浙江广播电视大学文本教学辅导2_数学思想与方法.doc_大学文库

4dh50e191314063b7465e0035t04d@ 第1夏共3页《数学思想方法》单元轴导2(5章一7章) 第五章拍象与振括学习要求 1,了解抽象、概括的个义以及概括与抽象的关泵： 2,章盔能象过程、概活过程和溶用的数学抽象方式。主要内容指导一、抽象的含义及其过程抽象是指在认识事物的过程中，舍弃那些个别的、偶然的非本质属性，抽取售遍的、必然的本质属性。形成科学概念，从而把握事物的本质和规律，人们在思推中对对象的袖象是从对对象的比较和区分开始的。所罚比较。就是在思推中确定对象之阿的相同点和不同点：而所谓区分，则是把比较得到的相同点和不同点在思维中固定下来，利用它门把对象分为不用的类。然后再选行舍弃与收括，舍弃是指在思隆中不考虑对象的某些性质，收括则是指把对象的我们所需要的性质固定下来，并用词表达出来。这就形成了拍象的概念，同时也就形成了表示这个概念的词，于是完成了一个抽象过程。二、概括的含文及其过程概括是指在认识事物属性的过程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本质的属性联系起来。整理推广到同类的全体率物，从面形成这类率物的普概念，概括通常可分为经验概括和理论概括两种。经验概括是从事实出发，以对个测事物所能的观察陈述为基础，上升为普遍的认识一一由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性的认识。理论概括则是指在经验颗括的基础上，由对种的特性的认识上升为对种所属的属的特性的认积。从面达到对客观世界的规律的认识。在数学中经常使用的是理论概括。一个概括过程包括比较，区分，扩张和分析等几个主要环节。比较和区分的具体做法与拍象过程中的一样。不过在概括过程中，通过比较和区分要得到的是某类对象的共同本质。扩张指的是把由比较区分得到的关于对象的共同点推广到包括这些对象的一类更广泛的对象的共同本质。这是区别于抽象的一个环节，是概括的关键。三、数学抽象有以下特征 1,数学抽象具有无物质性：

4da50ec191314063b74b5e04035aeb04.doc 第 1 页共 13 页《数学思想方法》单元辅导 2（5 章－7 章）第五章抽象与概括学习要求 1．了解抽象、概括的含义以及概括与抽象的关系； 2．掌握抽象过程、概括过程和常用的数学抽象方式。主要内容指导一、抽象的含义及其过程抽象是指在认识事物的过程中，舍弃那些个别的、偶然的非本质属性，抽取普遍的、必然的本质属性，形成科学概念，从而把握事物的本质和规律。人们在思维中对对象的抽象是从对对象的比较和区分开始的。所谓比较，就是在思维中确定对象之间的相同点和不同点；而所谓区分，则是把比较得到的相同点和不同点在思维中固定下来，利用它们把对象分为不同的类。然后再进行舍弃与收括，舍弃是指在思维中不考虑对象的某些性质，收括则是指把对象的我们所需要的性质固定下来，并用词表达出来。这就形成了抽象的概念，同时也就形成了表示这个概念的词，于是完成了一个抽象过程。二、概括的含义及其过程概括是指在认识事物属性的过程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本质的属性联系起来，整理推广到同类的全体事物，从而形成这类事物的普遍概念。概括通常可分为经验概括和理论概括两种。经验概括是从事实出发，以对个别事物所做的观察陈述为基础，上升为普遍的认识——由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性的认识。理论概括则是指在经验概括的基础上，由对种的特性的认识上升为对种所属的属的特性的认识，从而达到对客观世界的规律的认识。在数学中经常使用的是理论概括。一个概括过程包括比较、区分、扩张和分析等几个主要环节。比较和区分的具体做法与抽象过程中的一样，不过在概括过程中，通过比较和区分要得到的是某类对象的共同本质。扩张指的是把由比较区分得到的关于对象的共同点推广到包括这些对象的一类更广泛的对象的共同本质。这是区别于抽象的一个环节，是概括的关键。三、数学抽象有以下特征 1．数学抽象具有无物质性；

