宁德师专《常微分方程》期末考试卷(22) 姓名 班级 座号 成绩 一、填空题（每小题4分，计20分） 方程M(x,y)dk+N(x,y)dy=0有只含x的积分因子的充要条件是 有只含y的积分因子的充要条件是 2.n阶齐线性方程线性无关解的个数最多为 个。 3.若Φ(t),Ψ(t)都是齐线性方程组X'=A(t)X的基解矩阵，则①(t)与Ψ(t)具有关系。 4.函数fx,)在区域G内连续，且关于y满足Lipschit证条件，则方程少=∫x,)的解 dx y=(x,x,)作为x,x.%的函数在它的存在范围内是」 5.设y(x)、y(x)是一阶非齐线性方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示 为 二、单项选择题（每小题4分，计20分） 1.设方程y"-3y=ex,则方程有特解( ) e 1 B.esx C. 2 D.xe 2.常微分方程的一个不可延展的解的存在区间一定是( A.(-0,+0) B.闭区间 C.开区间 D.(0,+oo) 3.方程yIn yd+(x-lny)dy=0是( A.可分离方程 B.线性方程 C.伯努力方程 D.全微分方程 4.函数g,(t),g,(t)在区间[a,b]上的伏朗斯基行列式w(t)=0是它们在[a,b]上线性相关的 () A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.充分非必要条件 5.n阶常系数齐线性方程的特征方程有n个不同的实数解入入，“，元n,则方程通解可表示为 A.ce+c,te+…+ctm-e B.(c+c2+…+cn)e(i=l,2…n) C.ce+c,er+…+cned D.Ct+c2入2t+…+Cn2nt
宁德师专《常微分方程》期末考试卷(22) 姓名____________班级________座号__________成绩 5.设 1 y x( ) 、 2 y x( ) 是一阶非齐线性方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示 为 。 二、单项选择题（每小题 4 分，计 20 分） 1．设方程 5 '' 3 x y y e − = ，则方程有特解（ ） A． 1 5 10 x e B． 5 x e C． 1 5 22 x e D． 1 5 2 x xe 2．常微分方程的一个不可延展的解的存在区间一定是（ ） A． ( , ) − + B．闭区间 C．开区间 D．(0, ) + 3．方程 y ydx x y dy ln ( ln ) 0 + − = 是（ ） A．可分离方程 B．线性方程 C．伯努力方程 D．全微分方程 4．函数 1 2 ( ), ( ) t t 在区间[a,b]上的伏朗斯基行列式 w t( ) 0 是它们在[a,b]上线性相关的 （ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．充分非必要条件 5． n 阶常系数齐线性方程的特征方程有 n 个不同的实数解 1, 2, , n ，则方程通解可表示为 A． 1 2 1 1 2 n t t n t n c e c te c t e − + + + B． 1 2 ( ) ( 1,2 ) i t n c c c e i n + + + = C． 1 2 1 2 n t t t n c e c e c e + + + D． 1 1 2 2 n n c t c t c t + + + 一、填空题（每小题 4 分，计 20 分） 方程 M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) 0 + = 有只含 x 的积分因子的充要条件是 ， 有只含 y 的积分因子的充要条件是 。 2． n 阶齐线性方程线性无关解的个数最多为 个。 3．若 ( ), ( ) t t 都是齐线性方程组 X A t X = ( ) 的基解矩阵，则 ()t 与 ( )t 具有关系 。 4．函数 f x y ( , ) 在区域 G 内连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，则方程 ( , ) dy f x y dx = 的解 0, 0 y x x y =( , ) 作为 0, 0 x x y , 的函数在它的存在范围内是
