浙江广播电视大学文本教学辅导3_数学思想与方法.doc_大学文库

c9d06853818d4al3a759dcm6a753c39edoc 第1页共 21项《数学思想与方法》单元轴导3 第八章计算与算法学习要求 1,了解计算、算法，算法的特点 2。知道计算工具的发展： 3。理解计算的意义、算法的意义。主要内容指导一、计算概述计算是一种科学方法。传统的科学方法一般是指科学实验和逻铜演绎，现在认为计算是第三种科学方法。在科学研究的历史上，计算曾经作为科学实验二逻辑演绎的附属或补充南存在。例如，人们对圆周率的研究。计算在其中是一种具体的求解方法，是计算能力的一种体现。计算作为一种相对独文的方法出现在科学研究之中，天文学家发现海王星是一个典型的实例，而且成为一种典型的科学方法。人们观测到天王星运动的不规则特征，推测这是天王星之外还有其他行星的影响结果，但当时的观测水平很难直接观测到.动推叶在巴黎。亚当斯在剑桥。他们相互数立地为这颗未知行星的定位计算多年，18相年9月，精推叶通知柏林的同行，这位同行在他计算出的位置现测到了海王星，用同样的方法，天文学家在190年又发现了冥王星。听所19世纪天文学家的呼声，可以想像这种方法的威力：“给我一张纸和一支笔，我要重现字宙！” 分形几何现在是数学的一个重要分支，并且已经影响到料学研究，工程技术的根多领域，计算在分形几何研究中的作用是举足轻重的，可以说，没有现代的计算，线没有分形几何。随着计算理论和计算技术的高速发展，计算在更广国的领城得到充分的运用。如天气预报、工业、军事上的计算机校拟需要计算，计算己经不再专用于数学，而是成为一种有效的科学方法。计算在数学中经常是为了求得某种数值结果或险证某种数学结果面被使用。二、算法概迷某问题的一个算法即解决该问题的一个确定的、有限的操作步骤。例如，数的四则运算法则，一元二次方程的求根公式，求最大公约数的欧几里得方法，解线性方程组的高斯消元法等，都是典型的算法。它门给出问题的精确解：而求数值积分的牛顿公式，解代数方程的选代法等也是具型的算法，它们给出的是月题的满足一定要求的近似解。中国古代数学以算法为主要特征，我国传统数学在从问题出发以解决问题为主行的发展过程中，建立了以构造性与机械化为其特色的算法体系，这与西方数学以款几里得《几何原本)为代表的所翻公理化演择体系正好遥图相对。肇始于我国的这种机械化体系，在经过明代以来几百年的相对清沉后，由于计算机的出现，己越来越为数学家所认识与重视，劳将重新登上历史舞台。算法的思想，不仅仅用于上面所举的数学月题的解决，根多实际问题的解徒都可以妇结为某种算法的提出。例如。有一队士兵要过河，但只有一条小船，上面有两个小孩。小船至多可以载一个士兵成者两个小孩，请问这队士兵依照何种程序才能蔬过此河？任何解决问思的有效方法，其过程都是能够确切指述的，其操作步骤也是有限的。从这点意义上讲，算法的应用已经远远超出数学的范围。三、算法的复杂性一般地讲，为解决某个问题面找到了一个算法，在数学研究本身住往就可以认为达到目

