宁德师专《常微分方程》期末考试卷(6) 姓名 班级 座号 成绩 一、填空题：（每小题3分，5×3=15分） 1.一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线. 2.二阶线性齐次微分方程的两个解y(x),y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是. 3.一个不可延展解的存在在区间一定是区间. 4.在方程y”+p(x)y+q(x)y=0中，p(x),q(x)在(-o,+o)上连续，则它的任一非零解在 xoy平面上与x轴相交，在xoy平面上与x轴相切. 5.方程M(x,y)dr+N(x,y)dy=0有积分因子u=u(xy)的充要条件为. 二、选择题：（每小题3分，5×3=15分） 1 1.方程业=x方+y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是(). dx (A)上半平面(B)xOy平面(C)下半平面(D)除y轴外的全平面 2.设p(x),q(x)连续，y(x,2(x)是y+p(x)y+qx)y=0在(-0，+o)上的两个线性无 关解，且y"(0)=0,y2"(0)=0,则 (A)p(0)=0,q(0)=0(B)p(0)=1,q(0)=0 (C)p(0)=0,q(0)=1(D)p0)=1,g(0)=1 3.fy)连续可微是保证方程 业=f0)解存在且唯一的O条件. dx (A)必要(B)充分(C)充分必要(D)必要非充分 4.二阶线性非齐次微分方程的所有解(). (A)构成一个2维线性空间(B)构成一个3维线性空间 (C)不能构成一个线性空间(D)构成一个无限维线性空间 5.方程少=3y过点0,0)有（). dx (A)无数个解 (B)只有一个解(C)只有两个解(D)只有三个解 三、计算题：求下列方程的通解或通积分：（每小题8分，8×5=40分）
宁德师专《常微分方程》期末考试卷(6) 姓名____________班级________座号__________成绩 一、填空题：（每小题 3 分，5×3=15 分） 1．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线． 2．二阶线性齐次微分方程的两个解 ( ), ( ) 1 2 y x y x 为方程的基本解组充分必要条件是． 3．一个不可延展解的存在在区间一定是区间． 4.在方程 y p x y q x y + + = ( ) ( ) 0 中， p x q x ( ), ( ) 在 ( , ) − + 上连续，则它的任一非零解在 xoy 平面上与 x 轴相交，在 xoy 平面上与 x 轴相切. 5.方程 M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0 有积分因子 u u xy = ( ) 的充要条件为. 二、选择题：（每小题 3 分，5×3=15 分） 1．方程 x y x y = + − 3 1 d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）． （A）上半平面（B）xoy 平面（C）下半平面（D）除 y 轴外的全平面 2.设 p x q x ( ), ( ) 连续， ( ), ( ) 1 2 y x y x 是 y p x y q x y + + = ( ) ( ) 0 在 ( , ) − + 上的两个线性无 关解，且 1 2 y y (0) 0, (0) 0 = = ，则 （A） p q (0) 0, (0) 0 = = （B） p q (0) 1, (0) 0 = = （C） p q (0) 0, (0) 1 = = （D） p q (0) 1, (0) 1 = = 3． f ( y) 连续可微是保证方程 ( ) d d f y x y = 解存在且唯一的（）条件． （A）必要（B）充分（C）充分必要（D）必要非充分 4．二阶线性非齐次微分方程的所有解（）． （A）构成一个 2 维线性空间（B）构成一个 3 维线性空间 （C）不能构成一个线性空间（D）构成一个无限维线性空间 5．方程 3 2 3 d d y x y = 过点(0,0)有（ ）． (A)无数个解 (B)只有一个解(C)只有两个解 (D)只有三个解 三、计算题:求下列方程的通解或通积分：（每小题 8 分，8×5=40 分）
1.少=yny2.业=y+y3.2xdr+(x2-y2=0 dx dx 4.y=xy+2y25.y"-5y'=-5x2 四、求下列方程组 dx =x+2y+e' dt 满足初始条件(0)=0的解.(10分) =4x+3y d 五、证明题：（每小题10分，10×2=20分） 1.证明当p>0,q>0时，方程y”+py+9y=0的一切解当x→+0时，都趋于零. 2.设y(x),y2(x)是方程 y"+p(x)y'+g(x)y=0 的解，且满足y,(x)=y2(x)=0,y(x)≠0，这里p(x),q(x)在(-0，+0)上连续， x,∈(-o,+∞).试证明：存在常数C使得y2(x)=Cy(x)