4d山50as19131406674b50035ct04de 第2真共13夏 2.数学抽象具有层次性： 3,数学轴象过程要凭借分析成直觉： 4.数学的抽象不仅有概念拍象还有方法拍象四、常用的数学抽象方式 1,蜀抽象是指由原型中选取某一特征或侧面加以抽象，从而形成比原型更为一般的概念或理论。 2,强抽象是指通过把一线新的特任加入到某一概么中而形成的新展念的油象过程。 3.理想化拍象（或称构适性抽象）是指从数学研究的需要出发，人门构迹出一些理想化的对象（数学概念）的思维过程。 4,公理化抽象是最学中或出于亚辑上的需要。或为了克服数学内部的矛盾（悖论）而形成的一种数学抽象。 5.可实现性拍象是理想化拍象的一个特殊情况。通过这种抽象，使得在现实世界中难以实现的对象成为了可能。难点解析抽象和概新的区别抽象从感性认识出发，通过分析和舍弃，抽出共同点，搬开差异性的内容和联系。通过收括得出简单的、基本的规定。即合理的抽象。概括在认识事物属性的过程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本质的属性联系起来，推广到同类的全体事物，从而形成这类事物的普遍概念：下面的例子可以帮助我们进一步掌握袖象与概括之间的区别。例1平行线概念的形成平行线概含的形成是从学生都见过的“黑板相对的两边”、“笔直的两条铁轨”等等得到的。通过观察、嫩开它们不同的用途、不同的材料、不同的长短等属性，抽象表述为“在同一平面内水不相交的两条直线叫平行线”。我门透过舍弃，把两边的关系抽取出米，经过收括便得到“在同一平面内水不相交”这一木质属性，从而得到上面简化的表达方式，例2分数概念的形成教学分数的意义时，通过演示教具和操作学具，让学生把一个圆，一个正方形，八根彩色小棒。一条找段，各自分成若干等份。标出其中的一份或几份：國开各种实物的不月颜色

4da50ec191314063b74b5e04035aeb04.doc 第 2 页共 13 页 2．数学抽象具有层次性； 3．数学抽象过程要凭借分析或直觉； 4．数学的抽象不仅有概念抽象还有方法抽象四、常用的数学抽象方式 1．弱抽象是指由原型中选取某一特征或侧面加以抽象，从而形成比原型更为一般的概念或理论。 2．强抽象是指通过把—些新的特征加入到某一概念中而形成的新概念的抽象过程。 3．理想化抽象(或称构造性抽象) 是指从数学研究的需要出发，人们构造出一些理想化的对象(数学概念)的思维过程。 4．公理化抽象是数学中或出于逻辑上的需要，或为了克服数学内部的矛盾(悖论)而形成的一种数学抽象。 5．可实现性抽象是理想化抽象的一个特殊情况。通过这种抽象，使得在现实世界中难以实现的对象成为了可能。难点解析抽象和概括的区别抽象从感性认识出发，通过分析和舍弃，抽出共同点，撇开差异性的内容和联系，通过收括得出简单的、基本的规定，即合理的抽象。概括在认识事物属性的过程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本质的属性联系起来，推广到同类的全体事物，从而形成这类事物的普遍概念。下面的例子可以帮助我们进一步掌握抽象与概括之间的区别。例 1 平行线概念的形成平行线概念的形成是从学生都见过的“黑板相对的两边”、“笔直的两条铁轨”等等得到的。通过观察、撇开它们不同的用途、不同的材料、不同的长短等属性，抽象表述为“在同一平面内永不相交的两条直线叫平行线”。我们通过舍弃，把两边的关系抽取出来，经过收括便得到“在同一平面内永不相交”这一本质属性，从而得到上面简化的表达方式。例 2 分数概念的形成教学分数的意义时，通过演示教具和操作学具，让学生把一个圆，一个正方形，八根彩色小棒，一条线段，各自分成若干等份，标出其中的一份或几份；撇开各种实物的不同颜色

4d山50as191314063674b50035ct04d 第5真共13夏日的推理可按照它考查的对象是否完全而分为完全白纳法和不完全归纳法。完全归钠法是根据某类事物的全体对象的属性进行概括的推理方法。在数学中运用完全归钠法往往会酒到困难，这不仅是因为在我们所考察的事物中，有些含有无限多个对象而又不修法行有限的分类，从而不整使用穷举法，而且穷常那些有限的，然而又是不少的事物也不是一件轻而易率的事，所以人们往往只根暴都分对象具有某种属性作出概括。这种根据考察的一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都具有这一属性的一般结论的推理方法称为不亮全甘钠法。从数学发展史可以清楚地看到，无论是一个新的数学分支的产生，还是具体给出一个概念的定义，都经历过一个积累经数材料的时期，从大量规黎、实验得来的材料发现其规律，总结出数学定理或原理，这是数学工作中最初步的。然面又是基本的工作。高斯说过他的许多发现军是靠归纳法取得的。不光全归钠法虽然不能作为严密的论证方法，但是它能使我们迅速发现一共数量关系的规律，为我们提侯研究方向。 2.类比类比是根据两个或两类事物几有某些相同或相似的属性，其中一个（类）事物已知还具有另一属性，从面推出另一个（类）事物也可使具有这一相同或相似的属性。可见，类比是用以进行推理的一种思雄方法，用这样的思推方法选行推理通常设叫类比裤理，有时简称类比或类推。类比是理性思维的一种本能，它使人预感到经验所发现的某种事物具有某种特性，可以推论到同类的别的事物也具有同样的特性。因此，类比是一种从己知到未知，探求和发现新如识的富有成效的思维方法，正如贝弗里奇说的“独创性常常在于发现原来认为没有关系的两个成两个以上的研究对象成设想之间的联系或相叙之点。”不难找出科学上许多重要学说、重大发现和创造发明咸是由类比推理提出的，或是由类比思推提供了线索。比如近代科技中应用广泛的“仿生学”就是建立在类比推理所揭示的原理基础上的一门新兴科学。可见，在小学数学教学中，有意识地培养以至强化小学生的英比思维能力，使他们体验到发现和创新的快乐。对于发展他们的智能，激发也们学习数学的兴趣无疑是很有意义的。 3.清想数学猜想，是指依据某些已知事实和数学如识，对未知的量及其关系所作出的一种似真的推断。它概确一定的科学性，又有某种假定性。它的真伪性。一般说棠。是难以一时解决的。它是数学研究的一种常用的科学方法，又是数学发展的一种重要的思雀形式。从每一个数学成果都确一个由“潜”到“显”的过程来看，数学猜想同数学问题、数学悖论一样，是一种数学潜形态。研究与阐述数学精想的类型、特征以及提出与解决的主要思想方法，对把界数学的本质及其发展规律，确着重要的意义。二、白钠清想及类比清翘概运依暴一类事物中的特株对象的实验事实，通过归钠对这类事物的一般属性进行精想，这样的思雀方法叫归纳精塑。其横式：

