宁德师专《常微分方程》期末考试卷(20) 姓名 班级 座号 成绩 一、填空题：（每小题3分，10×3=30分） 1、若y=y(x),y=y,(x)是一阶线性非齐次方程y'=P(x)y+Q(x)的两个不同解，则用这两 个解可把其通解表示为一， 2、方程y"-(y)2-y=C0sy的阶数为 3、方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有仅有积分因子u=u(xy)的充要条件为 4、∫，(x,y)连续是保证f(x,y)对y满足李普希兹条件的条件. 5、方程少=Snx·c0Sy满足解的存在唯一性定理条件的区域是一 dx 6、方程y+ysinx=e任一解的存在区间必是一 7、以函数组t,e为基本解组的线性齐次微分方程是 8、n阶齐线性微分方程的所有解构成 维线性空间. 9、若矩阵A具有n个线性无关的特征向量y,y2,…,Vn,它们对应的特征值分别为，乙2，元n 那么常系数线性方程组x=Ax的一个基解矩阵D()=, 10、齐线性微分方程组Y'(x)=A(x)Y的解组Y(x),Y(x),…,Y,(x)为基本解组的 条件是它们的朗斯基行列式W(x)≠0. 二、求下列微分方程的通解：（每小题8分，8×5=40分） 1、x业=l+Iny-lnx). "dx 2、2x)dx+(x2-y2)dy=0 3、y=y'+2(y)2 4、x"-x=c0st 5、"-(x'2+(x')3=0
宁德师专《常微分方程》期末考试卷(20) 姓名____________班级________座号__________成绩 一、填空题：（每小题 3 分，10×3=30 分） 1、若 1 2 y y x y y x = = ( ), ( ) 是一阶线性非齐次方程 y P x y Q x = + ( ) ( ) 的两个不同解，则用这两 个解可把其通解表示为 . 2、方程 2 4 y y y y − − = ( ) cos 的阶数为 . 3、方程 M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0 有仅有积分因子 u u xy = ( ) 的充要条件为 . 4、 f (x, y) y 连续是保证 f (x, y) 对 y 满足李普希兹条件的 条件． 5、方程 x y x y sin cos d d = 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 6、方程 sin x y y x e + = 任一解的存在区间必是 . 7、以函数组 , t t e 为基本解组的线性齐次微分方程是 . 8、 n 阶齐线性微分方程的所有解构成 维线性空间. 9、若矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量 n v ,v , ,v 1 2 ，它们对应的特征值分别为 n , , 1 2 ， 那么常系数线性方程组 x = Ax ' 的一个基解矩阵 (t) = ______. 10 、 齐 线 性 微 分 方 程 组 Y x A x Y ( ) ( ) = 的解组 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x x x Y Y Yn 为 基 本 解 组 的 条件是它们的朗斯基行列式 W (x) 0 ． 二、求下列微分方程的通解：（每小题 8 分，8×5=40 分） 1、 d (1 ln ln ) d y x y y x x = + − ． 2、 2 d ( )d 0 2 2 xy x + x − y y = 3、 2 y xy y = + 2( ) 4、 x x t − = cos 5、 2 3 xx x x − + = ( ) ( ) 0
三、求初值问题 =x-y dx R:x+1≤1，≤1的解的存在区间，并求第二次近似解，给 y(-1)=0 出在解的存在区间的误差估计。(10分) 2 四、设A 试求方程组x'=Ax的基解矩阵，并求满足初始条件p(O)=7 -1 的 解(t). (10分) 五、证明题：(10分) 在方程y”+p(x)y'+q(x)y=0中，已知p(x),q(x)在(-o,+∞)上连续.求证：该方程的 任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切