1. y y x y ln d d = 2. 5 d d y xy x y = + 3． 2 d ( )d 0 2 2 xy x + x − y y = 4． 2 y xy y = + 2( ) 5. 2 y − 5y = −5x 四、求下列方程组 d 2 d d 4 3 d x t x y e t y x y t = + + = + 满足初始条件 (0) 0 = 的解.（10 分） 五、证明题：（每小题 10 分，10×2=20 分） 1．证明当 p q 0, 0 时，方程 y py qy + + = 0 的一切解当 x → + 时，都趋于零. 2.设 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 是方程 y + p(x) y + q(x) y = 0 的解，且满足 ( ) 1 0 y x = ( ) 2 0 y x =0， y1 (x) 0 ，这里 p(x), q(x) 在 (−, + ) 上连续， ( , ) x0 − + ．试证明：存在常数 C 使得 ( ) 2 y x =C ( ) 1 y x ．
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(6) 评分标准既参考答案 一、填空题：（每小题3分，5×3=15分） 1、22、线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） 1 3、开区间4、会与x轴相交，不会与x轴相切.5、 OM_ON)=0(xy) Ny-Mx dy Ox 二、选择题：（每小题3分，5×3=15分） 1、D2、A3、B4、C5、A 三、求下列一阶微分方程的通解：（每小题8分，8×5=40分） 1、解当y≠1时，分离变量取不定积分，得 ∫盘，-j+c分 通积分为In|Iny=x+c 即ny=Cer(C为任意常数)…(4分) 2、解方程两端同乘以y5,得 y业=y+x dx 令y=,则-4y5业= dxdx ,代入上式，得 dz =-4z-4x…(3分) dx 通解为 1 z=Ce-4x-x+ …(3分) 4 原方程通解为 .1 y4=Ce-4x-x+…(2分) 3、解因为 0M=2x= N ，所以原方程是全微分方程.…(3分) Ox 取(xo,yo)=(0,0),原方程的通积分为 02xdr-ydy=C…(3分)
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(6) 评分标准既参考答案 一、填空题：（每小题 3 分，5×3=15 分） 1、22、线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） 3、开区间 4、会与 x 轴相交，不会与 x 轴相切.5、 1 ( ) ( ) M N xy Ny Mx y x − = − 二、选择题：（每小题 3 分，5×3=15 分） 1、D2、A3、B4、C5、A 三、求下列一阶微分方程的通解：（每小题 8 分，8×5=40 分） 1、解当 y 1 时，分离变量取不定积分，得 x C y y y = + d ln d …（4 分） 通积分为 ln | ln | y x c = + 即 x ln y = Ce （ C 为任意常数）…（4 分） 2、解方程两端同乘以 −5 y ，得 y x x y y = + −5 −4 d d 令 y = z −4 ，则 x z x y y d d d d 4 5 − = − ，代入上式，得 d 4 4 d z z x x = − − ……（3 分） 通解为 4 1 e 4 = − + − z C x x ……（3 分） 原方程通解为 4 1 e 4 4 = − + − − y C x x ……（2 分） 3、解因为 x N x y M = = 2 ，所以原方程是全微分方程．………（3 分） 取 ( , ) (0, 0) x0 y0 = ，原方程的通积分为 xy x y y C x y − = 0 2 0 2 d d …………………（3 分）
即y-写=C2分) 4、解令y=p,则方程变为y=p+2p2…(2分) 两边关于x求导，得 +4p仲=0，于是p三-4或张=0…3分 dx 由p=-可得y=- 4 4 由迎=0得p=c,从而y=cx+2c2…(3分) dx 5、解对应齐次方程的特征方程为2-5入=0， 特征根为元1=0，元2=5，…(2分) 齐次方程的通解为y=C,+C,ex…(2分) 因为入=0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 y(x)=x(Ax2+Bx+C) 代入原方程，比较系数确定出 …(2分) 25 原方程的通解为 2 y=C+C2e“+X++ 1 3 +25x…(2分) 四、求解下列微分方程组 解方程组的特征方程为 4-E= 1-元 2 =22-4-5=0 4 3- 特征根为2=-1，入=5，…(2分) 入=-1对应的特征向量应满足 22a 0 44b 可解得4=1，b=-1 0 类似元=5对应的特征向量分量为42=1，b=2…(3分) 原方程组的的基解矩阵为