c9d0fd53818d4a43a759dca6a753c39e.doc 第 1 页共 21 页《数学思想与方法》单元辅导 3 第八章计算与算法学习要求 1．了解计算、算法、算法的特点； 2．知道计算工具的发展； 3．理解计算的意义、算法的意义。主要内容指导一、计算概述计算是一种科学方法。传统的科学方法一般是指科学实验和逻辑演绎，现在认为计算是第三种科学方法。在科学研究的历史上，计算曾经作为科学实验二逻辑演绎的附属或补充而存在。例如，人们对圆周率的研究，计算在其中是一种具体的求解方法，是计算能力的一种体现。计算作为一种相对独立的方法出现在科学研究之中，天文学家发现海王星是一个典型的实例，而且成为一种典型的科学方法。人们观测到天王星运动的不规则特征，推测这是天王星之外还有其他行星的影响结果，但当时的观测水平很难直接观测到．勒维叶在巴黎，亚当斯在剑桥，他们相互独立地为这颗未知行星的定位计算多年，1846 年 9 月，勒维叶通知柏林的同行，这位同行在他计算出的位置观测到了海王星。用同样的方法，天文学家在 1930 年又发现了冥王星。听听 19 世纪天文学家的呼声，可以想像这种方法的威力：“给我一张纸和一支笔，我要重现宇宙!” 分形几何现在是数学的一个重要分支，并且已经影响到科学研究、工程技术的很多领域。计算在分形几何研究中的作用是举足轻重的，可以说，没有现代的计算，就没有分形几何。随着计算理论和计算技术的高速发展，计算在更广阔的领域得到充分的运用。如天气预报、工业、军事上的计算机模拟需要计算．计算已经不再专用于数学，而是成为一种有效的科学方法。计算在数学中经常是为了求得某种数值结果或验证某种数学结果而被使用。二、算法概述某问题的一个算法即解决该问题的一个确定的、有限的操作步骤。例如，数的四则运算法则，一元二次方程的求根公式，求最大公约数的欧几里得方法，解线性方程组的高斯消元法等，都是典型的算法，它们给出问题的精确解；而求数值积分的牛顿公式，解代数方程的迭代法等也是典型的算法，它们给出的是问题的满足一定要求的近似解。中国古代数学以算法为主要特征。我国传统数学在从问题出发以解决问题为主旨的发展过程中，建立了以构造性与机械化为其特色的算法体系，这与西方数学以欧几里得《几何原本》为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥相对。肇始于我国的这种机械化体系，在经过明代以来几百年的相对消沉后，由于计算机的出现，已越来越为数学家所认识与重视，势将重新登上历史舞台。算法的思想，不仅仅用于上面所举的数学问题的解决，很多实际问题的解决都可以归结为某种算法的提出。例如，有一队士兵要过河，但只有一条小船，上面有两个小孩。小船至多可以载一个士兵或者两个小孩，请问这队士兵依照何种程序才能渡过此河?任何解决问题的有效方法，其过程都是能够确切描述的，其操作步骤也是有限的。从这点意义上讲，算法的应用已经远远超出数学的范围。三、算法的复杂性一般地讲，为解决某个问题而找到了一个算法，在数学研究本身往往就可以认为达到目

%0651818dHad3a759k753e9ed 第2到共 21顶的了，如很大的白然数的分解质因数。用上面的简法肯定可以解决。这时，使用这个算法要用多长时间等问题城不是数学关心的问题了。对计算机中的算法应用来讲。仅有算法还不够。例如，现代加密体制中要用到判断一个百位的大数是否是一个质数（或：分解质因数），如果也用上面描述的筛法，就不可能满足实际需要。简单地讲，计算机中的算法应用还要关心算法的效率。算法效率的度量一般指的是算法的复杂性（复条性函数），是评价算法优务的重要依据，一个算法的复桑性的高低体现在运行该算法所需要的计算机资源的多少，所雷的贤源越多，人们就说该算法的复桑性越高：反之，所雷的资源越低，则该算法的复桑性越低。计算机的资源，最重要的是时阿和空间（即存储器）资源。因而，算法的复杂性有时间复杂性和空间复杂性之分，时间复桑性，不言而喻，对于任童给定的间愿，设计出复象性尽可使低的算法是人们在设计算法时追求的一个重要目标：另一方面。当给定的问愿己有多种算法封，选择其中复杂性最低者，是人们在选用算法封应遵箭的一个重要准则，因此，算法的复杂性分析对算法的设计或选用有着重要的指导意义和实用价值。算法举例。 1.求x2=2的近似值由2=2可以得到x=2 定义数列{n}知下： (n=123…）容易发现，在确定了x之后，m}也确定了。如果确定1=1，就有x2=1.5,x3=141666…,x4=1414215686…,当达到所要求的精确皮后，也就阁到x2■2的近似值 2.减法通常的减法法测。涉及到高位退位运算，对初学者米讲这是比较复条的，下面的算法可以解决这个问思。 5347 -3819 23 52 1528 思考题：(1)举出小学数学中涉及到算法的实例.（2)举出一个不涉及数的

