宁德师专《常微分方程》期末考试卷(18) 姓名 班级 座号 成绩 一.填空题：（每小题3分，8×3=24分） 1.方程y=x tan y的所有常数解是. 2.方程M(x,y)d+N(x,y)=0有仅有积分因子u=u(x)的充要条件是. 3.方程y=√-y满足解的存在唯一性定理条件的区域是. 4.∫)连续可微是保证方程少=∫)解存在且唯一的条件。 dx 5.方程y'=V1-y2过点(0,0)的解y=snx,这个解的存在区间是 6.n阶齐次线性微分方程线性无关解的个数最多为. 7.函数组e,e的伏朗斯基行列式为 8.函数组y(x),y(x),…,y(x)在区间I上线性相关的 条件是在区间I上它们的 朗斯基行列式W(x)=0. 二.求下列微分方程的通解：（每小题8分，8×5=40分） . =1+y2 dx xy+x'y 2.2x(ye*-1)dx+e*dy=0 3.x"+x'+x=e 4.xx"+(x)2=0 5.x2y"++3xy'+y=0 三.设连续函数f(x)满足：f)d=x+(Gx-)fd,求函数f(x)。(10分) 四.求解下列微分方程组 dx d =2x+y 满足初始条件(0)= 的解。(10分) dy =-x+4y+e3 0 d
宁德师专《常微分方程》期末考试卷(18) 姓名____________班级________座号__________成绩 一.填空题：（每小题 3 分，8×3=24 分） 1.方程 y x y = tan 的所有常数解是. 2.方程 M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) 0 + = 有仅有积分因子 u u x = ( ) 的充要条件是. 3.方程 2 y y = −1 满足解的存在唯一性定理条件的区域是. 4. f ( y) 连续可微是保证方程 ( ) d d f y x y = 解存在且唯一的条件. 5.方程 2 y = 1− y 过点 (0, 0) 的解 y = sin x ，这个解的存在区间是______________. 6. n 阶齐次线性微分方程线性无关解的个数最多为. 7.函数组 , t t e e − 的伏朗斯基行列式为_______________. 8.函数组 1 2 ( ), ( ), , ( ) n y x y x y x 在区间 I 上线性相关的____________条件是在区间 I 上它们的 朗斯基行列式 W x( ) 0 = . 二.求下列微分方程的通解：（每小题 8 分，8×5=40 分） 1． dx dy = xy x y y 3 2 1 + + 2. 2 ( 1) 0 2 2 x ye − dx + e dy = x x 3. t x x x e + + = 4． 2 xx x + = ( ) 0 5. 2 x y xy y + + + = 3 0 三.设连续函数 f (x) 满足： 0 0 ( ) ( ) ( ) x x f t dt x x t f t dt = + − ，求函数 f (x) 。（10 分） 四.求解下列微分方程组 = − + + = + t x y e dt dy x y dt dx 3 4 2 满足初始条件 = 0 1 (0) 的解。（10 分）
五.证明题：（每小题8分，8×2=16分） 1.设y=P,(x)和y=2(x)是方程y”"+g(x)y=0的任意两个解，求证它们的伏朗斯基行列式 w(x)三c,其中c为常数。 2.如果x=p(t)是x=Ax满足p(t)=n的解，那么p)=[epA(t-lom
五.证明题：（每小题 8 分，8×2=16 分） 1.设 ( ) 1 y = x 和 ( ) 2 y = x 是方程 y + q(x) y = 0 的任意两个解，求证它们的伏朗斯基行列式 w(x) c ，其中 c 为常数。 2.如果 x t = ( ) 是 x = Ax ' 满足 (t 0 ) = 的解，那么 (t) = exp A(t − t0 )
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(18) 评分标准既参考答案 一、填空题：（每小题3分，8×3=24分） 1y=kπ，ke)2.1M_a )=(x)3.-1<y<1的带形区域 N dy dx 4充分条件5上受引5，n 7.-28.必要条件 二.求下列微分方程的通解：（每小题8分，8×5=40分） 1、解：方程变形为 1 d水…(2分) x(1+x2) 即= 1 x 2)dk…(3分) x 1+x 两边积分ln(1+y2)=lnx2-ln(1+x2)+c 故方程的通解为(1+y2)1+x2)=cx2…(3分) 2、解：由于M=2x(e-1),N=-2x aM-2e,0N=2e2(3分） ov 方程为恰当方程，分项组合可得2edk+ey-2xd=0…(2分) 故原方程的通解为ye-x2=c…(3分) 3、解：齐次方程的特征方程为2+2+1=0，。=-1生5 2 齐次方程的通解为x=e'(Gcos1+C2sin9)…(3分) 由于入=1不是特征方程的根，故设特解为x=Ae 代入原方程比较系数得A=二…(3分) 3 故原方程的通解为x=e*(Gcos91+G,sin91)+c…(2分) 2
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(18) 评分标准既参考答案 一、填空题：（每小题 3 分，8×3=24 分） 1. y k k z = ,( ) 2. 1 ( ) ( ) M N x N y x − = 3. − 1 1 y 的带形区域 4.充分条件 5. [ , ] 2 2 − 6. n 7.-28.必要条件 二.求下列微分方程的通解：（每小题 8 分，8×5=40 分） 1、解：方程变形为 2 2 1 1 (1 ) y dy dx y x x = + + ………………（2 分） 即 2 2 1 ( ) 1 1 y x dy dx y x x = − + + ………（3 分） 两边积分 2 2 2 1 ln(1 ) ln ln(1 ) + = − + + y x x c 故方程的通解为 2 2 2 (1 )(1 ) + + = y x cx ………（3 分） 2、解：由于 2 2 ( 1), 2 x M x ye N x = − = − 2 2 2 , 2 M N x x xe xe y y = = ………………（3 分） 方程为恰当方程，分项组合可得 2 2 2 2 0 x x xye dx e dy xdx + − = ……（2 分） 故原方程的通解为 2 x 2 ye x c − = …（3 分） 3、解：齐次方程的特征方程为 2 1,2 1 3 1 0, 2 i − + + = = 齐次方程的通解为 1 2 3 3 1 2 2 2 ( cos sin ) t x e c t c t − = + …（3 分） 由于 =1 不是特征方程的根，故设特解为 t x Ae = 代入原方程比较系数得 1 3 A = …（3 分） 故原方程的通解为 1 2 3 3 1 2 2 2 1 ( cos sin ) 3 t t x e c t c t e − = + + …（2 分）
