宁德师专《常微分方程》期末考试卷(21) 姓名 班级 座号 成绩 一、填空题（每小题4分，计20分） 1,方程少=xtany的所有常数解是 dx 2.任何一个饱和解y=p(x)的最大存在区间必定是一个 3.函数f(x,y)称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果」 4.若D(x)是X'=A(x)X的基解阵，则向量函数p(t) 是X'=A(t)X+f(t)的满足初始条件p(t)=0的解，向量函数p(t)= 是X'=A(t)X+f(t)满足初始条件p(t)=n的解。 5.若x(t),x(t),,x,(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是 二、单项选择题（每小题4分，计20分） 1.方程少=2反，(0≤y<+o),过点(0,0)有() d A.一个解 B.两个解 C.无数个解 D.三个解 2.方程M(x,y)d+N(x,y)d=0存在只与y有关的积分因子的充要条件是() 是y的一元函数 OM ON aN OM aM aN OM ON A.Oy &x B. dx dy C. Ox Cy D. Ox Cy N M N -M 3.设方程为y"-3y'=ex,则方程有特解() 1 A. B.esx C. D. 2 4.方程y=V-y2过点(0,0)的解y=sinx,这个解的存在区间是() A.(0,+o∞)B.(←∞，0) c D.(-∞，+∞） 5.形如少=Pxy+8(xyn≠0,1)的方程是（)
宁德师专《常微分方程》期末考试卷(21) 姓名____________班级________座号__________成绩 一、填空题（每小题 4 分，计 20 分） 1．方程 tan dy x y dx = 的所有常数解是 。 2．任何一个饱和解 y x = ( ) 的最大存在区间必定是一个 。 3．函数 f x y ( , ) 称为在矩形域 R 上关于 y 满足利普希兹条件，如果 。 4．若 ( ) x 是 X A x X ' ( ) = 的基解阵，则向量函数 ()t 是 X A t X f t ' ( ) ( ) = + 的满足初始条件 0 ( ) 0 t = 的解，向量函数 ()t = 是 X A t X f t ' ( ) ( ) = + 满足初始条件 0 ( ) t = 的解。 5．若 1 2 ( ), ( ), , ( ) n x t x t x t 为 n 阶齐线性方程的 n 个解，则它们线性无关的充要条件是 。 二、单项选择题（每小题 4 分，计 20 分） 1．方程 2 ,(0 ) dy y y dx = + ，过点（0，0）有（ ） A．一个解 B．两个解 C．无数个解 D．三个解 2．方程 M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) 0 + = 存在只与 y 有关的积分因子的充要条件是（ ） 是 y 的一元函数. A． M N y x N − B． N M x y M − C． M N x y N − D． M N x y M − − 3．设方程为 5 '' 3 ' x y y e − = ，则方程有特解（ ） A． 1 5 10 x e B． 5 x e C． 1 5 2 x e D． 1 5 2 x xe 4．方程 2 y y = −1 过点（0，0）的解 y x = sin ，这个解的存在区间是（ ） A．（0，+∞） B.(-∞,0) C. [ , ] 2 2 − D.(-∞,+∞) 5．形如 ( ) ( ) dy n P x y x y dx = + ( 0,1) n 的方程是（ ）
A.欧拉方程 B.贝塞尔方程 C.黎卡尔方程 D.伯努力方程 三、计算题(1,2题各6分，3,4,5,6,7各8分，共52分) 1.求方程 =y+sinx的通解， dx 2.求y-y=Vx2-少2(x>0)的通解 3.求方程x+4女+4r=c0s21的通解. d2 dt 4.求方程(x+1) 少-w=e(x+1的通解(m为常数) d x1=5x1+4x2 5.求解方程组 x2=4x1+5x2 6.用Lap lace变换法求方程x'=x+e2满足初值条件x(O)=0的解。附：部分Lap lace 变换表 原 函数 象 s+2 函数 7.用逐次逼近法求方 程少=y-适合初值条件 dx y(0)=1的近似解p(x),p(x),p2(x) 四、证明题(8分) 设x(),x,(t)分别是非齐线性方程 x+a(t)x(+..+a(t)x=f(t) (1) x)+a(t)x(+...+a(t)x=f(t) (2) 的解，则x(t)+x()是方程 x(m)+a (1)x(-1)+...+a(t)x=f(t)+f(t) (3) 的解