c9d0fd53818d4a43a759dca6a753c39e.doc 第 2 页共 21 页的了。如很大的自然数的分解质因数，用上面的筛法肯定可以解决。这时，使用这个算法要用多长时间等问题就不是数学关心的问题了。但对计算机中的算法应用来讲，仅有算法还不够。例如，现代加密体制中要用到判断一个百位的大数是否是一个质数(或：分解质因数)，如果也用上面描述的筛法，就不可能满足实际需要。简单地讲，计算机中的算法应用还要关心算法的效率。算法效率的度量一般指的是算法的复杂性(复杂性函数)，是评价算法优劣的重要依据。一个算法的复杂性的高低体现在运行该算法所需要的计算机资源的多少，所需的资源越多，人们就说该算法的复杂性越高；反之，所需的资源越低，则该算法的复杂性越低。计算机的资源，最重要的是时间和空间(即存储器)资源。因而，算法的复杂性有时间复杂性和空间复杂性之分。时间复杂性，不言而喻，对于任意给定的问题，设计出复杂性尽可能低的算法是人们在设计算法时追求的一个重要目标；另一方面，当给定的问题已有多种算法时，选择其中复杂性最低者，是人们在选用算法时应遵循的一个重要准则，因此，算法的复杂性分析对算法的设计或选用有着重要的指导意义和实用价值。算法举例。 1．求 2 2 x = 的近似值由 2 2 x = 可以得到 x x 2 = ，定义数列 xn  如下：         + = + n n n x x x 2 2 1 1 (n =1,2,3, ) 容易发现，在确定了 1 x 之后， xn  也确定了。如果确定 x1 =1 ，就有 x2 =1.5, x3 =1.41666，x4 =1.414215686 ，当达到所要求的精确度后，也就得到 2 2 x = 的近似值 2．减法通常的减法法则，涉及到高位退位运算，对初学者来讲这是比较复杂的，下面的算法可以解决这个问题。 5 3 4 7 - 3 8 1 9 -------------- 2 3 5 2 -------------- 1 5 2 8 思考题：（1）举出小学数学中涉及到算法的实例。（2）举出一个不涉及数的

J06538184a43a759a753e39ede 第3项共 21项运算实例。（3)举出一个不满足交换律的运算实例，第九章应用与建模学习要求 1.了解数学棱型、数学模型方法的含义： 2.理解数学模型在数学教学中的作用： 3。拿挥儿个重要的数学模型： 4.熟练拿握数学建慎的基本步骤。主要内容指导一、数学棋型方法颜述肥某种率物系统的主要特征、主要关系拍象出来，用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构，称为数学模型。要学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近权的反膜，数学柄型可作广义理解和珠义理解。按孤广义理解，凡一切数学概念、数学公式、数学理论体系、方程式和算法系统都可叫做数学模型。数学模型可以分为三类：①概之型数学视型，如实数、函要、集合、向量等。②方法型慎型。如各种方程、公式等。③结构型慎型，如群、环、域、向量空间等。按属绕文理解，只有那些反映特定问题的数学结构才称为数学树里。例如，一次函数是匀速直线运动的数学模型，二次函数是抛物线运动的数学颅型等，这类数学榄型如果是某种方法型模型域结构型模型的子横型。则可利用已有的数学理论求解。如果不是已有模型的子模型，则所获得的是一种新的数学慎型，就需要逻網地建立起它的理论，这乃是数学家创适性劳动的集中体现。所谓“数学榄型方法”简称方法。是利用数学模型解决问题的一般方法。由于电子计算机的迅猛发展，国方法在自然科学、工程技术和社会科学中有着丰常广泛的应用，现代各种应用数学所以具有解决实际问题的功能，主要就是应用了W方法。数学模型方法在数学中的运用主要体现在下面三个方面： 1.构造数学模型解决实际问愿根据实际问思构造数学板型，一般可按下列步骤进行：①查清实际门恩的基本情况。分析问题所涉及的各种量，弄南厚些是常量？哪些是变量？哪些是已如量？哪些是未知量？以及它们之同的相互关系。②分析所研究的系统的关系结构，即根据实际问题的特定关系和具体要求，考黎主要因素和有美量之间的美系。③透行拍象服括，即抽象出事物系统所含诸对象的主要关系，利用有关的数学理论和数学语言刻面这种关系。例1库存问愿：商店经营商品需要企库存货，而贮存货物需要贮存费用，若进货太多，一时卖不掉，就得净付贮存费：但是进贤太少也不行，这是因为每次进货总要耗费人力、物力，诸如派人采购、动用车辆运输、电讯联络等军要用钱。那么每次选货多少最经济？所谓每次进资多少最经济，：是指每年用于采购订货及库存的总贵用最少。为了建立库存问题的数学械型，必须掌握某商品的全年销售量。该商品的每次进货量。每件商品的年存贮费用。每次选货所需的费用，为了保证商品不脱销。还应考虑仓库中要有一定数量的备用商品，进货商品中的不合格率和运输途中的损坏率等，要同时考虑这许多因素，建立数学模型就比较困难，因此可将问题适当简化，对于该问题中的各用商品量，进货中的不合格半和

