证明的 某些逻辑要求。柏拉图的学生亚里士多德(Aristotcles，公元前 384—322，希腊)对古希腊 数学体系的形成作出了重大贡献。首先，他给出西方第一个逻辑系统；他对各种逻辑规律， 例如矛盾律、排中律、同一律都作了论述，指出它们在逻辑证明中的重要意义；他发展了三 段论法这种演绎推理的基本方法，实际上，他的三段论体系就是一个初级的公理体系，明显 的表现出公理化的倾向；他论述了一个体系内不定义的概念和不证明的公理存在的必要性， 并在实际上给出后来欧几里得所采用的某些公理。亚里士多德奠定了古希腊数学的、逻辑基 础，欧几里得正是在这个基础上完成了自己的体系的。 《几何原本》的公理化方法是一种严格的演绎推理方法，每一步推理都要求有根据，这 种严格性本身就不能接受“无限”的观念。这也是古希腊数学思想的一个传统，亚里士多德 就不承认“实无限”——实际上的、真实存在的完成了的无限——的存在，他认为只有“潜 无限”——一种潜在的、不断继续的、不能完成的过程——概念。《几何原本》继承了这种 思想并以一种数学体系来表达出这一点。但不承认“实无限”与数学本身是有矛盾的，例如 巴门尼德的存在性证明，芝诺的归谬法，都是《几何原本》中采用的有效论证方法，但它们 实际上是依赖于“实无限”的观念的——只有承认无限集合是一个完成了的“存在”，才能 对其使用排中律，这是反证法的依据。此外，“不可通约”量的“存在”也就是实无限的存 在，在古希腊数学发展之初，就由于发现不可通约量而引起了一场“危机”，这实际就是这 种矛盾的——种表现。对这个矛盾，《几何原本》采取了回避的办法，例如一条直线的延长 可能，不说成可以“无限”延长，而说成可以“任意”延长；第五公设的表述方式最能体现 这一点：不采用过直线外一点只能引该直线的一条平行线这一命题，而采用“如果一直线和 两直线相交，所构成的两个同侧内角之和小于两直角，那么，把这两直线延长，它们一定在 那两内角所在的一侧相交”这种说法，回避了检验平行的无限延长问题。但回避并不等于不 存在矛盾，《几何原本》的—些缺点，例如有的地方过于依赖直观没有引入相应公理夕在很 大程度上也与这种“回避”有关，因为例如连续性也是依赖于“实无限”观。 《几何原本》是古希腊数学由泰勒斯和毕达哥拉斯开其端的传统发展的产物，可以说是 古希腊数学的最高成就。它开拓了数学思想发展的一个取之不竭的源泉，对人类文化的发展 做出了重大的贡献。但它本身，随着希腊文明的兴衰，却有着一段曲折的经历。 公元前 4 世纪，由于马其顿人征服了希腊，希腊文化得以传到地中海沿岸的广大地区， 特别是埃及的亚历山大成为学术的中心，希腊本土反而退居次要地位。公元前 146 年，罗马 人灭亡希腊，并主宰了地中海沿岸地区，亚历山大的希腊学者仍能继承前人的工作，数学上 有所建树。在当时的社会急剧变化的情况下，数学也有了多方面的发展，如数论、大地测量、 算术等，而欧几里得《几何原本》提供的体系上、思想方法上的范例仍然是一条主线
10s296ds0c448504983e344dT27c6dee 第5项其 23项 公元325年，罗马帝围君土坦丁大帝开始利用亲教作为饶治工具，把一切学术都置于基 督数神学的控制之下，52四年，东罗马音国皇帝查士丁尼下令关闭雅奥的柏拉图学园以及 其他学校，严禁传授数学。许多学者途到假利亚和波斯等地。希醴数学受到沉重的打击。641 年，亚历山大被阿拉怕人占领，图书馆被毁，古希量数学至此中断。 这时的欧洲，己进入中世纪的“黑暗时代”，数学受到了冷遇。《儿何原本》也无人问 津了。 三、《九章算术》思想方法的体例及特点 《九章算术》共分九章，每一章都包括若干道问愿。共计有2筋道思。每道问题后给以 答案，一些问题后给出“术”，即解避的方法。通过这种形式，对我国古代数学作了总结和 发展，代表了中国古代数学的基本思想方法，它具有如下的特点。 (1)开放的归纳体系 《九章算术)是按着当时社会实线所需要解决的问题米分类的，每一类（一章）中设置若 干个实际问题。每个问题都给出答案，并提债有关的算法。由于实家问题是从具体的东西开 始研究，所以是一个归纳的体系一一从个别的月圈到一般的算法。又由于是按当时社会实置 所需要解决的问思来分类的，那么社会实置的发展必然向数学提出新的问题来，那也就必然 会直接促进数学的发展，数学的发展直接米自社会实我中的问题，所以是一个开枚的体系。 整个中国古代数学思想都具有这个特点，《九章算术》是它的一个典型代表。 《九春算术》的每一章都是同一类型的应用问题成者是通过月类数学模型来解决的多种 应用月题。为了认试其体系上的特点，我们简述各章的内容。 第一章，“方田”。计有3朗道问题，其中计算各种形状的国地面积的题川有24道，提 供了“方田术”、“主田术”、“零田术”、“箕田术”、“圆田术”、“宛田术”、“到 田术”、“环田术”等多种算法。还有与计算面积有关的分数四则计算恩14道。