即 x y − y = C 2 3 3 1 …（2 分） 4、解令 y p = ，则方程变为 2 y xp p = + 2 …………………（2 分） 两边关于 x 求导，得 ( 4 ) 0 dp x p dx + = ，于是 4 x p = − 或 0 dp dx = …………（3 分） 由 4 x p = − 可得 2 4 x y = − 由 0 dp dx = 得 p c = ，从而 2 y cx c = + 2 …（3 分） 5、解对应齐次方程的特征方程为 5 0 2 − = ， 特征根为 1 = 0，2 = 5，……（2 分） 齐次方程的通解为 x y C C 5 1 2 = + e …（2 分） 因为 = 0 是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 ( ) ( ) 2 y1 x = x Ax + Bx +C 代入原方程，比较系数确定出 3 1 A = ， 5 1 B = ， 25 2 C = ……（2 分） 原方程的通解为 y C C x x x x 25 2 5 1 3 1 e 5 3 2 = 1 + 2 + + + …………………（2 分） 四、求解下列微分方程组 解方程组的特征方程为 2 1 2 4 5 0 4 3 A E − − = = − − = − 特征根为 1 2 = − = 1, 5，…（2 分） =−1 对应的特征向量应满足 1 1 2 2 0 4 4 0 a b = 可解得 1 1 a b = = − 1, 1 类似 = 5 对应的特征向量分量为 2 2 a b = = 1, 2 ……（3 分） 原方程组的的基解矩阵为
…(2分) ()=()Φ-'(s)f(s)ds -]68m 1「e-e'+e 3-e+e-e"」 五、证明题：（每小题10分，10×2=20分） 1、证明：特征方程为22+p入+g=0…(2分) 2=p±D-4g …(2分) 2 当p>0,9>0,而且p2-4g≥0时，此时方程的特征值均为负实数， 当p>0,9>0,而且p2-4q0,9>0,方程 y”+y'+qy=0的一切解当x→+o时，都趋于零.(2分) 2、证明：方程y”+p(x)y+q(x)y=0的两个解y,(x),y2(x)构成的伏朗斯基行列 式为 y(x)2(x) w((x),2(x)= (2分) (x)为'(x) 而伏朗斯基行列式w(x)在x,的值为 (xo)2(x) w(xo)= 0 …(2分) y(x)y2'(x) 由此方程的两个解片，(x)与y2(x)在(-0，+∞)上线性相关，…(2分) 即存在不全为零的数G,C,使得 C(x)+C22(x)=0…(2分) 如果C2=0,由，(x)≠0可知G=0,从而y,(x)与y2(x)线性无关，出现矛盾，所以
5 5 e e ( ) e 2e t t t t t − − = − 1 5 5 1 2e -e ( ) 3 e e t t t t t − − − = ………………（2 分） 1 0 5 5 5 5 0 3 1 5 4 4 3 1 5 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 e e 2 = 3 e 2e 0 1 = 3 t t t s s s t t t s s t t t t t t t t s f s ds e e e ds e e e e e e e e − − − − − − − = − − − + − + − ……（3 分） 五、证明题：（每小题 10 分，10×2=20 分） 1、证明：特征方程为 2 + + = p q 0 …（2 分） 2 1,2 4 2 p p q − − = ……………（2 分） 当 p q 0, 0, 而且 2 p q − 4 0 时，此时方程的特征值均为负实数， 当 p q 0, 0, 而且 2 p q − 4 0 时，此时方程的特征值均具有负实部.……（4 分） 而方程的通解表示为 1 2 1 2 x x y c e c e = + （或 1 2 ( ) x y c c x e = + ）故当 p q 0, 0, 方程 y py qy + + = 0 的一切解当 x → + 时，都趋于零.（2 分） 2、证明：方程 y + p(x) y + q(x) y = 0 的两个解 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 构成的伏朗斯基行列 式为 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ) y x y x w y x y x y x y x = （2 分） 而伏朗斯基行列式 w x( ) 在 0 x 的值为 1 0 2 0 0 1 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y x y x w x y x y x = =0……………（2 分） 由此方程的两个解 ( ) 1 y x 与 ( ) 2 y x 在 (−, + ) 上线性相关，…（2 分） 即存在不全为零的数 1 2 c c, 使得 1 1 2 2 c y x c y x ( ) ( ) 0 + = …（2 分） 如果 2 c = 0 ，由 1 y x( ) 0 可知 1 c = 0 ，从而 ( ) 1 y x 与 ( ) 2 y x 线性无关，出现矛盾，所以
G2≠0，于是2(x)=9(x)=C%(x)(2分)
2 c 0 ，于是 1 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) c y x y x cy x c = = （2 分）