c9d0fd53818d4a43a759dca6a753c39e.doc 第 3 页共 21 页运算实例。（3）举出一个不满足交换律的运算实例。第九章应用与建模学习要求 1．了解数学模型、数学模型方法的含义； 2．理解数学模型在数学教学中的作用； 3．掌握几个重要的数学模型； 4．熟练掌握数学建模的基本步骤。主要内容指导一、数学模型方法概述把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构，称为数学模型。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映。数学模型可作广义理解和狭义理解。按照广义理解，凡一切数学概念、数学公式、数学理论体系、方程式和算法系统都可叫做数学模型。数学模型可以分为三类：①概念型数学模型，如实数、函数、集合、向量等。②方法型模型，如各种方程、公式等。③结构型模型，如群、环、域、向量空间等。按照狭义理解，只有那些反映特定问题的数学结构才称为数学模型。例如，一次函数是匀速直线运动的数学模型，二次函数是抛物线运动的数学模型等。这类数学模型如果是某种方法型模型或结构型模型的子模型，则可利用已有的数学理论求解。如果不是已有模型的子模型，则所获得的是一种新的数学模型，就需要逻辑地建立起它的理论，这乃是数学家创造性劳动的集中体现。所谓“数学模型方法”简称 MM 方法，是利用数学模型解决问题的一般方法。由于电子计算机的迅猛发展，MM 方法在自然科学、工程技术和社会科学中有着非常广泛的应用，现代各种应用数学所以具有解决实际问题的功能，主要就是应用了 MM 方法。数学模型方法在数学中的运用主要体现在下面三个方面： 1．构造数学模型解决实际问题根据实际问题构造数学模型，一般可按下列步骤进行：①查清实际问题的基本情况，分析问题所涉及的各种量，弄清哪些是常量?哪些是变量?哪些是已知量?哪些是未知量?以及它们之间的相互关系。②分析所研究的系统的关系结构，即根据实际问题的特定关系和具体要求，考察主要因素和有关量之间的关系。③进行抽象概括，即抽象出事物系统所含诸对象的主要关系，利用有关的数学理论和数学语言刻画这种关系。例 l 库存问题：商店经营商品需要仓库存货，而贮存货物需要贮存费用，若进货太多，一时卖不掉，就得净付贮存费；但是进货太少也不行，这是因为每次进货总要耗费人力、物力，诸如派人采购、动用车辆运输、电讯联络等都要用钱。那么每次进货多少最经济? 所谓每次进货多少最经济，就是指每年用于采购订货及库存的总费用最少。为了建立库存问题的数学模型，必须掌握某商品的全年销售量，该商品的每次进货量，每件商品的年存贮费用，每次进货所需的费用。为了保证商品不脱销，还应考虑仓库中要有一定数量的备用商品，进货商品中的不合格率和运输途中的损坏率等。要同时考虑这许多因素，建立数学模型就比较困难，因此可将问题适当简化，对于该问题中的备用商品量，进货中的不合格率和

1065381844a43a759753e39ed 第6项共其 21风 =2cosnco 3n 4 (1)当n为奇数时，令n=2m+1(m∈Z),则 A=2cos(2m+1)cos 6m+3)江=±2 (2)当n为偶数时，令n=2mEZ),则 A=2cos4mcos3m=2 令n=4m+2(m后Z),则 4=2cos(4m+2)xcos34m+2) 4 =2c0s(4m+2)xc0s 6m+3)x=0 2 数学的生命力在于它能有效地解读现实世界向我们提出的各种问题，而数学核型正是联系数学与现实世界的桥梁，如何将现实问园转化为数学模型，这是对学生创透性地解决问题的能力的检验。也是数学教育的重要任务，构适数学模型是中国古代数学的优良传统，我国古代数学名著《九章算术》里的26 个题目，可归姑为九种数学月恩的数学核型，这些核型的构作，体现了我国古代数学有很强的实用性。今日的四化大业更需要我们的学校培养出一大批能够解决实际问愿的人材。如何如强数学棱型方法的学习和训，乃是数学数育中一个有待解决的重要课题。第十章其饱方法学习要求 1.了解分类方法、数形结合方法、特殊化方法的含义： 2,理解现象分类、本质分类以及特株化与一般化的屏证美系： 3,掌握特殊化方法的应用： 4,熟练拿掘分类方法，数形结合方法。主要内容指导一、分类方法概述分秀是基本逻辑方法之一。数学中的分类是，按到数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间的异同点，然后根据相同点将数学对象归并为较大的类，根据差异点将数学对象划分为较小的类，从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级系统。分类具有三个要素：①被划分的对象：②划分后所得的类概急：同划分的标准。数学分类的关键在于正确地选择分类标准。一个科学的分类标准必须能够把需要分类的数学对象，进行不重复\无遗漏的分划.例知，把三角形按边的相等关玩分成不等边三角形、等腰三角形、等边三角形是不恰当的。因为在等腰三角形中包含等边三角彩，这两部分的交集不是空集。正确的分类是：