这一章里 注重研究了各种具体田地面积的计算法。 第二章，“聚米”，有6道思。其中有计算各种粮食互相兑换的同恩。其他有关转， 竹、漆、丝，缓、布，天弊等生产、生话废料的问题15道，都是比例问题。本章里提供了 有关的具体算法。 第三章，“衰分”，收集了0道题。这章的开头，首先揭示出“衰分术”，即按一定 比例分配的算法，突出了算法的重要性。与这种算法有关的应用问恩，包括按等级制分配物 品，出钱，关税、罚款，出工，计工，货款利息，粮食买卖等，涉及到当时社会生话的一些 主煲月题 第四章，“少广”，共计4道题。其中己知矩形田地面积及其边求另一边的问愿有11 道，其余是关于正方形，圆形、立体，球形的求积有关的问题。给出了“开方术”，“开圆 术”，“开立方术”、“开立圆术”四种重要算法，开启了我国古代解一元高次方程的先河
108296d8fae4485fa4983e344df727c6.doc 第 5 页 共 23 页 公元 325 年，罗马帝国君土坦丁大帝开始利用宗教作为统治工具，把一切学术都置于基 督教神学的控制之下。529 年，东罗马 帝国皇帝查土丁尼下令关闭雅典的柏拉图学园以及 其他学校，严禁传授数学。许多学者逃到叙利亚和波斯等地。希腊数学受到沉重的打击。641 年，亚历山大被阿拉伯人占领，图书馆被毁，古希腊数学至此中断。 这时的欧洲，已进入中世纪的“黑暗时代”，数学受到了冷遇，《几何原本》也无人问 津了。 三、《九章算术》思想方法的体例及特点 《九章算术》共分九章，每一章都包括若干道问题，共计有 246 道题。每道问题后给以 答案，一些问题后给出“术”，即解题的方法。通过这种形式，对我国古代数学作了总结和 发展，代表了中国古代数学的基本思想方法，它具有如下的特点。 （1）开放的归纳体系 《九章算术》是按着当时社会实践所需要解决的问题来分类的，每一类(一章)中设置若 干个实际问题，每个问题都给出答案，并提供有关的算法。由于实际问题是从具体的东西开 始研究，所以是一个归纳的体系——从个别的问题到一般的算法。又由于是按当时社会实践 所需要解决的问题来分类的，那么社会实践的发展必然向数学提出新的问题来，那也就必然 会直接促进数学的发展，数学的发展直接来自社会实践中的问题，所以是一个开放的体系。 整个中国古代数学思想都具有这个特点，《九章算术》是它的一个典型代表。 《九章算术》的每一章都是同一类型的应用问题或者是通过同类数学模型来解决的多种 应用问题。为了认识其体系上的特点，我们简述各章的内容。 第一章，“方田”，计有 38 道问题，其中计算各种形状的田地面积的题目有 24 道，提 供了“方田术”、“圭田术”、“邪田术”、“箕田术”、“圆田术”、“宛田术”、“弧 田术”、“环田术”等多种算法。还有与计算面积有关的分数四则计算题 14 道。这一章里 注重研究了各种具体田地面积的计算法。 第二章，“粟米”，有 46 道题。其中有计算各种粮食互相兑换的问题，其他有关砖、 竹、漆、丝、缣、布、矢弊等生产、生活资料的问题 15 道，都是比例问题，本章里提供了 有关的具体算法。 第三章，“衰分”，收集了 20 道题。这章的开头，首先揭示出“衰分术”，即按一定 比例分配的算法，突出了算法的重要性。与这种算法有关的应用问题，包括按等级制分配物 品，出钱、关税、罚款、出工、计工，贷款利息、粮食买卖等，涉及到当时社会生活的一些 主要问题。 第四章，“少广”，共计 24 道题。其中已知矩形田地面积及其边求另一边的问题有 11 道，其余是关于正方形，圆形、立体，球形的求积有关的问题。给出了“开方术”、“开圆 术”，“开立方术”、“开立圆术”四种重要算法，开启了我国古代解一元高次方程的先河
108296d5fae4485fa4983e344df727c6.doc 第6页共 3项 第五章，“育功”，有8道题，都属于土方工程的计算问愿。从筑域、开渠、凿运河。 修堤坝、建粮仓等大量的建设工程中提炼出来的应用问圈。给出了“方雅棒”（正四棱柱）、 “圆坝铸”（正圆柱）、“方亭”（正四棱台）、“圈亭”（正圆台）、“方维”（正四棱锥）、“塑 堵”、 “整脂”、“羡除等多种“立体”的求积算法，这些“立体”实顺上就是几何图形慢念， 这些算法创立了我国独特的几何证明方法。 第六章，“均输”，共有8道题，其中大部分月思，是关于核各地区人口多少、路逸 运近、禁食种类、交钠实物或推派摇役的计算方法。其他少数问愿，是为了运用上述计算方 法，面编制的应用日题。 第七章，“盈不足”，有0道题。这0道题都是为给出和运用“置不是术”《即“双 设法”》而编制的。这种“盈不足术”是从大量应用问题的计算中提炼出来的数学模型，也 是一种算法。 第八章，“方程”，有8思。“方”指的是算筹排列的形式，“程”则指左右“误率” 相比较的意思，其涉及到的实际问题的解法，相当于今天布列线性方程组求解，当时是利用 算筹摆布（运筹）采解线性方程组的，摆布算筹的过程相当于我们现在利用线性方程组累数增 广矩阵解方程的方法。