4da50ec191314063b74b5e04035aeb04.doc 第 5 页共 13 页归纳推理可按照它考查的对象是否完全而分为完全归纳法和不完全归纳法。完全归纳法是根据某类事物的全体对象的属性进行概括的推理方法。在数学中运用完全归纳法往往会遇到困难，这不仅是因为在我们所考察的事物中，有些含有无限多个对象而又不能进行有限的分类，从而不能使用穷举法，而且穷举那些有限的，然而又是不少的事物也不是一件轻而易举的事，所以人们往往只根据部分对象具有某种属性作出概括。这种根据考察的一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都具有这一属性的一般结论的推理方法称为不完全归纳法。从数学发展史可以清楚地看到，无论是一个新的数学分支的产生，还是具体给出一个概念的定义，都经历过一个积累经验材料的时期，从大量观察、实验得来的材料发现其规律，总结出数学定理或原理，这是数学工作中最初步的，然而又是基本的工作。高斯说过他的许多发现都是靠归纳法取得的。不完全归纳法虽然不能作为严密的论证方法，但是它能使我们迅速发现一些数量关系的规律，为我们提供研究方向。 2．类比类比是根据两个或两类事物具有某些相同或相似的属性，其中一个(类)事物已知还具有另一属性，从而推出另一个(类)事物也可能具有这一相同或相似的属性。可见，类比是用以进行推理的一种思维方法，用这样的思维方法进行推理通常就叫类比推理，有时简称类比或类推。类比是理性思维的一种本能，它使人预感到经验所发现的某种事物具有某种特性，可以推论到同类的别的事物也具有同样的特性。因此，类比是一种从已知到未知，探求和发现新知识的富有成效的思维方法。正如贝弗里奇说的“独创性常常在于发现原来认为没有关系的两个或两个以上的研究对象或设想之间的联系或相似之点。”不难找出科学上许多重要学说、重大发现和创造发明或是由类比推理提出的，或是由类比思维提供了线索。比如近代科技中应用广泛的“仿生学”就是建立在类比推理所揭示的原理基础上的一门新兴科学。可见，在小学数学教学中，有意识地培养以至强化小学生的类比思维能力，使他们体验到发现和创新的快乐，对于发展他们的智能，激发他们学习数学的兴趣无疑是很有意义的。 3．猜想数学猜想，是指依据某些已知事实和数学知识，对未知的量及其关系所作出的一种似真的推断。它既确一定的科学性，又有某种假定性。它的真伪性，一般说来，是难以一时解决的。它是数学研究的一种常用的科学方法，又是数学发展的一种重要的思维形式。从每一个数学成果都确一个由“潜”到“显”的过程来看，数学猜想同数学问题、数学悖论一样，是一种数学潜形态。研究与阐述数学猜想的类型、特征以及提出与解决的主要思想方法，对把握数学的本质及其发展规律，确着重要的意义。二、归纳猜想及类比猜想概述依据一类事物中的特殊对象的实验事实，通过归纳对这类事物的一般属性进行猜想，这样的思维方法叫归纳猜想。其模式：