c9d0fd53818d4a43a759dca6a753c39e.doc 第 6 页共 21 页 4 3 2cos cos   n = n （1）当 n 为奇数时，令 n = 2m +1(mZ) ，则 2 4 (6 3) 2cos(2 1) cos =  + = +   m A m （2）当 n 为偶数时，令 n = 2m(mZ) ，则 A = 2cos4m cos3m = 2 令 n = 4m + 2(mZ) ，则 4 3(4 2) 2cos(4 2) cos   + = + m A m 0 2 (6 3) 2cos(4 2) cos = + = +   m m 数学的生命力在于它能有效地解决现实世界向我们提出的各种问题，而数学模型正是联系数学与现实世界的桥梁。如何将现实问题转化为数学模型，这是对学生创造性地解决问题的能力的检验，也是数学教育的重要任务。构造数学模型是中国古代数学的优良传统，我国古代数学名著《九章算术》里的 246 个题目，可归结为九种数学问题的数学模型，这些模型的构作，体现了我国古代数学有很强的实用性。今日的四化大业更需要我们的学校培养出一大批能够解决实际问题的人材。如何加强数学模型方法的学习和训练，乃是数学教育中一个有待解决的重要课题。第十章其他方法学习要求 1．了解分类方法、数形结合方法、特殊化方法的含义； 2．理解现象分类、本质分类以及特殊化与一般化的辩证关系； 3．掌握特殊化方法的应用； 4．熟练掌握分类方法、数形结合方法。主要内容指导一、分类方法概述分类是基本逻辑方法之一。数学中的分类是，按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间的异同点，然后根据相同点将数学对象归并为较大的类，根据差异点将数学对象划分为较小的类，从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级系统。分类具有三个要素：①被划分的对象；②划分后所得的类概念；③划分的标准。数学分类的关键在于正确地选择分类标准。一个科学的分类标准必须能够把需要分类的数学对象，进行不重复＼无遗漏的分划。例如，把三角形按边的相等关系分成不等边三角形、等腰三角形、等边三角形是不恰当的。因为在等腰三角形中包含等边三角形，这两部分的交集不是空集。正确的分类是：

c9d06853818d4a43a759dcm6a753c39edoc 第7页共 21项不等边三角形三角形底边与樱不相等的三角形等腿三角形等边三角形又如，把自然数分为质数和合数也是不正确的，因为遗漏草“1”这个既非质数又非合数的白然数。若选取不同的标准，可以有不用的分类。同样是对三角彩进行分类，如果按三角形中的最大角的量为标治，则可得到如下分类：纯角三角形三角形图直角三角形锐角三角形有些数学对象比较复桑，仅仅进行一次分类，不足以将问愿时论清楚，需要进一步对其中一类或几类膝续分类，即速行多级分类。在多级分类中，常常采用“二分法”，也就是按某一性质的有无进行分类。数学分卖有现象分类和本质分类的区别。所酬现象分类，是指仅仅根据数学对象的外部特任或外部联系进行分类。这种分类往往把本质上相月的对象分为不同的类别，面把本质上不相同的对象归为同一类别。所谓本质分类，即龈据事物的本质特征或内联系进行分类，例如，自然数集可以根据能香被2整豫的标准分为奇数和偶数。为了更好地认识自然数间的内在联系，则需要按自然数所含质因数的个数进行分类： [质数（质因数个数为）自然数1（质因数个数为0）合数（质因数个数个数1）在这个更深射的本质分类的基础上，通过对质数、合数的进一步研究，就可得到算术基本定理。对数学对象的本质分类有个逐步深化的过程。原来，人们总是习惯于把数学分为代数、儿何、分析三大类。代数又分为初等代数、线性代数、拓扑代数、群代数等。几何又分为初等几何、射影几何，非款几何，拓扑几何、微分几何，代数几何等，分析又分为初等微积分，高等微积分、微分方程，实变两数、复变函数、泛函分析、流形上的分析等。按愿这种分类，一些不同的对象，却说不清楚它们之同的区别究意是什么？而另一些不同的数学对象之间却有着明显的共同点。例如，数的加法、多项式的加法、向量的加法等等，它们为什么都叫“加法”？实数和复数，都可以进行四则运算，都有绝对值。似乎差别不大。但是，复数却不能比较大小，为什么复数无大小？实数和复数的本质区别是什么？这些按传统的分类方法都无法说清楚。只是到了本世纪30年代前后，法国的布尔巴基学派深入研究了整个数学的全貌才提出了新的分类方法。他们从全部数学中提炼出三种母结构：代数结构、序结构和拓补结构，把所有的登学按無这三种结构的不闲组合加以分类。这种分类当然比传统的分类深刻得多。原先郑些不甚明了的月题，用结构士义的观占来看就一清二楚了，通过分类可以使大量繁欢的材料条理化、系统化，从而为人们进行分门别类的深入研究创迹条件。分类方法不仅在数学知识整理和慢念学习中十分重要，面且在数学证明，参数时论以及与有关排列组合的计算中也非常有用。二、数形结合方法幅述