其中“正负术”给出了正负数的概念、记法和知减运算规则。这两点 都是《九章算术》对数学发展作出的世界性贡献。 第九章，“勾股”，有24道置。它维承和发展了商高（的公元前1100年）提出的勾股定 理，与天文算法和大地测量相结合，开创了直角三角形相似法和出入相补原理，解决了关于 高度、深皮和难皮的各种测量问愿。 通过九章的内容，可以看出它确实是一个与杜会实置密切相服系的“开放”体系：其中 方田、粟米、襄分、少广、商功、均输等章属于当时社会生产和生话的几个主要方面需要的 数学月题，如田亩测量，工程建设售交通运输、税收和商业等，这些都是一个以表业为主的 封建社会的生产和生活所必需的。通过这些章中给出的算法，就解决了当时社会生产和生活 所提出米的各种计算问题，至于盈不足，方程、勾股三章，则分别闲述了三种常用的数学横 型及其用法用例，是为在各个领城中应用服务的。既有高度的应用价植，又有深刻的数学马 想，其所达到的成武具有世界意义。所以《九章算术》是一个按应用可腿性质日的分类的开 敏性的理论体系。《九章算术》之后的中国封建社会的各种量学著述，基本上都以它为范本， 而且大都采取了它的体例，即结合一类应用间题的解法，改善和提高有关的算法。发明创迹 新的数学理论，在中国古代封建社会里，取得了辉煌的成就，在世界上长期处于额先地位。 不仅如此，《九章算术》的开故性，应用性的数学思想也是近代数学思想发展的一大源泉。 考察现代应用数学体系。也正是按应用方向成主要采用的数学核型分类的。 (2)算法化的内容 前而我们已谈过《九章算术》的结构特点：按应用方向或主要应用的数学模重把全书 分为若干章，在每一章内举出若干个实际月题，对每个问题都给出答案，然后给出这一类问 题的算法。《九章算术》中称这种算法为“术”，按“术”给出的程序去做就一定能求出问
108296d8fae4485fa4983e344df727c6.doc 第 6 页 共 23 页 第五章，“商功”，有 28 道题，都属于土方工程的计算问题。从筑城、开渠、凿运河、 修堤坝、建粮仓等大量的建设工程中提炼出来的应用问题。给出了“方褓祷”(正四棱柱)、 “圆坝祷”(正圆柱)、“方亭”(正四棱台)、“圆亭”(正圆台)、“方锥”(正四棱锥)、“塑 堵”、 “鳖脯”、“羡除等多种“立体”的求积算法。这些“立体”实质上就是几何图形概念， 这些算法创立了我国独特的几何证明方法。 第六章，“均输”，共有 28 道题，其中大部分问题，是关于按各地区人口多少、路途 远近、粮食种类、交纳实物或摊派徭役的计算方法。其他少数问题，是为了运用上述计算方 法，而编制的应用问题。 第七章，“盈不足”，有 20 道题。这 20 道题都是为给出和运用“盈不足术”(即“双 设法”)而编制的。这种“盈不足术”是从大量应用问题的计算中提炼出来的数学模型，也 是一种算法。 第八章，“方程”，有 18 题。“方”指的是算筹排列的形式，“程”则指左右“课率” 相比较的意思。其涉及到的实际问题的解法，相当于今天布列线性方程组求解，当时是利用 算筹摆布(运筹)采解线性方程组的，摆布算筹的过程相当于我们现在利用线性方程组累数增 广矩阵解方程的方法。其中“正负术”给出了正负数的概念、记法和加减运算规则。这两点 都是《九章算术》对数学发展作出的世界性贡献。 第九章，“勾股”，有 24 道题。它继承和发展了商高(约公元前 1100 年)提出的勾股定 理，与天文算法和大地测量相结合，开创了直角三角形相似法和出入相补原理，解决了关于 高度、深度和难度的各种测量问题。 通过九章的内容，可以看出它确实是一个与社会实践密切相联系的“开放”体系：其中 方田、粟米、衰分、少广、商功、均输等章属于当时社会生产和生活的几个主要方面需要的 数学问题，如田亩测量，工程建设售交通运输、税收和商业等，这些都是一个以农业为主的 封建社会的生产和生活所必需的。通过这些章中给出的算法，就解决了当时社会生产和生活 所提出来的各种计算问题。至于盈不足、方程、勾股三章，则分别阐述了三种常用的数学模 型及其用法用例，是为在各个领域中应用服务的。既有高度的应用价值，又有深刻的数学思 想，其所达到的成就具有世界意义。所以《九章算术》是一个按应用问题性质归纳分类的开 放性的理论体系。《九章算术》之后的中国封建社会的各种数学著述，基本上都以它为范本， 而且大都采取了它的体例，即结合一类应用问题的解法，改善和提高有关的算法，发明创造 新的数学理论，在中国古代封建社会里，取得了辉煌的成就，在世界上长期处于领先地位。 不仅如此，《九章算术》的开放性，应用性的数学思想也是近代数学思想发展的一大源泉。 考察现代应用数学体系，也正是按应用方向或主要采用的数学模型分类的。 （2）算法化的内容 前面我们已谈过《九章算术》的结构特点：按应用方向或主要应用的数学模型把全书划 分为若干章，在每一章内举出若干个实际问题，对每个问题都给出答案，然后给出这一类问 题的算法。《九章算术》中称这种算法为“术”，按“术”给出的程序去做就一定能求出问