4、解：原方程可变形为 (xx')y=0…(3分) 于是有Xx'=c,即xd=cd…(2分) 故原方程的通解为=c1+G（3分) 5、解：令方程的解为x=t,代入原方程有(2分) k(k-1)+3k+1=0…(3分) 于是k=-1(二重) 故原方程的通解为x=ct+c2tlnt…(3分) 三、解：方程变形为心f0)d=x+xf0h-心f0边 两边关于x求一阶导数，有 fx)=1+0f0)dh…(3分) 两边关于x再求一阶导数，得 f'(x)=f(x)而且f(0)=1(3分) 而方程f'(x)=f(x)的解表示为f(x)=ce(2分) 由f(0)=1,可得f(x)=e(2分) 其特征多项式 -2-6+9=0,4=3 白公式基解矩阵exp At=e∑(A-E得…(2分 exp At=e [E+t(A-3E)] 6 …(3分)
4、解：原方程可变形为 ( ) 0 xx = ……………………（3 分） 于是有 xx c = ，即 xdx cdt = …（2 分） 故原方程的通解为 2 1 1 2 x ct c = + （3 分） 5、解：令方程的解为 k x t = ，代入原方程有（2 分） k k k ( 1) 3 1 0 − + + = ……………………（3 分） 于是 k =−1 （二重） 故原方程的通解为 1 1 1 2 x c t c t t ln | | − − = + …（3 分） 三、解：方程变形为 0 0 0 ( ) ( ) ( ) x x x f t dt x x f t dt tf t dt = + − 两边关于 x 求一阶导数，有 0 ( ) 1 ( ) x f x f t dt = + …………………（3 分） 两边关于 x 再求一阶导数，得 f x f x ( ) ( ) = 而且 f (0) 1 = （3 分） 而方程 f x f x ( ) ( ) = 的解表示为 ( ) x f x ce = （2 分） 由 f (0) 1 = ，可得 ( ) x f x e = （2 分） 四、解： 2 1 1 4 A = − ，其特征多项式 2 2 1 1 4 I A 6 9 0 − − − − = = − + = ， 1 2 , 3 = …（2 分） 由公式基解矩阵 1 0 exp ( ) ! i t i i t At e A E i = = − 得…（2 分） 3 3 3 exp ( 3 ) 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 t t t At e E t A E e t t t e t t = + − − = + − − = − + ………（3 分）
于是满足初始向量的解为 )-(expArexpL(-s)(s)ds e]儿9] …(3分) =e3 五、证明题： 1.证明：因为y=4(x),y=中2(x)方程y”+q(x)y=0的任意两个解 所以 4”(x)+q(x)4(x)=0,42”(x)+q(x)4,(x)=0,…(2分) 于是4(x),4,(x)构成的伏朗斯基行列式 4(x)4(x) W(x)= '(x)4,'(x 4(x)4(x) 4(x)4(x) 而W'(x)= =-q(x) =0…(3分) 4"(x)4"(x '(x)4'(x 故W(x)=c(3分) 2.证明：由定理8可知p)=(0冲'(，川+()Φ'(s)fs)s(3分) 又因为Φ(t)=exp At,.D-'()=(exp Ato)-1=exp(-A),f(s）)=0 所以p(t)=epAt·eXp(-Ato)n(2分) 又因为矩阵(A)(-A)=(-A)(A)所以p()=[expA(t-1)7(3分)
于是满足初始向量的解为 0 3 0 3 3( ) 3 3 0 2 3 2 1 1 ( ) ( 1 1 = 1 exp ) exp[ ( )] ( ) 0 1 1 2 = 1 2 t t t t t s s t t t t s t s t s t s t t e ds t t e e t t e At A t s f s ds e e t s ds t s t t − − + − − + + − = + − = − − − − + − + − + + − ……（3 分） 五、证明题： 1.证明：因为 1 2 y x y x = = ( ), ( ) 方程 y + q(x) y = 0 的任意两个解 所以 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0, ( ) ( ) ( ) 0 x q x x x q x x + = + = ，……（2 分） 于是 1 2 ( ), ( ) x x 构成的伏朗斯基行列式 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x W x x x = 而 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 x x x x W x x x x x q x = = − = …（3 分） 故 W x( ) = c （3 分） 2.证明：由定理 8 可知 t t t t s f s ds t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 − − = + （3 分） 又因为 = ( ) exp , t At 1 1 0 0 0 ( ) (exp ) exp( ) t At At − − = = − ， f (s) = 0 所以 (t) = exp At exp(−At0 ) （2 分） 又因为矩阵 ( ) ( ) ( ) ( ) At −At0 = −At0 At 所以 (t) = exp A(t − t 0 ) （3 分）