A．欧拉方程 B．贝塞尔方程 C．黎卡尔方程 D．伯努力方程 三、计算题(1,2 题各 6 分，3，4，5，6，7 各 8 分，共 52 分) 1．求方程 sin dy y x dx = + 的通解. 2．求 2 2 xy y x y ' − = − ( 0) x 的通解. 3．求方程 2 2 4 4 cos 2 d x dx x t dt dt + + = 的通解. 4．求方程 1 ( 1) ( 1) dy x n x ny e x dx + + − = + 的通解（n 为常数） 5．求解方程组 1 1 2 2 1 2 5 4 4 5 x x x x x x = + = + 6．用 Lap lace 变换法求方程 2 ' t x x e = + 满足初值条件 x(0) 0 = 的解。附：部分 Lap lace 变换表 程 dy 2 2 y x dx 7．用逐次逼近法求方 = − 适合初值条件 y(0) 1 = 的近似解 1 2 ( ), ( ), ( ) o x x x 四、证明题（8 分） 设 1 2 x t x t ( ), ( ) 分别是非齐线性方程 ( ) ( 1) 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n x a t x a t x f t − + + + = （1） ( ) ( 1) 1 2 ( ) ( ) ( ) n n n x a t x a t x f t − + + + = （2） 的解，则 1 2 x t x t ( ) ( ) + 是方程 ( ) ( 1) 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n x a t x a t x f t f t − + + + = + （3） 的解。 原 函数 t e 2t e 象 函数 1 s −1 1 s − 2
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(21) 评分标准既参考答案 一 填空题（每小题4分，计20分） 1.y=k元，k=0,±1，+2·2.开区间(aB) 3.存在常数L,使f(x,乃)-f(x,乃2≤L以-2，对于所有(x,片(x乃2)∈R都成 立。 4.:Φ(t)Φ'(s)f(s)ds:p()Φ'()n+()Φ'(s)fs)d 5.伏朗斯斯行列式w(t)≠0 二、单选题（每小题4分，共计20分） 1.C2.B3.A 4.C5.D 三、计算题(1,2各6分，3,4,5,6,7各8分，计52分) 1.解：px)=L0(x)=sinx由常数变易法y=eIfsinxe产k+G(3分) =e可sin xe*k+d=-2(cosx+sinx)+ce… (3分) 2.解：将方程改写为 -=士-作变换，令=士，代入上式，得 dx x u+x =u+- …(2分) dx 将变量分离，得 du dx V1-2 两边积分，得arcsinu:=nx+C…（3分) 代入原方程，得arcsin上=ln+c …(1分) X 3.解：特征方程22+4入+4=0 有重根入=入=-2 故对应的齐线性方程的通解为x=(G+c2l)e2 …(3分) 又+2i不是特征根，故设非齐线性方程的特解为元=Acos2t+Bsin2t 代入方程化简，得 8Bcos2t-8Asin 2t=cos2t
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(21) 评分标准既参考答案 一、 填空题（每小题 4 分，计 20 分） 1． y k k = = , 0, 1, 2 2．开区间 ( , ) 3．存在常数 L，使 1 2 1 2 f x y f x y L y y ( , ) ( , ) − − ，对于所有 1 2 ( , )( , ) x y x y R 都成 立。 4．； 1 ( ) ( ) ( ) o t t t s f s ds − ； 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o t t t t t s f s ds − − + 5．伏朗斯斯行列式 w t( ) 0 二、单选题（每小题４分，共计 20 分） 1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 三、计算题（１，２各６分，３，４，５，６，７各８分，计５２分） １．解： p x Q x x ( ) 1, ( ) sin , = = 由常数变易法 [ sin ] dx dx y e xe dx c − = + …（3 分） [ sin ] x x e xe dx c − = + 1 (cos sin ) 2 x = − + + x x ce …… （3 分） ２．解：将方程改写为 2 1 ( ) dy y y dx x x = + − 作变换，令 y u x = ，代入上式，得 2 1 du u x u u dx + = + − …………………………………………………（２分） 将变量分离，得 2 1 du dx u x = − 两边积分，得 arc u x c sin ln = + ………………………………………（３分） 代入原方程，得 sin ln y arc x c x = + …………………………………（１分） ３．解：特征方程 2 + + = 4 4 0 有重根 1 2 = = −2 故对应的齐线性方程的通解为 2 1 2 ( ) t x c c t e− = + ……………………（３分） 又 2i 不是特征根，故设非齐线性方程的特解为 x A t B t = + cos2 sin2 代入方程化简，得 8 cos2 8 sin2 cos2 B t A t t − =