10296ds6s448564981e344d727c6d 第7到共 23项 题的容案来，历来数学家对《九章算术》的注售校夕基本上都是在“术”上作文章，即不断 改进算法。常一个例子《九章算术》第一章“方田”的第5、8题及有关的“术”。 第5题：今有十八分之十二。列的之得几何：答日：三分之二 第8题：又有九十一分之四十九。问的之得几何？答日：十三分之七： 约分术目：可半者半之，不可半者。副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。 以等数约之。 这个“术”的意思是，若分子、分母全是偶数，则可用2约简：若分子，分母不全是偶 数，则可以把分子、分母（表示它们门的算筹）置于不同的地方少然后由较大的数减去较小的数， 并银转相减直到两边所得的数相等，就用这个数（等数）米约分。这个等数实际上就是分子和 分母的最大公约数。所以“约分术”就是求两数最大公约数的一个算法。 值得深思的是，即使在现代算法意义下考察这个“术”，它也是一个“合格”的算法。 “钓分术”提供的算法具有如下特点： (1》是严格“一复”的规定，不可能有歧义的理解 2在执行这个算法时，每一时刻都如道下一时刻（域每一步都知道下一步）怎么办，有 严格的顺序性： 3》能够解决求两个数（任意正整数）的最大公约数这一类问题： (4)由于任意给定的数都是有限数，黑转相减，在有限步内一定可以减到“最后”一步， 即在有限步内可以求出结果。 《九章算术》中大多数“术”都是这样的。而“术”才是该书的主要内容，问题是为了 引出术或是作为术的应用面给出的。所以说，《九章算术)具有算法化的内容。 算法化的内容是完全适合于开放性的白的体系的。这种体系首先就是要解决实际问愿， 要迅速地解决问题，最好的方法莫过于给出一个算法。对于一类问题，只要能够拾出数据就 能用给出的算法根快地得出结果，这就整更好地满足社会生产和生活对数学提出的要求。 还应该静别指出。《九章算术》的算法化内容是与算筹的爱明和应用分不开的。据专家 售计，至迟在公元前5世纪，算筹线已开始使用了。 (3)模重亿的方法 从方法论的角度米看，《九章算术》广泛地采用了模型化方法，它在每一章中所设置的 问题，都是在大量的实际月恩中选择具有奥型性的现实原裂，然后再通过“术”（即算法） 转化成数学核型。其中有些章就是探时某种数学模型的应用的一一其章的标题也就是。这种 量学模型的名称，如“勾取”，“方程”等章。“衰分”，“少广”等章也是由数学模型开 始的
108296d8fae4485fa4983e344df727c6.doc 第 7 页 共 23 页 题的答案来。历来数学家对《九章算术》的注售校夕基本上都是在“术”上作文章，即不断 改进算法。 举一个例子：《九章算术》第一章“方田”的第 5、6 题及有关的“术”。 第 5 题：今有十八分之十二。问约之得几何？答日：三分之二。 第 6 题：又有九十一分之四十九。问约之得几何？答日：十三分之七。 约分术日：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。 以等数约之。 这个“术”的意思是，若分子、分母全是偶数，则可用 2 约简；若分子、分母不全是偶 数，则可以把分子、分母(表示它们的算筹)置于不同的地方夕然后由较大的数减去较小的数， 并辗转相减直到两边所得的数相等，就用这个数(等数)来约分。这个等数实际上就是分子和 分母的最大公约数。所以“约分术”就是求两数最大公约数的一个算法。 值得深思的是，即使在现代算法意义下考察这个“术”，它也是一个“合格”的算法。 “约分术”提供的算法具有如下特点： (1)是严格“一义”的规定，不可能有歧义的理解； (2)在执行这个算法时，每一时刻都知道下一时刻(或每一步都知道下一步)怎么办，有 严格的顺序性； (3)能够解决求两个数(任意正整数)的最大公约数这一类问题； (4)由于任意给定的数都是有限数，辗转相减，在有限步内一定可以减到“最后”一步， 即在有限步内可以求出结果。 《九章算术》中大多数“术”都是这样的，而“术”才是该书的主要内容，问题是为了 引出术或是作为术的应用而给出的。所以说，《九章算术》具有算法化的内容。 算法化的内容是完全适合于开放性的归纳体系的。这种体系首先就是要解决实际问题。 要迅速地解决问题，最好的方法莫过于给出一个算法。对于一类问题，只要能够给出数据就 能用给出的算法很快地得出结果，这就能更好地满足社会生产和生活对数学提出的要求。 还应该特别指出，《九章算术》的算法化内容是与算筹的发明和应用分不开的。据专家 估计，至迟在公元前 5 世纪，算筹就已开始使用了。 （3）模型化的方法 从方法论的角度来看，《九章算术》广泛地采用了模型化方法。它在每一章中所设置的 问题，都是在大量的实际问题中选择具有典型性的现实原型，然后再通过“术”(即算法) 转化成数学模型。其中有些章就是探讨某种数学模型的应用的——其章的标题也就是。这种 数学模型的名称，如“勾股”、“方程”等章。“衰分”、“少广”等章也是由数学模型开 始的
