宁德师专《常微分方程》期末考试卷(16) 姓名 班级 座号 成绩 一、选择题：(3×5=15分) 1.n阶齐次线性微分方程的基本解组中所含解的个数恰好是()个. (A)n (B)n-1 (c)n+1 (D)n+2 2.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的()条件. (A)必要 (B)充分 (C)充分必要(D)必要非充分 3.方程此=-少过点（号，）共有（ )个解 dx (A)一 (B)无数 (C)两 (D)三 4.方程业=y-x+x（)奇解. dx (A)有一个(B)有两个 (C)无 (D)有无数个 5。方程少=厂的解的存在惟一性区域是（)。 dr (A)xOy平面(B)除去x轴的全平面(C)y0的上半平面 二、填空题：(3×5=15分) 1.若y=y,(x),y=y,(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则该方程的通解可表示 为 2.方程业+ys血x=e产的任一解的最大存在区间必定是」 dx 3.方程y”+4y=0的基本解组是 4.n阶齐次线性微分方程的所有解构成一个 维线性空间。 5.向量函数组Y(x),Y(x)…,Y(x)在其定义区间I上线性相关的 条件是它们的 朗斯基行列式W(x)=0,x∈I. 三、求下列方程的通解或通积分：(8×5=40分) y=x(1-y) 1.y dx 2. +3y=e dx 3.(x3+xy2)dr+(x2y+y3)dy=0
宁德师专《常微分方程》期末考试卷(16) 姓名____________班级________座号__________成绩 一、选择题：(3×5=15 分) 1． n 阶齐次线性微分方程的基本解组中所含解的个数恰好是（ ）个． （A） n （B） n -1 （C） n +1 （D） n +2 2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条件． （A）必要 （B）充分 （C）充分必要 （D）必要非充分 3. 方程 2 1 d d y x y = − 过点 , 1) 2 ( 共有（ ）个解． （A）一 （B）无数 （C）两 （D）三 4．方程 y x x x y = − + d d （ ）奇解． （A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个 5．方程 y x y = d d 的解的存在惟一性区域是（ ）． （A） xoy 平面 （B）除去 x 轴的全平面 （C） y 0 的下半平面 （D） y 0 的上半平面 二、填空题：(3×5=15 分) 1．若 1 2 y y x y y x = = ( ), ( ) 是一阶线性非齐次方程的两个不同解,则该方程的通解可表示 为 . 2.方程 x y x x y sin e d d + = 的任一解的最大存在区间必定是 ． 3．方程 y + 4y = 0 的基本解组是 ． 4． n 阶齐次线性微分方程的所有解构成一个 维线性空间． 5．向量函数组 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x x x Y Y Yn 在其定义区间 I 上线性相关的 条件是它们的 朗斯基行列式 W (x) = 0 ， xI ． 三、求下列方程的通解或通积分：（8×5=40 分） 1. (1 ) d d 2 x y x y y = − 2. x y x y 2 3 e d d + = 3. ( )d ( )d 0 3 2 2 3 x + xy x + x y + y y =
4.ey+y'-x=0 5.y"-5y'=sin5x. 四、求下列方程组的通解.(10分) dx =x+y dz =4x+y dt 五、证明：(2×10=20分) 1.设y=p,(x)和y=p2(x)是方程y”+q(x)y=0的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列 式W(x)=C,其中C为常数. 2.在方程少=x0)中，设f.00)在区间（←0，+o)上连续，且9（±）=0，求证：对 dx 任意x和|。1，方程满足y(x)=%的解的存在区间必为(-∞，+o)·
4． e + − = 0 y x y 5． y − 5y = sin 5x ． 四、求下列方程组的通解．（10 分） 2．在方程 d ( ) ( ) d y f x y x = 中,设 f x y ( ), ( ) 在区间 (−, + ) 上连续,且 ( 1) 0 = ,求证：对 任意 0 x 和 0 | | 1 y ，方程满足 0 0 y x y ( ) = 的解的存在区间必为 (−, + ) ． = + = + x y t y x y t x 4 d d d d 五、证明：（2×10=20 分） 1．设 ( ) 1 y = x 和 ( ) 2 y = x 是方程 y + q(x) y = 0 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列 式 W (x) C ，其中 C 为常数．
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(16) 评分标准既参考答案 一、选择题：(3×5=15分) 1.A2.B3.B4.C5.D 二、填空题：(3×5=15分) 1.y=c(y(x)-y3(x)+(x) 2.(-0,+∞) 3.sin 2x,cos2x 4.n 5.必要 三、求下列方程的通解或通积分：(8×5=40分) 1.解当y≠1时，分离变量得 1-y:dy=xdx …(3分)》 等式两端积分得 ∫=可d In-y=-x2+C …(6分) 1-y2=Ce-,C=teG 方程的通积分为 y2=1-Ce-x …(8分)》 2.解齐次方程的通解为 y=Ce-3x …(3分) 令非齐次方程的特解为y=C(x)e3x 代入原方程，确定出C(x)=er+C …(6分) 5 原方程的通解为
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(16) 评分标准既参考答案 一、选择题：(3×5=15 分) 1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 二、填空题：(3×5=15 分) 1. 1 2 1 y c y x y x y x = − + ( ( ) ( )) ( ) 2．(−, + ) 3．sin 2x, cos 2x 4．n 5．必要 三、求下列方程的通解或通积分：（8×5=40 分） 1．解 当 y 1 时，分离变量得 y x x y y d d 1 2 = − ……………………(3 分) 等式两端积分得 2 d d 1 y y x x y = − 2 2 1 ln 1− = − + y x C ……………………(6 分) 2 2 1 1 e , e x C y C C − − = = 方程的通积分为 2 1 e 2 x y C − = − …(8 分) 2．解 齐次方程的通解为 x y C 3 e − = …(3 分) 令非齐次方程的特解为 x y C x 3 ( )e − = 代入原方程，确定出 C x C x = + 5 e 5 1 ( ) …(6 分) 原方程的通解为