4d山50.191314063h74e5c04035c04de 第6页共上夏实验—一归纳—一猜塑。著名的歌德巴林猜想境是归钠猜想的典型例子。依据己知条作，联想与之相似的事物。通过比较、类比，对其结论进行推测，这样的思维方法叫类比猜是。其核式：联把一一类比一猜塑。三、反例反驳概述反暖是用已如为真的命题去根露或证实另一个命题的虚假性的逻辑方法。例如：意大利科学家们利略在发现自由落体公式封，针对亚里士多德以米一直被当成“真理”的“物体越重，下落速度越快”这一传统观点指出：如果一块轻石头A加在一块重石头B上一起下落。那么根据“物体越重，下落速度感快”的断定，就会导致两个矛盾的结论：一是(+盼比B 重，因此，(+8)的下落速度比B快。二是速度是慢的A加在速度快的B上，就会或低B的下落速度，因此，(A+)的下落建度比B爱。由此可见，这其是对“物体越重，下落建度越换”这一判断的虚假性的一个反数。反驳与证明不月，证明是确定某一判断的真实性，反驳是确定对方论题的虚假性成不能成立：证明的作用在于探求真理，闲明真理，反敢的作用则在于揭露深误，捍卫真理。反吸与证明又是密切联系的，如果确定了一个判斯的真实性，同时也就意味着确定了与之相矛盾的判断的虚假性。反之，如果确定了一个判断的虚假性，同时也就意味着确定了与之相子盾判断的真实性。所以。正明与反取是相辅相成的，它们都是人们探素真理，发展真理不可缺少的思维形式和逐辑方法，教学中常用的反驳法有以下三种： (》构造一反例。即举出一个例子，说明它具各命题的全部条件，目不具有命题的论。例如十七批纪法国杰出的数学家费尔马对形如A=2+1的数进行了探讨。当=0， 1,2,3,4时，它们分别是质数：3、5、17、257,5537，因而他提出猜测：n是所有自然数时A都是质数。过了半个多世纪，到十八世纪时，欧拉首先找到了一个反例。计算出=6 时，A-429967297-6刷1×6700417是一个合数，从面否定了费尔马的这个猜塑. 2)假定命题成立，推出荒谬结果，从而证明了该命题是虚假的例如证明“零可以作障数”是错误的。证明：因为2一2-3一3即2(1一1)-3(1一1) 若零可以作除数，则推出23这一结果，显然荒谬

4da50ec191314063b74b5e04035aeb04.doc 第 6 页共 13 页实验——归纳——猜想。著名的歌德巴赫猜想就是归纳猜想的典型例子。依据已知条件，联想与之相似的事物，通过比较、类比，对其结论进行推测，这样的思维方法叫类比猜想。其模式：联想——类比——猜想。三、反例反驳概述反驳是用已知为真的命题去揭露或证实另一个命题的虚假性的逻辑方法。例如：意大利科学家伽利略在发现自由落体公式时，针对亚里士多德以来一直被当成“真理”的“物体越重，下落速度越快”这一传统观点指出：如果一块轻石头 A 加在一块重石头 B 上一起下落，那么根据“物体越重，下落速度越快”的断定，就会导致两个矛盾的结论：一是(A+B)比 B 重，因此，(A+B)的下落速度比 B 快。二是速度是慢的 A 加在速度快的 B 上，就会减低 B 的下落速度，因此，(A+B)的下落速度比 B 慢。由此可见，这就是对“物体越重，下落速度越快”这一判断的虚假性的一个反驳。反驳与证明不同，证明是确定某一判断的真实性，反驳是确定对方论题的虚假性或不能成立；证明的作用在于探求真理，阐明真理，反驳的作用则在于揭露谬误，捍卫真理。反驳与证明又是密切联系的，如果确定了一个判断的真实性，同时也就意味着确定了与之相矛盾的判断的虚假性。反之，如果确定了一个判断的虚假性，同时也就意味着确定了与之相矛盾判断的真实性。所以，证明与反驳是相辅相成的，它们都是人们探索真理、发展真理不可缺少的思维形式和逻辑方法。教学中常用的反驳法有以下三种： (1)构造一反例。即举出一个例子，说明它具备命题的全部条件，但不具有命题的结论。例如十七世纪法国杰出的数学家费尔马对形如 2 2 1 n A n = + 的数进行了探讨。当 n=0， 1，2，3，4 时，它们分别是质数：3、5、17、257，65537。因而他提出猜测：n 是所有自然数时 A n 都是质数。过了半个多世纪，到十八世纪时，欧拉首先找到了一个反例，计算出 n=5 时， A n =4294967297=641×6700417 是一个合数，从而否定了费尔马的这个猜想。 (2)假定命题成立，推出荒谬结果，从而证明了该命题是虚假的。例如证明“零可以作除数”是错误的。证明：因为 2—2=3—3 即 2(1—1)=3(1—1) 若零可以作除数，则推出 2=3 这一结果，显然荒谬