c9d0fd53818d4a43a759dca6a753c39e.doc 第 7 页共 21 页         等边三角形底边与腰不相等的三角形等腰三角形不等边三角形三角形又如，把自然数分为质数和合数也是不正确的，因为遗漏掉“1”这个既非质数又非合数的自然数。若选取不同的标准，可以有不同的分类。同样是对三角形进行分类，如果按三角形中的最大角的量为标准，则可得到如下分类：      锐角三角形直角三角形钝角三角形三角形有些数学对象比较复杂，仅仅进行一次分类，不足以将问题讨论清楚，需要进一步对其中一类或几类继续分类，即进行多级分类。在多级分类中，常常采用“二分法”，也就是按某一性质的有无进行分类。数学分类有现象分类和本质分类的区别。所谓现象分类，是指仅仅根据数学对象的外部特征或外部联系进行分类。这种分类往往把本质上相同的对象分为不同的类别，而把本质上不相同的对象归为同一类别。所谓本质分类，即根据事物的本质特征或内部联系进行分类。例如，自然数集可以根据能否被 2 整除的标准分为奇数和偶数。为了更好地认识自然数间的内在联系，则需要按自然数所含质因数的个数进行分类：        合数（质因数个数个数〉）（质因数个数为）质数（质因数个数为）自然数 1 1 0 1 在这个更深刻的本质分类的基础上，通过对质数、合数的进一步研究，就可得到算术基本定理。对数学对象的本质分类有个逐步深化的过程。原来，人们总是习惯于把数学分为代数、几何、分析三大类。代数又分为初等代数、线性代数、拓扑代数、群代数等。几何又分为初等几何、射影几何、非欧几何、拓扑几何、微分几何、代数几何等。分析又分为初等微积分、高等微积分、微分方程、实变函数、复变函数、泛函分析、流形上的分析等。按照这种分类，一些不同的对象，却说不清楚它们之间的区别究竟是什么? 而另一些不同的数学对象之间却有着明显的共同点。例如，数的加法、多项式的加法、向量的加法等等，它们为什么都叫“加法”? 实数和复数，都可以进行四则运算，都有绝对值，似乎差别不大。但是，复数却不能比较大小。为什么复数无大小？实数和复数的本质区别是什么？这些按传统的分类方法都无法说清楚。只是到了本世纪 30 年代前后，法国的布尔巴基学派深入研究了整个数学的全貌才提出了新的分类方法。他们从全部数学中提炼出三种母结构：代数结构、序结构和拓扑结构，把所有的数学按照这三种结构的不同组合加以分类。这种分类当然比传统的分类深刻得多。原先那些不甚明了的问题，用结构±义的观占来看就一清二楚了。通过分类可以使大量繁杂的材料条理化、系统化，从而为人们进行分门别类的深入研究创造条件。分类方法不仅在数学知识整理和概念学习中十分重要，而且在数学证明，参数讨论以及与有关排列组合的计算中也非常有用。二、数形结合方法概述

%0651818dHad3a759k753e9ed 第8则共 2山所谓数形结合方法，线是在研究数学月恩时，由数思形，以形思数，数形结合考虑问题的一种思塑方法。数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式，只是为了方便，人们才分别将量量关系和空同形式从现实世界中单鞋抽取出来进行研究，因而形成了代数与几何。但是。现实世界本身是同时兼备数与形两件属性的，当数学发展到一定阶段时必然要将数形结合起来，充分地运用数形结合、数形转化的方法米解决各种数学问思，解析几何就是数形结合的典范。运用数形结合方法研究数学问题。对于沟通代数、三角与几何的联系，具有重要指导意义，理解并拿罪数形结合方法，有助于增强学生的爱学素养，提高分析间愿和解决月恩的能力。在初中数学中，数形结合的常用方法有： 1.构迹几何图形解决代数与三角问圆根据题中“数”的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特征、规律米研究解决同愿，可以化抽象为直观，易于显露出阿愿的内在联系。借助几何直爱来解思，还可以避免一些复杂的计算和字母讨论。例1已知x,火，r都是正数，并且x2+y2=2,2-r2=x2,求证后=y 由式子x2+y2=:2,很容易使人联想到勾股定理：由式子√x2-r2=x2,又使人想到射影定理。于是只要以x,y为直角边，：为斜边作出直角三角形及其斜边上的高。如图1，则结论的正确性一目了然。例2求15°的三角函数值。如图2所示，在RA4BC中，设AC=1,AB=2.∠C=90°，则 BC=√5，∠ABC=30°，再在CB延长线上裁取BD=AB=2,并且莲结AD,则 ∠ADC=5°，4D=VAC2+DC2=VP+(2+V3=6+2 因此有 6-2 sin15°= DA6+2 4 C0sl5°= DC2+56+√2 DA6+2 4 1 tanl5°= AC DC2+万 =2-5 cotl5*= DC 2+3 =2+5 AC 1 2,用代数与三角形方法解决几何问题某些有关几何图形性质的问题。可转化为数量关系的问题，适当进行代数成三角运算，常可化难为易。获得简单易行的成功方案