三、计算题(1,2题各6分，3,4,5,6,7各8分，计52分) 1.求解方程少=2少+x+1. dx x+1 2.求(x2-1)y+2xy2=0关于初值y(0)=1的解。 3.求解方程y"-2y'+y=0。 4.求方程(x2+y2+x)d-d少=0的通解。 X1=1 5.求方程组 =2x2的基解矩阵。 6.利用Laplace变换法求初值问题x"-3x'+2x=e3,x(O)=l,x'(O)=0的解。 7.试用逐次逼近法求方程少=x-y满足初值条件X0)=0的近似值。Q,(x,(,,()。 dx 四、证明题(8分) 设含有n个未知函数的齐线性方程组X'=A(t)X与X'=B(t)X有相同的基解组。 求证A(t)=B(t)
三、计算题（1，2 题各 6 分，3，4，5，6，7 各 8 分，计 52 分） 1．求解方程 2 3 ( 1) 1 dy y x dx x = + + + . 2．求 2 2 ( 1) 2 0 x y xy − + = 关于初值 y(0) 1 = 的解。 3．求解方程 y y y '' 2 ' 0 − + = 。 4．求方程 2 2 ( ) 0 x y x dx xydy + + − = 的通解。 5．求方程组 ' 1 1 ' 2 2 2 x x x x = = 的基解矩阵。 6．利用 Laplace 变换法求初值问题 3 '' 3 ' 2 , (0) 1, '(0) 0 t x x x e x x − + = = = 的解。 7．试用逐次逼近法求方程 dy 2 x y dx = − 满足初值条件 y(0) 0 = 的近似值。 0 1 2 ( ), ( ), ( ) x x x 。 四、证明题（8 分） 设含有 n 个未知函数的齐线性方程组 X A t X ' ( ) = 与 X B t X ' ( ) = 有相同的基解组。 求证 A t B t ( ) ( ) =
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(22) 评分标准既参考答案 一、填空题（每小题4分，计20分） aM aN OM ON 1. dy dx dy dx -M :2.n:3.Ψ(t)=Φ(t)C或Φ(t)=Y(t)C(C非奇异 N 常数阵) 4·连续的： 5·.yx)=CLy(x)-y,(x]+(x)或 y(x)=CL(x)-2(x]+2(x) 二、单选题（每小题4分，共计20分） 1.A2.C3.B 4.B 5.C 三、计算题(1,2题6分，3-7题8分，共计52分) 1. 解：p)= x+ ,Q(x)=(x+1),由常数变易法 =e合e+e应在 0t。904。中9ge94e9e400。ee99 (3分) =2+1+(x+102… (2分) 即2y=C(x+1)2+(x+1)…(1分) 2.解：将方程改写为山= 2x (y≠0)…（2分) 两边积分得上=lnr2-1+c …(2分) 代入初值y(0)=1,得c=1 1 故所求解为y= …(2分) Inx2-1+1 3.解：特征方程2-1+1=0 解得入=入=1（二重）… …(4分)
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(22) 评分标准既参考答案 一、填空题（每小题 4 分，计 20 分） 1． M N y x N − ， M N y x M − − ；2．n ； 3． = ( ) ( ) t t C 或 = ( ) ( ) t t C （C 非奇异 常数阵） 4 ．连续的； 5 ． 1 2 1 y x C y x y x y x ( ) [ ( ) ( )] ( ) = − + 或 1 2 2 y x C y x y x y x ( ) [ ( ) ( )] ( ) = − + 二、单选题（每小题４分，共计 20 分） 1．A 2．C 3．B 4．B 5．C 三、计算题（1，2 题 6 分，3-7 题 8 分，共计 52 分） １． 解： 2 3 ( ) , ( ) ( 1) , 1 p x Q x x x = = + + 由常数变易法 2 2 1 1 3 ( 1) dx dx x x y e x e dx c − + + = + + ………………………… （3 分） 1 4 2 ( 1) ( 1) 2 = + + + x c x ………………………………………………………… （2 分） 即 2 4 2 ( 1) ( 1) y c x x = + + + ……………………………………………（1 分） ２．解：将方程改写为 2 2 1 2 1 x dy dx y x − = − ( 0) y ……………………（2 分） 两边积分得 1 2 ln 1 x c y = − + …………………………………………（2 分） 代入初值 y(0) 1 = ，得 c =1 故所求解为 2 1 ln 1 1 y x = − + …………………………………………（2 分） ３．解：特征方程 2 − + =1 0 解得 1 2 = =1 (二重) ……………………………………………（4 分）