10s296ds0e448504983e344dT27c6dg 第8项共 23项 从春秋战国到秦汉之际，中国社会的生产和生活都发生了很大的变化，铁黎牛耕促进了 教业生产的高流，改变了我国古代社会的生产方式。《九章算术》中体现了这一生产发展过 程对数学的雷要和数学在这种需要下的发展。生产方式的变革对田宙测量、粮食交换、水利 工程，税收等等提出新的需要，要求当时的数学解决这些问题。《九章算术》各章都由相应 的社会实践中提出现实的原型，用问题表述它门，然后由原型中袖象出数学模型来，当然有 的章先给出核型，然后再举出可以应用的原型，表示出模坐化方法的另一个侧面一由核型 到原型的过程。由对数学模型的研究得出算法米，算法适干用这种数学棱型表述出来的一类 问题，按原型中的处理方法为范例。人们赋可以应用算法解决实际问愿。 模型化的方法与开故性的归钠体系及算法化的内容是相适应的。模甲法的各个模里之间 当然也有一定的联系。但它们有较大的鞋立性，一个模型的建立并不太严格地依赖于其他模 型，因此面时都可以由实我中提炼出新的慎型。在这种体系里，算法是适合一定的模型的， 因此，算法化的内容与校型化的方法是分不开的。只有采用了数学模型方法才能得到有关的 一类月题的算法，这在现代计算理论中也是一个确定不移的星则。 反过来，采用核型化的方法也足进了中国古代数学体系和内容的发展，由于采用柄型化 的方法研究数学，慎型从事里来？只有寻找观实的原型，着银于现实的白题，这就不可能产 生封用式的滴绎体须。解决实际日题的要求对慎型化的方法来说，还有一种检验得出来的结 果是否正确的意义，因此必须得出实际的可以应用的结果，算法化的内容就随之产生了。 在模型化的方法中，各个数学柄型之间的联系是什么呢？当燃有实际原型之间的联系的 反映，但就数学中表述出米的棱型以及针对棱型所给出的算法之间也是有联系的，那就是通 过计算工具一算筹一一所产生的联系。算等的实际可应用性和布列算筹的规则一一《九章 算术》中没有该及一就是各种模型以及各种算法之间的联系，并且还是《九章算术》所隐 含的数学上的前提，这一点是一个要进一步深入研究的误题。 四、《九章算术》的思想方法承前启后 考察《九章算术》的思想方法的形成也要追瑞到我国古代文明产生和发展的各种条件· 我国古代文明是一个大河背景之下的农材文明，产生于黄河、长江葡域的河谷地带，以 表业生产为主。生产与生活离不开水源，因面也就离不开水利一一治水工程。但无论是水源 的分配。成水利工程的兴建，都不是个别部落成少数人就能解决得了的，必须动员全社会的 力量，因此就必须有一个协调全社会的人的一个“超社会”的力量，这样的需要下就产生了 中央集权的大领士国家，中国古代奴隶杜会里就有了中央集权的国家，公元藏2！年素统一 中国，建立了一个中央集权的大一统的封建专制国家。 对于古代中围这样一个大一统的封建国家来说，它的首要功能观是组织杜会生产。例如 “男斟女织””这一发业和手工业的特殊？。结合方式是由政府去组织并管理的。是由“大 司农”以至“户部”这样的公私财政统一的中央政府机构指挥的。历代的盐，铁，织造以至 贸易等等工育业都集中由政府的机构去组织管理。无论公共工程、农业，手工业、商业还是 财政军事等等都是由政府官黄负责管理指挥的。这样从整体上看，要作官就要具有一定的管 理、指挥能力和一定的数学知识。反映到教有，古代教育为“六艺”一一礼、乐、射，御、 书、数。其中“数”即是数学知识，是每个准备作官的人军要学习的
108296d8fae4485fa4983e344df727c6.doc 第 8 页 共 23 页 从春秋战国到秦汉之际，中国社会的生产和生活都发生了很大的变化。铁犁牛耕促进了 农业生产的高涨，改变了我国古代社会的生产方式。《九章算术》中体现了这一生产发展过 程对数学的需要和数学在这种需要下的发展。生产方式的变革对田亩测量、粮食交换、水利 工程、税收等等提出新的需要，要求当时的数学解决这些问题。《九章算术》各章都由相应 的社会实践中提出现实的原型，用问题表述它们，然后由原型中抽象出数学模型来，当然有 的章先给出模型，然后再举出可以应用的原型，表示出模型化方法的另一个侧面——由模型 到原型的过程。由对数学模型的研究得出算法来，算法适于用这种数学模型表述出来的一类 问题，按原型中的处理方法为范例，人们就可以应用算法解决实际问题。 模型化的方法与开放性的归纳体系及算法化的内容是相适应的。