三、求初值问题 − = = − ( 1) 0 2 2 y x y dx dy R : x +1 1, y 1 的解的存在区间，并求第二次近似解，给 出在解的存在区间的误差估计。（10 分） 四、设 − = 1 4 2 1 A ，试求方程组 x Ax = 的基解矩阵，并求满足初始条件 1 (0) 1 = = − 的 解 ()t . （10 分） 五、证明题：（10 分） 在方程 y + p(x) y + q(x) y = 0 中，已知 p(x)， q(x) 在 (−, + ) 上连续．求证：该方程的 任一非零解在 xoy 平面上不能与 x 轴相切．
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(20) 评分标准既参考答案 一、填空题：（每小题3分，10×3=30分） 1、y=c((x)-y2(x)+(x) 2、3 3、 1 aM_N)=叭 Ny-Mx dy ax 4、充分条件 5、x0y平面6、(-0，+0) 7、(t-1)x"-x'+x=0 8、n 9、[ey,e22,…,evn] 10、充要条件 二、求下列一阶微分方程的通解：（每小题8分，8×5=40分） 1、解原方程变形为少=二1+1n凸 …(2分) dx x 令u=上，则y=u+x',从而原方程变为 du=ulnu …(2分) dx 当nu≠0时，有d-d 等号两边积分得 ulnu x 即 In Inu=Inx+InC C≠0 (2分) 又lnu=0,即nY=0 是方程的解 故原方程的通解为 In=Cx (2分) OM 2、解因为 aN -=2x= 一，所以原方程是全微分方 dy Ex 程 …(3分) 取(x。,yo)=(0,0),原方程的通积分为 ∫2xd-6yd=C (3分) 朗 xy-3=C (2分) 3、解令y=p,则方程变为y=p+2p2 …(2分)
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(20) 评分标准既参考答案 一、填空题：（每小题 3 分，10×3=30 分） 1 、 1 2 1 y c y x y x y x = − + ( ( ) ( )) ( ) 2 、 3 3 、 1 ( ) ( ) M N xy Ny Mx y x − = − 4、充分条件 5、 xoy 平面 6、( , ) − + 7、 ( 1) 0 t x tx x − − + = 8、 n 9、 1 2 1 2 [ , , , ] n t t t n e v e v e v 10、充要条件 二、求下列一阶微分方程的通解：（每小题 8 分，8×5=40 分） 1、解 原方程变形为 (1 ln ) dy y y dx x x = + …（2 分） 令 x y u = ，则 y = u + xu ，从而原方程变为 d ln d u x u u x = ……………… （2 分） 当 ln 0 u 时，有 d d ln u x u u x = 等号两边积分得 即 ln ln ln ln u x C = + C 0 （2 分） 又 ln 0 u = ，即 ln 0 y x = 是方程的解 故原方程的通解为 ln y Cx x = （2 分） 2、解 因为 x N x y M = = 2 ，所以原方程是全微分方 程． ……………………（3 分） 取 ( , ) (0, 0) x0 y0 = ，原方程的通积分为 xy x y y C x y − = 0 2 0 2 d d （3 分） 即 x y − y = C 2 3 3 1 （2 分） 3、解 令 y p = ，则方程变为 2 y xp p = + 2 …（2 分）
两边关于x求导，得 x+4p)央=0，于是p=-或虫=0 …(3分) dx 4 dx 由p=-可得y=- 4 4 由迎=0得p=c,从而y=cx+2c2 …(3分) dx 4解特征方程为2-1=0，得元=L无，=-1±5 …(3分) 2 由于元=i不是特征根，因此设非齐次方程的特解x=(Acost+Bsint), 代入原方程得A=B三-)，所以特解为三-)cos1+sin7 (3分) 故原方程的通解为 x=e(c cos+csin)+ce-1 (cost+sint) (2分) 5、解两边乘以， 7,方程化为r-x-x 1 =0 (x2 …(3分) 于是有x-=G,C为任意的常数 (2分) 即X-9dk=d山，有x-cInlx上1+C2,G,2为任意的常数 另外当x'=0时，x=c也是解 …(3分) 三、解：M=maxf(x,y=4,x-xo≤1=a,ly-yo≤1=b, (x.VER b、1 h=mma,72）=4 解的存在区间为-x=+≤h=4 (3分) 5 4 令p(x)=y0=0 n(=0+达=苦+月 3 …(4分) 18942