4dh5019131406b74604035ct04d0@ 第7页共3页 “零可以作除数”是错误的。又如证明“能将1010写成10个连续白然数之和”是错误。证明：如果1010能马10个莲续自然数之和，那么中间两个数的和应当是1010÷5=202 若中间两个数是连续自然数，它门的和应是奇数，不能等于22。所以，能将1010写成10个连线自然数之和是错误的。 (3》论证与该命题相矛所的命题是真实的，银据矛斯律则推出原命题是虚假的。思考烟1 (1)计算3,33,333，…分断计结果日凰的规律，精塑333333=？，33…3=？ (2》列断“除数比！小时，盛成大于救除数“是否正确，若不正确举出反阿， (3》需“任何整数都可以化为分母为自然数的假分数”是香正确，若不正醇举出反例。 )举网说明“酵想“的思雅过程第七章演年与化归学习要求 1.了解公理方法、化归方法的含文： 2。理解公理方法的作用和意义： 3。熟练掌握化归方法的基本原则和实现化归的常用径。主要内容指导一、演年推理要点滴绎推理是从一般原理鞋出个别结论的思维方法。其特点是：在推理的形式合乎辑的条件下，运用演释法从真实的前提一定能推出真实的结论。因此，演绎推理是一种必然性推理，演择推理是逻辑证明的工具，整个欧几里得几何就是一个演择推理系统。演择推理也是发展假设和理论的一个必要环节。19世纪数学家们由对欲几里得第五公设的鞋立性的试证导致发现非欧几何。滴择推理依据导出新判断（结论）的己知判断（能提）是否唯一成是否联言可分为直接推理与同接推理。而按前提与结论之阿的结构关系则具体形式主要有三段论、假言裤理，遗言推理、关系推理等。在数学中最为基瑞应用较多的则是三段论，这里我们作简要的介绍。所酬“三段论”就是由两个判断（其中至少有一个是全称判断）得出第三个判断的一种挂理方法。例如，凡同边数的正多边形都是相似的。这两个正多边形的边数是相同的，所以这两个正多边形也是相似的

4da50ec191314063b74b5e04035aeb04.doc 第 7 页共 13 页 “零可以作除数”是错误的。又如证明“能将 1010 写成 10 个连续自然数之和”是错误。证明：如果 1010 能写 10 个连续自然数之和，那么中间两个数的和应当是 1010÷5=202 若中间两个数是连续自然数，它们的和应是奇数，不能等于 202。所以，能将 1010 写成 10 个连续自然数之和是错误的。 (3)论证与该命题相矛盾的命题是真实的，根据矛盾律则推出原命题是虚假的。思考题：（1）计算 2 2 2 3 ,33 ,333 , 分析计算结果呈现的规律，猜想 2 2 333333 ?,33 3 ? n = = （2）判断“除数比 1 小时，商就大于被除数”是否正确，若不正确举出反例。（3）判断“任何整数都可以化为分母为自然数的假分数” 是否正确，若不正确举出反例。 (4)举例说明“猜想”的思维过程。第七章演绎与化归学习要求 1．了解公理方法、化归方法的含义； 2．理解公理方法的作用和意义； 3．熟练掌握化归方法的基本原则和实现化归的常用途径。主要内容指导一、演绎推理要点演绎推理是从一般原理推出个别结论的思维方法。其特点是：在推理的形式合乎逻辑的条件下，运用演绎法从真实的前提一定能推出真实的结论。因此，演绎推理是一种必然性推理。演绎推理是逻辑证明的工具，整个欧几里得几何就是一个演绎推理系统。演绎推理也是发展假设和理论的一个必要环节。19 世纪数学家们由对欧几里得第五公设的独立性的试证导致发现非欧几何。演绎推理依据导出新判断(结论)的已知判断(前提)是否唯一或是否联言可分为直接推理与间接推理。而按前提与结论之间的结构关系则具体形式主要有三段论、假言推理、选言推理、关系推理等。在数学中最为基础且应用较多的则是三段论，这里我们作简要的介绍。所谓“三段论”就是由两个判断(其中至少有一个是全称判断)得出第三个判断的一种推理方法。例如，凡同边数的正多边形都是相似的。这两个正多边形的边数是相同的，所以这两个正多边形也是相似的