c9d0fd53818d4a43a759dca6a753c39e.doc 第 8 页共 21 页所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，由数思形、以形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式，只是为了方便，人们才分别将数量关系和空间形式从现实世界中单独抽取出来进行研究，因而形成了代数与几何。但是，现实世界本身是同时兼备数与形两种属性的，当数学发展到一定阶段时必然要将数形结合起来，充分地运用数形结合、数形转化的方法来解决各种数学问题，解析几何就是数形结合的典范。运用数形结合方法研究数学问题，对于沟通代数、三角与几何的联系，具有重要指导意义。理解并掌握数形结合方法，有助于增强学生的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力。在初中数学中，数形结合的常用方法有： 1．构造几何图形解决代数与三角问题根据题中“数”的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特征、规律来研究解决问题，可以化抽象为直观，易于显露出问题的内在联系。借助几何直观来解题，还可以避免一些复杂的计算和字母讨论。例 1 已知 x, y,z,r 都是正数，并且 2 2 2 2 2 2 x + y = z ,z x − r = x ，求证 rz = xy。由式子 2 2 2 x + y = z ，很容易使人联想到勾股定理；由式子 2 2 2 z x − r = x ，又使人想到射影定理。于是只要以 x, y 为直角边， z 为斜边作出直角三角形及其斜边上的高，如图 1，则结论的正确性一目了然。例 2 求  15 的三角函数值。如图 2 所示，在 RtABC 中，设  AC =1, AB = 2,C = 90 ，则  BC = 3,ABC = 30 ，再在 CB 延长线上截取 BD= AB = 2 ，并且连结 AD ，则 15 , 1 (2 3) 6 2 2 2 2 2 ADC = AD = AC + DC = + + = +  因此有 2 3 1 2 3 cot15 2 3 2 3 1 tan15 4 6 2 6 2 2 3 cos15 4 6 2 6 2 1 1 sin15 = + + = = = − + = = + = + + = = − = + = = AC DC DC AC DA DC DA     2．用代数与三角形方法解决几何问题某些有关几何图形性质的问题，可转化为数量关系的问题，适当进行代数或三角运算，常可化难为易，获得简单易行的成功方案

c9d06853818d4a43a759dcm6a753c39edoc 第10页共2引页 =(x-6)2+0y-1)2 设P(x,y)为动点，Q6,1)为定点，则Mx,y)表示动点P到定点Q的距离平方，其中点P限制在线段AB上移动.由图4容易看出，点4(0,3)，B(4,0)分别是使M(x,y) 取得最大值和最小值的点。三、种殊化方法辰选所渭特殊化方法，是从研究对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合的方法。例如，在研究有关多边形的问愿时，我们从多边形转面考虑正用边形，还可以从正程边形转面考虑等边三角形，由此先得出有关等边三角形的一系列的定理和公式，再目过去研究这些定理和公式对于正：边形、一般的多边形是否成立？或者对于正n边形、一校的多边形是香有相制的定理和公式？正多边形是所有的边和角都相等的多边形，因此，从多边形到正多边形，我们明入了角和边的限制，这是特殊化的一种方式，正n边形的边数刀是一个变数：而等边三角形的边数是一个定数3，因此，从正n边形到等边三角形时，我们是用一个特定的对象代替了一个可变的对象，即把变数用换成一个定数3，这是特殊化的另一种方式，它是将研究对象的全体转变为研究包含在这个全体中的一个对象，特殊化方法的意义在干：当研究的对象比较复杂时，通过对其特殊情况的研究，将会使我门对研究的对象有个初步了解，井且帮助我们熟悉所面临的问思的类里，这树于进一步处理以至最终解决这个问画有很大好处。另外，事物的共性存在于个性之中。对个别的特蛛情况的讨论，常常可以凸联问题的关键。从而揭示出月题的本质。例如，在用数学归销法正明命题时，我们在验证了n一1时命题成立后，往往再对刀一2，程一3时的情况如以险证。从证明步骤来说，这似乎是多余的。其实不然，因为由H一1时命题成立去推证H一2时命题成立，或由=2去推证n=3成立所用的方法。往往可以墨露出由假设炸=k时命题成立去推证n=k+时命题成立所用的方法。 2,特殊化方法在数学学习中的作用大数学家希尔伯特说：“在讨论数学月题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用，可能在大多爱场合，我们寻找一个问恩的答案而未铁成功的原因，就在于这样的事实，即有一些比手头问愿更简单、更容易的问愿没有完全解决，或者完全没有解决。这一切都有懒于找出这些比较容号的月圈，并用尽可能完蓉的方法和能够推广的概念来解决它们，这种方法是解决数学困难的最重要的杠杆之一，”这段话深刻地说明了特殊化方法的重要作用。 (1》利用特殊值（图形）解选择题某生选择题按常规方法解比较困难成者运算繁项，若利用特殊值（图形）来解则丰常简徒。例1给定一个三角形，设它的周长，外接圆半径长、内切圆半径长分别为，尺，P这里R为定值)，则下面结论正确的是(). 01>R+P(B)I≤R+r (C)-<R+r (①)以上关系都不成立。 6