模型法的各个模型之间 当然也有一定的联系，但它们有较大的独立性，一个模型的建立并不太严格地依赖于其他模 型，因此随时都可以由实践中提炼出新的模型。在这种体系里，算法是适合一定的模型的， 因此，算法化的内容与模型化的方法是分不开的，只有采用了数学模型方法才能得到有关的 一类问题的算法，这在现代计算理论中也是一个确定不移的原则。 反过来，采用模型化的方法也促进了中国古代数学体系和内容的发展，由于采用模型化 的方法研究数学，模型从哪里来?只有寻找现实的原型，着眼于现实的问题，这就不可能产 生封闭式的演绎体系。解决实际问题的要求对模型化的方法来说，还有一种检验得出来的结 果是否正确的意义，因此必须得出实际的可以应用的结果，算法化的内容就随之产生了。 在模型化的方法中，各个数学模型之间的联系是什么呢？当然有实际原型之间的联系的 反映，但就数学中表述出来的模型以及针对模型所给出的算法之间也是有联系的，那就是通 过计算工具——算筹——所产生的联系。算筹的实际可应用性和布列算筹的规则——《九章 算术》中没有谈及——就是各种模型以及各种算法之间的联系，并且还是《九章算术》所隐 含的数学上的前提，这一点是一个要进一步深入研究的课题。 四、《九章算术》的思想方法承前启后 考察《九章算术》的思想方法的形成也要追溯到我国古代文明产生和发展的各种条件。 我国古代文明是一个大河背景之下的农耕文明，产生于黄河、长江流域的河谷地带，以 农业生产为主。生产与生活离不开水源，因而也就离不开水利——治水工程。但无论是水源 的分配，或水利工程的兴建，都不是个别部落或少数人就能解决得了的，必须动员全社会的 力量，因此就必须有一个协调全社会的人的一个“超社会”的力量，这样的需要下就产生了 中央集权的大领土国家。中国古代奴隶社会里就有了中央集权的国家，公元前 221 年秦统一 中国，建立了一个中央集权的大一统的封建专制国家。 对于古代中国这样一个大一统的封建国家来说，它的首要功能就是组织社会生产。例如 “男耕女织’’这一农业和手工业的特殊?，结合方式是由政府去组织并管理的，是由“大 司农”以至“户部”这样的公私财政统一的中央政府机构指挥的。历代的盐、铁、织造以至 贸易等等工商业都集中由政府的机构去组织管理。无论公共工程、农业、手工业、商业还是 财政军事等等都是由政府官员负责管理指挥的。这样从整体上看，要作官就要具有一定的管 理、指挥能力和一定的数学知识。反映到教育，古代教育为“六艺”——礼、乐、射，御、 书、数，其中“数”即是数学知识，是每个准备作官的人都要学习的
108296d5fae4485fa4983e344df727c6.doc 第9页共 3项 由于数学在管理经济中的作用，后米发展为精通数学也可作官，“明算科”就是通过考 核数学而授子官眼的一种科举科目。这样，中国古代的杜会实授向数学家（他们当然是统治 阶领中人)所首先提出的问题。就是应用数学来解决上述各方面的实际问题。解决问题要求 直接得出可用的结果，这样就逐渐形成了各种算法：为了计算，需要对实际问题建立数学模 型，由此形成了树型化的方法：由解决问题出发，当然是一个开政性的归纳体系了。又由于 利用计算工具一一算筹一一来执行，所以一般不要求写出思考过程和逐辑证明。实际问愿是 随着社会实我的发展而不断产生着的，人们随时利用数学来解决它，这就使数学成为一个开 放的体系。 中国古代的生产实践是十分丰富的，早在公元前20世纪就进行了大规颅的水活动（大 禹治水》。从春秋战国以至于秦汉，水利工程规慎更加浩大，并且都是由国家组织，委派官 吏指挥进行的。例如芍破，漳水十二果、都江堰和郑国果四大水利工程，其受益而积都在百 万亩以上，其中芍废和都江堰两大工程至今还在发挥作用。春秋战国以至于秦汉之际，天文 学和历法研究也取得重要成果。例如天象观测方面的成就，在当时世界上是无与伦比的。《春 秋》一节中记载了37次日食，现代可以确迁的有33次。该书还记载“庄公七年夏四月辛卵 夜，恒星不见，夜中星限如雨”，这是世界上关于天琴座蓬屋雨的最早记载：还有“文公十 四年（公元前613）秋七月，有星学入北斗”，这是关千哈雷11eyl656一1742等星的最 早记录。在天文观测和计算的基驻上，当时的历法已达到相当精确的程度，如春秋后期采用 的“四分历”国归年定为365.2药日。十九年七闰的置间法军已相当精确。 其他额域如治金，农业，地图绘制，建筑等等也达到相当高的水平。 所有这些领线与数学都有密切的关系，数学就是在解决各个领域中提出的问题的过程中 发展起来的。《九章算术》就是对这样发展起米的数学的一个总结。它不仅对解决当时社会 实践提出的门思提铁系统的科学依据，而且为后来数学的发展提供了重要的示范。 中国古代数学后米的发展在思想方法上是维承《九章算术》的传统：开收性的归钠体系： 算法化的内容，模型化的方法：并且在数学著述的体例上也采用了《九章算术》的“同墨一 答案一算法”的作法。一生人为《九章算术》作注，另一些著作的书名甚至也叫《九章》如 《数书九章》、《译解九章算法》等。