4d山50as191314063674b50035ct04d 第多真共3夏这里有三个判断，第一个判断提供了一般的原理原则，叫做三段论式的大前提：第二个判断番出了一个特殊场合的情况，叫做小前提：联合这两个判断，说明一般原则和特殊情况间的联系，因而得出的第三个判断。国做结论。任何一个三段论，都是由三个判断组成。而这三个判断组成，面这三个判断中贝色含三个不同的概念。其基本核式为如大前提：一切M都是（成非P) 小前提：S是M: 结论：S是（或非P). 二、公理化方法要点我们以代数为例来说明公理化方法的要点。考察定义两个二元运算“+”，·的元素集合 M,称M是一个布尔代数，它有下列性质： 1,运算"+”、“·”满足交换律 2.对运算“+”，“·”在M中存在一个单位元。分别称0和1 3.每一运算关于另一个的分配律成立： 4.对M中的每一元素a,存在M中的另一元素d,成立： a+d=1和ad=0i S,对M中的每一元素a,有 a+a=a和aa=a: 6,对布尔代数M中的所有a,b,有 (ab=d+b和(a+b=d5, 7.对M中的每个a,有 (dy-a 8.对M中的任意两个元素a和B,有 a+a"b=a和aa+b)=d 我们还可以列出布尔代数其他一些性质，这些性质军可以从上面所列性质推导出来，即使上面所列出的一些性顺本身也不是独立的，它们之中某些命题也能从其它命题推导出米。能不能从这8个命题找出几个基本命题作为原始命题，其它命题都可由原始命题挂导出来呢？这是可能的。这就是数学知识的逐辑组织化间愿。我们可以选取1一4作为原始命题，可以证明其它衡思都可以由这四个原始命思推导出米。事实上，这四个命避刻划了布尔代数的一个可能的公理体系。这些原始命题，我们国它为公理。由公理推导出来的命题叫做定理。一个命题是从前一个命题推导出米的，而前一个命题又是从更前一个命题推导出米，我们总不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点，把这些作为起点并棱承认下米的鱼题称之为公理。同样对于概念来讲也有些不如定文的原始概念。在一个数学理论系统中，我们尽可能少地选取单始概老和不加证明的一组公理，以此为出发点，利用纯应辑推理的法则，把该系统建立成一个演怀系统的方法。戴是公理化方法。三、化归方法婴点所谓“化归“，从字面上看，应可理解为转化和归结的意思。数学方法轮中所论及的“化归方法是指数学家们把特解决或未解决的付愿，通过某种转化过程，归结到一类己经能解决或者解决比较容易解决的问思中去，最终求铁原阿题之解答的一种手段和方法。下面适过

4da50ec191314063b74b5e04035aeb04.doc 第 8 页共 13 页这里有三个判断，第一个判断提供了一般的原理原则，叫做三段论式的大前提；第二个判断指出了一个特殊场合的情况，叫做小前提；联合这两个判断，说明一般原则和特殊情况间的联系，因而得出的第三个判断，叫做结论。任何一个三段论，都是由三个判断组成。而这三个判断组成，而这三个判断中只包含三个不同的概念，其基本模式为：大前提：一切 M 都是(或非 P )；小前提： S 是 M ；结论： S 是(或非 P )。二、公理化方法要点我们以代数为例来说明公理化方法的要点。考察定义两个二元运算“+”、•的元素集合 M ，称 M 是一个布尔代数，它有下列性质： 1．运算“+”、 “• ”满足交换律； 2．对运算“+”、“ • ”在 M 中存在一个单位元，分别称 0 和 1 ； 3．每一运算关于另一个的分配律成立； 4．对 M 中的每一元素 a ，存在 M 中的另一元素 a' ，成立： a + a' =1 和 a • a' = 0 ； 5．对 M 中的每一元素 a ，有 a + a = a 和 a •a = a ； 6．对布尔代数 M 中的所有 a,b ，有 (a •b)' = a'+b' 和 (a + b)' = a'•b' ； 7．对 M 中的每个 a ，有 (a')' = a ； 8．对 M 中的任意两个元素 a 和 b ，有 a + a •b = a 和 a • (a + b) = a 我们还可以列出布尔代数其他一些性质，这些性质都可以从上面所列性质推导出来，即使上面所列出的一些性质本身也不是独立的，它们之中某些命题也能从其它命题推导出来。能不能从这 8 个命题找出几个基本命题作为原始命题，其它命题都可由原始命题推导出来呢？这是可能的。这就是数学知识的逻辑组织化问题。我们可以选取 1—4 作为原始命题，可以证明其它命题都可以由这四个原始命题推导出来。事实上，这四个命题刻划了布尔代数的一个可能的公理体系。这些原始命题，我们叫它为公理，由公理推导出来的命题叫做定理。一个命题是从前一个命题推导出来的，而前一个命题又是从更前一个命题推导出来，我们总不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点，把这些作为起点并被承认下来的命题称之为公理。同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念。在一个数学理论系统中，我们尽可能少地选取原始概念和不加证明的一组公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的法则，把该系统建立成一个演绎系统的方法，就是公理化方法。三、化归方法要点所谓“化归”，从字面上看，应可理解为转化和归结的意思。数学方法轮中所论及的“化归方法”是指数学家们把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者解决比较容易解决的问题中去，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。下面通过