两边关于 x 求导，得 ( 4 ) 0 dp x p dx + = ，于是 4 x p = − 或 0 dp dx = …（3 分） 由 4 x p = − 可得 2 4 x y = − 由 0 dp dx = 得 p c = ，从而 2 y cx c = + 2 …（3 分） 4、解 特征方程为 3 − =1 0 ，得 1 2,3 1 3 1, 2 i − = = …（3 分） 由于 =i 不是特征根，因此设非齐次方程的特解 x A t B t = + ( cos sin ) ， 代入原方程得 1 2 A B = = − ，所以特解为 1 (cos sin ) 2 x t t = − + （3 分） 故原方程的通解为 1 2 3 3 1 2 3 2 2 1 ( cos sin ) (cos sin ) 2 t t x e c t c t c e t t − = + + − + （2 分） 5、 解 两边乘以 2 1 ( ) x ，方程化为 2 2 ( ) 0 ( ) x xx x x − − = … （3 分） 于是有 1 x x c x − = ， 1 c 为任意的常数 （2 分） 即 1 x c dx dt x − = ，有 1 2 x c x t c − = + ln | | ， 1 2 c c, 为任意的常数 另外当 x = 0 时， x c = 也是解 …（3 分） 三、解： max ( , ) 4 ( , ) = = M f x y x y R , x − x0 1= a, y − y0 1= b， 4 1 = min( , ) = M b h a 解的存在区间为 4 1 x − x0 = x +1 h = （3 分） 即 4 3 4 5 − x − 令 0 (x) = y0 = 0 3 1 3 ( ) 0 3 1 2 1 = + = + − x x x dx x 42 11 3 63 18 9 ) 3 1 3 ( ) 0 ( 3 7 4 1 2 3 2 2 = − − − + = + − + − x x x x dx x x x x … （4 分）
又 dy =卜2≤2=L 误差估计为：M,()-以x≤Mh=1 …(3分) (n+1)！ -24 四、 解：p(2)= 2-2 -1=22-61+9=0 2-4 解得入2=3（二重根） …(2分) 由公式基解矩阵expA1=e“∑(A-AE)y得 (2分) exp At=e3[E+1(A-3E)] 6W …(3分) =4 方程组满足初始条作0)= 的解〔) 0=ep4=4-e[ (3 分) 五、证明题：(10分) 证明：由已知条件可知，该方程在整个x0少平面满足解的存在惟一性及解的延展定理条 件，且任一解的存在区都是(-0，+∞). (3分) 显然，该方程有零解y(x)三0 (2 分) 假设该方程的任一非零解y(x)在x轴上某点x。处与x轴相切， 即有y(xo)=(x)=0,那么由解的惟一性及该方程有零解y(x)=0 (2 分)
又 y L y f = − = 2 2 误差估计为： 24 1 ( 1)! ( ) ( ) 1 2 = + − n+ n h n ML x x … （3 分） 四、 解： 2 1 2 ( ) 6 9 0 1 4 p − − = = − + = − 解得 1,2 = 3 （二重根） …（2 分） 由公式基解矩阵 1 0 exp ( ) ! i t i i t At e A E i = = − 得 （2 分） 3 3 3 exp ( 3 ) 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 t t t At e E t A E e t t t e t t = + − − = + − − = − + … （3 分） 方程组满足初始条件 1 (0) 1 = = − 的解 ()t 3 3 1 1 1 2 ( ) (exp ) 1 1 1 2 t t t t t t At e e t t t − − = = = − + − − − ………… （3 分） 五、证明题：（10 分） 证明：由已知条件可知，该方程在整个 xoy 平面满足解的存在惟一性及解的延展定理条 件，且任一解的存在区都是 (−, + ) ． （3 分） 显然，该方程有零解 y(x) 0 （2 分） 假设该方程的任一非零解 ( ) 1 y x 在 x 轴上某点 0 x 处与 x 轴相切， 即有 ( ) ( ) 1 0 1 0 y x = y x = 0，那么由解的惟一性及该方程有零解 y(x) 0 （2 分）
可知y(x)≡0，x∈(-0，+0)，这与y(x)是非零解矛盾， 所以该方程的任一非零解在x0y平面上不能与x轴相切. .(3分)
可知 ( ) 0, ( , ) y1 x x − + ，这与 ( ) 1 y x 是非零解矛盾， 所以该方程的任一非零解在 xoy 平面上不能与 x 轴相切． （3 分）