c9d0fd53818d4a43a759dca6a753c39e.doc 第 10 页共 21 页 2 2 = (x − 6) + ( y −1) 设 P(x, y) 为动点， Q(6,1) 为定点，则 M (x, y) 表示动点 P 到定点 Q 的距离平方，其中点 P 限制在线段 AB 上移动。由图 4 容易看出，点 A(0,3),B(4,0) 分别是使 M (x, y) 取得最大值和最小值的点。三、特殊化方法概述所谓特殊化方法，是从研究对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合的方法。例如，在研究有关多边形的问题时，我们从多边形转而考虑正 n 边形，还可以从正 n 边形转而考虑等边三角形，由此先得出有关等边三角形的一系列的定理和公式，再回过去研究这些定理和公式对于正 n 边形、一般的多边形是否成立? 或者对于正 n 边形、一般的多边形是否有相似的定理和公式? 正多边形是所有的边和角都相等的多边形，因此，从多边形到正多边形，我们引入了角和边的限制，这是特殊化的一种方式。正 n 边形的边数 n 是一个变数，而等边三角形的边数是一个定数 3，因此，从正 n 边形到等边三角形时，我们是用一个特定的对象代替了一个可变的对象，即把变数 n 换成一个定数 3，这是特殊化的另一种方式，它是将研究对象的全体转变为研究包含在这个全体中的一个对象。特殊化方法的意义在于：当研究的对象比较复杂时，通过对其特殊情况的研究，将会使我们对研究的对象有个初步了解，并且帮助我们熟悉所面临的问题的类型，这对于进一步处理以至最终解决这个问题有很大好处。另外，事物的共性存在于个性之中。对个别的特殊情况的讨论，常常可以凸现问题的关键，从而揭示出问题的本质。例如，在用数学归纳法证明命题时，我们在验证了 n＝l 时命题成立后，往往再对 n ＝2，n ＝3 时的情况加以验证。从证明步骤来说，这似乎是多余的。其实不然，因为由 n ＝l 时命题成立去推证 n ＝2 时命题成立，或由＝2 去推证 n＝3 成立所用的方法，往往可以显露出由假设 n = k 时命题成立去推证 n = k +1 时命题成立所用的方法。 2．特殊化方法在数学学习中的作用大数学家希尔伯特说：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用，可能在大多数场合，我们寻找一个问题的答案而未获成功的原因，就在于这样的事实，即有一些比手头问题更简单、更容易的问题没有完全解决，或者完全没有解决。这一切都有赖于找出这些比较容易的问题，并用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们，这种方法是解决数学困难的最重要的杠杆之一。”这段话深刻地说明了特殊化方法的重要作用 o (1)利用特殊值(图形)解选择题某些选择题按常规方法解比较困难或者运算繁琐，若利用特殊值(图形)来解则非常简捷。例 l 给定一个三角形，设它的周长、外接圆半径长、内切圆半径长分别为 l,R,r (这里 R 为定值)，则下面结论正确的是（）。 (A) l  R + r (B) l  R + r (C) R r l  + 6 (D)以上关系都不成立

浙江广播电视大学 文本 教学辅导3_数学思想与方法

浙江广播电视大学文本教学辅导3_数学思想与方法