4d山50191314063b74b5c0903504de 第9氨共B夏两个例子米说明化归方法的具体含义。例！在假定我们已经会求矩形面积的简提下，去求解： ()平行周边形雨积： 2)三角形而积： 3)》多边形面积。解(1)由于我们已经会求矩形面积，因而我们会很白然地想到用制补法靶平行因边形化为与之等积的矩形。 2)可用拼接法，把两个三角形拼成一个平行四边形，从面把问题转化为)的情形. (③》可用分法将多边形分料成若干个三角形，这样就把H题转化为2)的情形了。例1中3个小思的求解过程有一个共同的特点，那就是它们都不是利用面积的最基本的概念（含单位正方形的个数去求其面积，而都是将来解决的门题转化归结为一个己已经能解决的问愿。从面求获原问题之解答，这正是化归方法的重要特色。例2在边长为2的正方形内，任意放置5个点，求证其中必存在两个点，它们之间的距离不大于√2。注意、2这个数植，它使我们联想到单位正方形对角线的长，如所知，在单位正方形内，任意两点间的距离都不大于对角线的长，从而小于域等干√2，因此原月题便转化为在所设条件下往证“至少有两个点落在月一个单位正方形之中”。我们把边长为2的正方形划分为四个单位正方形，那么问题便可进一步转化为“证明在四个单位正方形内任意放置5个点。至少有两个点在同一正方形内”。由于这个问题与大家在生活中早就体验过的下述月题完全一样，即“在四个抽量内放五个苹果，至少有一个抽屉内要政遗两个苹果”。因而原间题也就获证。思考题：举说明什么是“三段论“？举例份析问题解决中“化归”的过程？ (数学思想方法》中篇习题解答1 第五章拍象与餐括 1,叙述袖象的含义及其过程。提示：参见我材。 2、叙述概括的含义及其过程。提示：参见数材， 3,以教学“循环小数”的概念为例，说明抽象过程的三个基本环节的具体情况。提示，《1)把“都有无限多个数位”这一现象分离出来，(2)提纯“从某一小数位起，一个成几个数字依次不断地重复出现”这一共同属性：(3)简略即给出定义（略）， 4、在平面上从一点出发引出3条射线，可以构成小千平角的角最多有多少个？引4条呢？5条呢？…？请你袖象概括出平面上从一点出发引风：23.n∈N)条射找可以构成小

4da50ec191314063b74b5e04035aeb04.doc 第 9 页共 13 页两个例子来说明化归方法的具体含义。例 1 在假定我们已经会求矩形面积的前提下，去求解： (1)平行四边形面积； (2)三角形面积； (3)多边形面积。解 (1)由于我们已经会求矩形面积，因而我们会很自然地想到用割补法把平行四边形化为与之等积的矩形。 (2)可用拼接法，把两个三角形拼成一个平行四边形，从而把问题转化为(1)的情形。 (3)可用分割法将多边形分割成若干个三角形，这样就把问题转化为(2)的情形了。例 1 中 3 个小题的求解过程有一个共同的特点，那就是它们都不是利用面积的最基本的概念(含单位正方形的个数)去求其面积，而都是将来解决的问题转化归结为一个已经能解决的问题，从而求获原问题之解答，这正是化归方法的重要特色。例 2 在边长为 2 的正方形内，任意放置 5 个点，求证其中必存在两个点，它们之间的距离不大于 2 。注意 2 这个数值，它使我们联想到单位正方形对角线的长，如所知，在单位正方形内，任意两点间的距离都不大于对角线的长，从而小于或等于 2 。因此原问题便转化为在所设条件下往证“至少有两个点落在同一个单位正方形之中”。我们把边长为 2 的正方形划分为四个单位正方形，那么问题便可进一步转化为“证明在四个单位正方形内任意放置 5 个点，至少有两个点在同一正方形内”。由于这个问题与大家在生活中早就体验过的下述问题完全一样，即“在四个抽屉内放五个苹果，至少有一个抽屉内要放进两个苹果”。因而原问题也就获证。思考题：举例说明什么是“三段论”？举例分析问题解决中“化归”的过程？《数学思想方法》中篇习题解答 1 第五章抽象与概括 1、叙述抽象的含义及其过程。提示：参见教材。 2、叙述概括的含义及其过程。提示：参见教材。 3、以教学“循环小数”的概念为例，说明抽象过程的三个基本环节的具体情况。提示：（1）把“都有无限多个数位”这一现象分离出来；（2）提纯“从某一小数位起，一个或几个数字依次不断地重复出现”这一共同属性；（3）简略即给出定义（略）。 4、在平面上从一点出发引出 3 条射线，可以构成小于平角的角最多有多少个？引 4 条呢？5 条呢？…？请你抽象概括出平面上从一点出发引 n(n  3,n  N) 条射线可以构成小