可以看到《九章算术》对中国古代数学发展所起的重 大影响： 《九章算术》的思把方法不仅对我国古代数学的发展起了重大的作用。而且也是现代数 学思想发展的一大源泉。在数学的发展中，一再重现这种思想。例如在17世纪分析数学产 生之初。就不是靠理论的严格，而是靠实际应用的威功保证其“可靠性”的：现代应用数学 是按应用方向或主要应用的数学核型来分类的：把对一个数学定理的正明转化为利用适当算 法的一个机械的计算：数学构成一个开做的系统，成为各门科学的方法成工具：利用数学模 型解决各方面售各领城的月题等思把与《九章算术》的思把是十分一致的，我们可以说，现 代数学正是在《几何原本》所代表的古希腊数学思想及《九章算术》所代表的中国吉代数学 巴塑的基健上发展起来的。 难点解新 理解《几何原本)与《九章算术》思想方法的转点可能是本章较为困重的内容，为此我 们补充下面的内容米加深对它门的理解
108296d8fae4485fa4983e344df727c6.doc 第 9 页 共 23 页 由于数学在管理经济中的作用，后来发展为精通数学也可作官，“明算科”就是通过考 核数学而授予官职的一种科举科目。这样，中国古代的社会实践向数学家(他们当然是统治 阶级中人)所首先提出的问题，就是应用数学来解决上述各方面的实际问题。解决问题要求 直接得出可用的结果，这样就逐渐形成了各种算法；为了计算，需要对实际问题建立数学模 型，由此形成了模型化的方法；由解决问题出发，当然是一个开放性的归纳体系了。又由于 利用计算工具——算筹——来执行，所以一般不要求写出思考过程和逻辑证明。实际问题是 随着社会实践的发展而不断产生着的，人们随时利用数学来解决它，这就使数学成为一个开 放的体系。 中国古代的生产实践是十分丰富的，早在公元前 20 世纪就进行了大规模的治水活动(大 禹治水)，从春秋战国以至于秦汉，水利工程规模更加浩大，并且都是由国家组织，委派官 吏指挥进行的。例如芍陂，漳水十二渠、都江堰和郑国渠四大水利工程，其受益面积都在百 万亩以上，其中芍陂和都江堰两大工程至今还在发挥作用。春秋战国以至于秦汉之际，天文 学和历法研究也取得重要成果。例如天象观测方面的成就，在当时世界上是无与伦比的。《春 秋》一书中记载了 37 次日食，现代可以确证的有 33 次。该书还记载“庄公七年夏四月辛卯 夜，恒星不见，夜中星陨如雨”，这是世界上关于天琴座流星雨的最早记载；还有“文公十 四年(公元前 613)秋七月，有星孛入北斗”，这是关于哈雷(Halley1656 一 1742)彗星的最 早记录。在天文观测和计算的基础上，当时的历法已达到相当精确的程度，如春秋后期采用 的“四分历”回归年定为 365．25 日。十九年七闰的置闰法都已相当精确。 其他领域如冶金、农业、地图绘制、建筑等等也达到相当高的水平。 所有这些领域与数学都有密切的关系，数学就是在解决各个领域中提出的问题的过程中 发展起来的。《九章算术》就是对这样发展起来的数学的一个总结。它不仅对解决当时社会 实践提出的问题提供系统的科学依据，而且为后来数学的发展提供了重要的示范。 中国古代数学后来的发展在思想方法上是继承《九章算术》的传统：开放性的归纳体系， 算法化的内容，模型化的方法；并且在数学著述的体例上也采用了《九章算术》的“问题— 答案—算法”的作法，一些人为《九章算术》作注，另一些著作的书名甚至也叫《九章》如 《数书九章》、《详解九章算法》等。可以看到《九章算术》对中国古代数学发展所起的重 大影响。 《九章算术》的思想方法不仅对我国古代数学的发展起了重大的作用，而且也是现代数 学思想发展的一大源泉。在数学的发展中，一再重现这种思想。例如在 17 世纪分析数学产 生之初，就不是靠理论的严格，而是靠实际应用的威功保证其“可靠性”的；现代应用数学 是按应用方向或主要应用的数学模型来分类的；把对一个数学定理的证明转化为利用适当算 法的一个机械的计算；数学构成一个开放的系统，成为各门科学的方法或工具；利用数学模 型解决各方面售各领域的问题等思想与《九章算术》的思想是十分一致的。我们可以说，现 代数学正是在《几何原本》所代表的古希腊数学思想及《九章算术》所代表的中国古代数学 思想的基础上发展起来的。 难点解析 理解《几何原本》与《九章算术》思想方法的特点可能是本章较为困难的内容，为此我 们补充下面的内容来加深对它们的理解