即所求通解为：y=e(C+C2x)…(4分) OM aN 4.解：M=x2+y2+x,N=-xy by ox=2y+y=_3 N -Xy 故u=e4、1 …(4分) 用“一下乘原方程两边得恰当方程 1y21 -不十2）X二x20 (+ 11y2 得u=lnx|-二- =C …(4分) x 2x2 0 5.解：方程组的系数矩阵A= 的特征方程 02 A-E=0的解为1=1，元=2… …(3分) 由(A-元E)u=0,解得A的属于=1的特征向量V= 0 A的属于入=2的特征向量' …(3分) 得方程的两个线性无关解向量为。 由此得方程一个基解矩阵 ()= 0e2 …(2分) 6.解：对方程两端同时施行laplace变换，得 sX)-s0)-x0)-3xXs)+3x0)+2Xs=1 …(3分) 5-3 即X(s)=二. 5.1-21+11 …(2分) 2s-1s-22s-3 由逆变换表知原方程初值问题的解为x0)=气。-2e2+e*… (3分) 2 7.解：p(x)=0)=0 (2分)
即所求通解为： 1 2 ( ) x y e C C x = + …………………………………… （4 分） 4．解： 2 2 M x y x N xy = + + = − , 2 3 M N y x y y N xy x − + = = − − 故 3 3 dx 1 x e x − = = …………………………………（4 分） 用 3 1 x = 乘原方程两边得恰当方程 2 3 2 2 1 1 ( ) 0 y y dx dy x x x x + + − = 得 2 2 1 1 ln | | 2 y u x c x x = − − = ……………………………………………………（4 分） 5．解：方程组的系数矩阵 1 0 0 2 A = 的特征方程 A E − = 0 的解为 = = 1, 2…………………………（3 分） 由 ( ) 0, A E u − = 解得 A 的属于 1 =1 的特征向量 1 1 0 V = A 的属于 2 = 2 的特征向量 2 0 1 V = ……………………（3 分） 得方程的两个线性无关解向量为 1 0 t e 与 2 0 1 t e ，由此得方程一个基解矩阵 2 0 ( ) 0 e t t e t = ………………………………………… …（2 分） 6．解：对方程两端同时施行 laplace 变换，得 2 1 ( ) (0) (0) 3 ( ) 3 (0) 2 ( ) 3 s X s sx x sX s x X s s − − − + + = − …………（3 分） 即 5 1 1 1 1 ( ) 2 2 1 2 2 3 X s s s s = − + − − − ……………………………………… …（2 分） 由逆变换表知原方程初值问题的解为 5 1 2 3 ( ) 2 2 2 t t t x t e e e = − + … （3 分） 7．解： 0 ( ) (0) 0 x y = = ……………………………………… （2 分）
9()=0+s-0s=2… …(3分) 0=0+-达=-六 …(3分) ()=(x(),x2(),…x()那么，必有 d0=A)(0 d d(0=Bu)p(0)… …(4分) dt 由于Φ(t)是基解阵，故detΦ(t)≠0，从而Φ(t)一定存在，因而 A0）=d0w-0）=B0） …（4分) 证毕
2 1 0 1 ( ) 0 ( 0) 2 x x s ds x = + − = …………………………………………………………（3 分） 2 2 2 5 2 0 1 1 1 ( ) 0 ( ( ) ) 2 2 20 x s s s ds x x = + − = − …………………………………………（3 分） 1 2 ( ) ( ( ), ( ), ( )) n = t x t x t x t 那么，必有 ( ) ( ) ( ) d t A t t dt = ( ) ( ) ( ) d t B t t dt = …………………………………………………………………………（4 分） 由于 ()t 是基解阵，故 det ( ) 0 t ，从而 1 ( )t − 一定存在，因而 1 ( ) ( ) ( ) ( ) d t A t t B t dt − = = ………………………………………………（4 分） 证毕