4dh50e19131406367465e0035t04.d0阀第10页共3重于平角的角最多个数的计算公式：提示：1+2+3++a-=号mn-以m≥3). 5、有一个正方体的表面积涂满了红色，在它的每个而上切两刀，可得T个小正方体，凡是切面都是白色的.问小正方体中三面红的有儿块？两面红的有几块？一面红的有几块？各面都是白的有几块？提示：设切的刀数为H,那么三面红的块数是8，两面红的块数为12×(：-)，一面红的块数为6×(n-1)2，各面都是白的块数为(n-1)。第大章精想与反救 1、什么是归纳法？答归钠法是通过对一些个别的、特殊的情况如以观察、分析，进而导出一个一般性结论的推理方法。它是一种从特殊到一般的性理方法。 2、叙述不完全归的法的推理形式，并举一个应用不完全自的法的例子。答不亮全日纳法的一般推理形式是：设s={4,4,4…A…} 由于A具有属性，A具有属性，”A具有属性，因此推断S类事物中的每一个对象都可能具有属性P: 举例略。 3、叙述完全归钠法的推理形式，并举一个应用完金归纳法的例子。答完全归钠法的一般推理形式为：设S{4A,A…A} 由于A具有属性，A具有属性，…A,具有属性P,因此推断S中每一个对象都具有属性p: 注意完全归纳法的推理形式与不完全归纳法的推理形式的区别：完全归纳法是由S中的所有n个对象A,A,“A都几有属性P,推断S中每一个对象都具有属性不完全归的法是由S中部分对象A，A,“A具有属性P,裤新S中所有对象A,A,“A，都具有属性P:A后面的省略号不雀漏掉，举例略. 4,什么是猜想？猜想有什么特点？答在问思解决过程中，人们根据一定的经验材料和某些己知事实，对问思作出推测性的判断，从而构成命题。这种肖未判明真假的命题我们称之为猜想。猜塑具有两个显著的特点：①具有一定的科学性：②几有一定的推测性，即结论可能正确也可使错误。 5、什么是类比法？答类比法是指，由一类率物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法。类比法是一种从特殊到特殊的推理方法，其结论具有或然性。 6、叙述类比推理的形式。如何提高类比的可靠性？

4da50ec191314063b74b5e04035aeb04.doc 第 10 页共 13 页于平角的角最多个数的计算公式。提示： ( 1),( 3) 2 1 1+ 2 + 3 ++ (n −1) = n n − n  。 5、有一个正方体的表面积涂满了红色，在它的每个面上切两刀，可得 27 个小正方体，凡是切面都是白色的。问小正方体中三面红的有几块？两面红的有几块？一面红的有几块？各面都是白的有几块？提示：设切的刀数为 n ，那么三面红的块数是 8，两面红的块数为 12 (n −1) ，一面红的块数为 2 6(n −1) ，各面都是白的块数为 3 (n −1) 。第六章猜想与反驳 1、什么是归纳法？答归纳法是通过对一些个别的、特殊的情况加以观察、分析，进而导出一个一般性结论的推理方法。它是一种从特殊到一般的推理方法。 2、叙述不完全归纳法的推理形式，并举一个应用不完全归纳法的例子。答不完全归纳法的一般推理形式是：设 S= A1，A2，A3，An， ；由于 A1 具有属性 p， A2 具有属性 p，…… An 具有属性 p，因此推断 S 类事物中的每一个对象都可能具有属性 p。举例略。 3、叙述完全归纳法的推理形式，并举一个应用完全归纳法的例子。答完全归纳法的一般推理形式为：设 S= A1，A2，A3，An ；由于 A1 具有属性 p， A2 具有属性 p，… An 具有属性 p，因此推断 S 中每一个对象都具有属性 p。注意完全归纳法的推理形式与不完全归纳法的推理形式的区别：完全归纳法是由 S 中的所有 n 个对象 A1 ， A2 ，… An 都具有属性 p，推断 S 中每一个对象都具有属性 p。不完全归纳法是由 S 中部分对象 A1 ，A2 ，… An 具有属性 p，推断 S 中所有对象 A1 ，A2 ，… An ，…… 都具有属性 p。 An 后面的省略号不能漏掉。举例略。 4、什么是猜想？猜想有什么特点？答在问题解决过程中，人们根据一定的经验材料和某些已知事实，对问题作出推测性的判断，从而构成命题。这种尚未判明真假的命题我们称之为猜想。猜想具有两个显著的特点：①具有一定的科学性；②具有一定的推测性，即结论可能正确也可能错误。 5、什么是类比法？答类比法是指，由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法。类比法是一种从特殊到特殊的推理方法，其结论具有或然性。 6、叙述类比推理的形式。如何提高类比的可靠性？

浙江广播电视大学 文本 教学辅导2_数学思想与方法

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