10296ds6s448564981e344d727c6d 第10真 共23夏 1古希精数学与中国古代数学的比较 古希醋数学和中国吉代数学有许多共同之处。但是，由于希醋和中国这两个文明古国的 社会制度、数学和皙学的关系，文化青景及统治阶圾对要学的态度等方面的差异，又决定了 希睛与中国古代数学的根大不同。 首先，从内容上，古希精数学以定性研究为主，以几何研究为中心：中国数学则以定量 研究为主，以算法研究为中心。其次，希醒数学不是用来解决实际利愿的，他们所研究的内 容都是离开具体应用对象的相当抽象的性质。相反，中国古代数学的目的就是实际应用，并 在应用中发展。离开实际应用的纯理论数学在中国来占主流。第三，从影式上说，希背数学 露包括命愿的证明，并试图构成一个演择体系。与此不同，中国传统数学的特色是构造性， 计算性和机械化。中国古代数学著作则采取应用同题集的形式。第四，由于中国吉代数学家 姐求实际应用的效果。而古希醋数学家强调区辑的严密，因此中围古代数学家没有像腊人 那样受悖论图扰。 《儿何原本》是吉希醋数学的代表，而中国吉代数学以《九章算术》为代表。《几章算 术》确立了中国古代数学应用盟的形式，以算法为中心的特点，理论联系实际的风格。构筑 了中国古代数学的基本框架。在中国和东方影响深远，今天，电子计算机的广泛应用使人们 重新认识到中国算法的重要意义。 2模型化的方法、开做性的归的体系及算法化的内容之间的关系 慎型化的方法与开放性的归纳体系及算法化的内容之间是互相适应并且互相促选的，虽 然，各个量学模型之间也有一定的联系，们是它们更具有相对验立性。一个数学模型的建立 与其它数学模型之同并不存在逻辑依懒关系。正因为如此，所以可以根据雷要随时从社会实 置中提炼出新的数学模型。而一定的算法必与一定的数学模型相瓜配。因此，开放性的归钠 体系和算法化的内容为模型化方法的发展提供了可能和需要， 另一方面，由于运用模型化的方法研究数学，新的数学模型从何产生？只有寻找现实原 型、立足于现实问题的研究，这就不可能产生封闭式的演择体弱。解决实际问题还是出了这 样的要求：对由模型化方法求得的结果必须能够检验其正确性和合理性，为了能够求得实际 可用的结果，于是算法化的内容也就应运面生。 思考愿《儿何原本)和（九章草术）的思想方法特点是什么？它们的亚要历史意义是什么？ 第二章数学思狐与方法的几次重要突破 学习要果 1.知道草术的局限性、常量数学的局限性、赋氏儿鸟的局限性、橡定数学的局限性 总.了解变餐授学，置几阿、解析几何产生的过型，丽机数学的发展： 品.理解变量数学产生的意义、确定数学与随机量学的区别、随程数学产生的意义 主要内容指导
108296d8fae4485fa4983e344df727c6.doc 第 10 页 共 23 页 1.古希腊数学与中国古代数学的比较 古希腊数学和中国古代数学有许多共同之处。但是，由于希腊和中国这两个文明古国的 社会制度、数学和哲学的关系、文化背景及统治阶级对数学的态度等方面的差异．又决定了 希腊与中国古代数学的很大不同。 首先，从内容上，古希腊数学以定性研究为主，以几何研究为中心；中国数学则以定量 研究为主，以算法研究为中心。其次，希腊数学不是用来解决实际问题的，他们所研究的内 容都是离开具体应用对象的相当抽象的性质。相反，中国古代数学的目的就是实际应用，并 在应用中发展。离开实际应用的纯理论数学在中国未占主流。第三，从形式上说，希腊数学 都包括命题的证明，并试图构成一个演绎体系。与此不同，中国传统数学的特色是构造性、 计算性和机械化。中国古代数学著作则采取应用问题集的形式。第四，由于中国古代数学家 追求实际应用的效果，而古希腊数学家强调逻辑的严密，因此中国古代数学家没有像希腊人 那样受悖论困扰。 《几何原本》是古希腊数学的代表，而中国古代数学以《九章算术》为代表。《几章算 术》确立了中国古代数学应用题的形式，以算法为中心的特点，理论联系实际的风格，构筑 了中国古代数学的基本框架。在中国和东方影响深远。今天，电子计算机的广泛应用使人们 重新认识到中国算法的重要意义。 2.模型化的方法、开放性的归纳体系及算法化的内容之间的关系 模型化的方法与开放性的归纳体系及算法化的内容之间是互相适应并且互相促进的。虽 然，各个数学模型之间也有一定的联系，但是它们更具有相对独立性。一个数学模型的建立 与其它数学模型之间并不存在逻辑依赖关系。正因为如此，所以可以根据需要随时从社会实 践中提炼出新的数学模型。而一定的算法必与一定的数学模型相匹配。因此，开放性的归纳 体系和算法化的内容为模型化方法的发展提供了可能和需要。 另一方面，由于运用模型化的方法研究数学，新的数学模型从何产生？只有寻找现实原 型、立足于现实问题的研究，这就不可能产生封闭式的演绎体系。解决实际问题还提出了这 样的要求：对由模型化方法求得的结果必须能够检验其正确性和合理性，为了能够求得实际 可用的结果，于是算法化的内容也就应运而生。 思考题：《几何原本》和《九章算术》的思想方法特点是什么？它们的重要历史意义是什么？ 第二章 数学思想与方法的几次重要突破 学习要求 1．知道算术的局限性、常量数学的局限性、欧氏几何的局限性、确定数学的局限性； 2．了解变量数学、非欧几何、解析几何产生的过程、随机数学的发展； 3．理解变量数学产生的意义、确定数学与随机数学的区别、随机数学产生的意义。 主要内容指导