y-Ce+Le" …(8分) 5 3.解由于 OM=2xy= aN ， 所以原方程是全微分方程. …(3分) Oy Ox 取(xo,y)=(0,0),原方程的通积分为 f(x'+xy2)dx+Pydy=C …(6分） 即 x4+2x2y2+y4=C. …(8分) 4.解令y'=t,则原方程的参数形式为 x=t+e' …(3分） y=t 由基本关系式 dy y'dx =t(1+e')dt …(5分） 积分有 y-P+e-D+C 得原方程参数形式通解 x=1+e y=2+e'u-1+C …(8分) 5.解方程的特征根为21=0，元=5 齐次方程的通解为y=C1+C,e5x …(3分) 因为±iB=±5i不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 y(x)=Asin 5x+Bcos5x …(5分) 代入原方程，比较系数得
x y C 3 e − = + 2 x e 5 1 ……………………(8 分) 3．解 由于 x N xy y M = = 2 ，所以原方程是全微分方程． ……(3 分) 取 ( , ) (0, 0) x0 y0 = ，原方程的通积分为 1 0 3 0 3 2 (x xy )dx y dy C x y + + = …………(6 分) 即 x + x y + y = C 4 2 2 4 2 . …(8 分) 4．解 令 y = t ，则原方程的参数形式为 = = + y t x t t e ……………(3 分) 由基本关系式 y y x t t t d = d = (1+ e )d ……………………(5 分) 积分有 y t t C t = + e ( −1) + 2 1 2 得原方程参数形式通解 = + − + = + y t t C x t t t e ( 1) 2 1 e 2 . ……………………(8 分) 5．解 方程的特征根为 1 = 0，2 = 5 齐次方程的通解为 x y C C 5 1 2 = + e …(3 分) 因为 i = 5i 不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 y (x) Asin 5x Bcos5x 1 = + ……………………(5 分) 代入原方程，比较系数得
-25A+25B=1 -25A-25B=0 确定出A=- 50 B= 50 原方程的通解为」 C+C(co 5) (8分) 四、解特征方程为 -元1)=0 4-=41- 即22-21-3=0 特征根为元1=3，入2=-1 …(3分) 入1=3对应特征向量应满足 &]- 可确定出 &-日 …(5分) 同样可算出乙=一1对应的特征向量为 …(7分)】 所以，原方程组的通解为 Gc …(10分) 五、证明：(2×10=20分) 1.证明如果y=p,(x)和y=p2(x)是二阶线性齐次方程 y"+p(x)y'+q(x)y=0 的解，那么由刘维尔公式有
− − = − + = 25 25 0 25 25 1 A B A B 确定出 50 1 A = − ， 50 1 B = 原方程的通解为 (cos5 sin 5 ) 50 1 e 5 1 2 y C C x x x = + + − (8 分) 四、解 特征方程为 0 4 1 1 1 = − − − = A E 即 2 3 0 2 − − = 特征根为 1 = 3，2 = −1 …(3 分) 1 = 3 对应特征向量应满足 = − − 0 0 4 1 3 1 3 1 1 1 b a 可确定出 = 2 1 1 1 b a ………………(5 分) 同样可算出 2 = −1 对应的特征向量为 − = 2 1 2 2 b a ………………(7 分) 所以，原方程组的通解为 − + = − − t t t t C C y x 2e e 2e e 3 2 3 1 …(10 分) 五、证明：（2×10=20 分） 1.证明 如果 ( ) 1 y = x 和 ( ) 2 y = x 是二阶线性齐次方程 y + p(x) y + q(x) y = 0 的解，那么由刘维尔公式有
W(x)W(x)e …(5分)》 现在，p(x)=0故有 w=me=）=C …(10分) 2.证明由己知条件，该方程在整个xOy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条 件 显然y=±1是方程的两个常数解. …(3 分) 任取初值(xo,yo),其中x。∈(-0，+0)， 当%=1（或%=-1）时，此时对应初值解为y=1(或y=-1)它们都在(-0，+∞) 上有定义…(5分) 当yo<I时，记过该点的解为y=y(x),由上面分析可知，一方面y=y(x)可以向平 面无穷远处无限延展：另一方面又上方不能穿过y=1,下方不能穿过y=-1,否则与惟一 性矛盾.故该解的存在区间必为(-0，+0). (10分)
= − x 0 ( )d 0 ( ) ( )e x p t t W x W x ……………………(5 分) 现在， p(x) 0 故有 W x W x W x C x t = = = − ( ) ( )e ( ) 0 0d 0 x 0 . ……………………(10 分) 2. 证明 由已知条件，该方程在整个 xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条 件． 显然 y = 1 是方程的两个常数解． …(3 分) 任取初值 ( , ) 0 0 x y ，其中 ( , ) x0 − + , 当 0 y =1 （或 0 y = −1 ）时，此时对应初值解为 y = 1 （或 y =−1 ）它们都在 ( , ) − + 上有定义…(5 分) 当 y0 1 时，记过该点的解为 y = y(x) ，由上面分析可知，一方面 y = y(x) 可以向平 面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过 y = 1 ，下方不能穿过 y = −1 ，否则与惟一 性矛盾．故该解的存在区间必为 (−, + ) ． (10 分)