比较同类项系数，得A=0,B= 8 1 从而，x=二sin2t …(4分) P 因此，原方程的通解为x=(c+c,)e-2r+。sin2t …(1分) 4.解：将方程改写成少。n Gr+iy+e(x+1)” 对应的齐线性方程的通解为y=C(x+1)”(C为任意常数)…(3分) 由常数变量法，设非齐线性方程的解为y=C(x)(x+1)”代入方程，得C(x)=e+C(4 分) 因此，原非齐线性方程的通解为y=(x+I)”(e+c) C为任意的常数 …（1分) 5.解：方程组的系数矩阵A=(任)的特征方程 4-1E到==(5-2-16=0的特征值为元=1,2=9…(3分) A的相应于=1的特征向量4=(8)应满足 (A-E)(8）=(任)(8)=0解得a=a,b=-a,从而 4=a(),取a=1,得y=(（) A的相应于入2=9的特征向量42=（)应满足 (A-9E)(a)=(4))=0 解得42=B(),取B=1得2=( …(3分) 因此，得原方程的通解为 ()=ce()+ce"(… (2分) 6.解：由Laplace变换及初始条件x(O)=0,原方程变为 6-1)X6)=1 ……(3分) -2 1 1 即X(s)= …(2分) s-2s-1 查Laplace变换表得，原方程满足初值条件x(O)=0的解为
比较同类项系数，得 1 0, 8 A B = = ， 从而， 1 sin 2 8 x t = ………………………………………………………（4 分） 因此，原方程的通解为 2 1 2 1 ( ) sin 2 8 t x c c t e t − = + + ……………………（1 分） 4． 解：将方程改写成 ( 1) 1 dy n x n y e x dx x = + + + 对应的齐线性方程的通解为 ( 1)n y C x = + （ C 为任意常数）…………………（3 分） 由常数变量法，设非齐线性方程的解为 ( )( 1)n y C x x = + 代入方程，得 1 ( ) x C x e c = + （4 分） 因此，原非齐线性方程的通解为 1 ( 1) ( ) n x y x e c = + + C1 为任意的常数 ………………………………………………………………（1 分） 5．解：方程组的系数矩阵 ( ) 5 4 A = 4 5 的特征方程 5 4 2 4 5 A E (5 ) 16 0 − − = = − − = − 的特征值为 1 2 = = 1, 9 …………（3 分） A 的相应于 1 =1 的特征向量 1 ( ) a b u = 应满足 ( ) ( )( ) 4 4 4 4 ( ) 0 a a A E− = = b b 解得 a b = = − , , 从而 ( ) 1 1 1 u = − ，取 =1 ，得 ( ) 1 1 1 v = − A 的相应于 2 = 9 的特征向量 2 ( ) c d u = 应满足 ( ) ( )( ) 4 4 4 4 ( 9 ) 0 c c A E d d − − = = − 解得 ( ) 1 2 1 u = ，取 =1 得 ( ) 1 2 1 v = ………………………………………（3 分） 因此，得原方程的通解为 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 9 1 1 1 2 1 x t t x c e c e = + − …………………………………………………… （2 分） 6．解：由 Laplace 变换及初始条件 x(0) 0 = ，原方程变为 1 ( 1) ( ) 2 s X s s − = − …………………………………………………………………（3 分） 即 1 1 ( ) 2 1 X s s s = − − − …………………………………………………………（2 分） 查 Laplace 变换表得，原方程满足初值条件 x(0) 0 = 的解为
x=e2-e... …(3分) 7.解：p(x)=y(o)=1… (2分) 0()=1+∫0-s2)ds=1+x-x …(3分) a国=10*-写-达=1++f-x-后+言8分 四、(8分) 证：因x(),x2()分别是方程(1)，(2)的解，故应满足方程。…(3分) 又，[x()+x2(0]0=x(t0]+[x2(0]°i=1,2n所以 [x)+x)+a,)[x)+x()]m-+an-()[x)+x()+a,[x)+x3] x(1+a(t)x(()+..+a()x()+x()+a()x()+.a()x(t)=f()+(t) 故x(t)+x,(t)是方程(3)的解
2t t x e e = − ……………………………………………………………………（3 分） 7．解： 0 ( ) ( ) 1 x y o = = ……………………………………………………………（2 分） 2 3 1 0 1 ( ) 1 (1 ) 1 3 x x s ds x x = + − = + − ……………………………………（3 分） 3 2 2 4 5 7 2 0 1 1 2 1 ( ) 1 [(1 ) ] 1 3 6 15 63 x x s s s ds x x x x x = + + − − = + + − − + …（3 分） 四、（8 分） 证：因 1 2 x t x t ( ), ( ) 分别是方程（1），（2）的解，故应满足方程。…………（3 分） 又， ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 [ ( ) ( )] =[ ( )] +[ ( )] i=1,2,...n i i i x t x t x t x t + 所以 ( ) ( 1) 1 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n x t x t a t x t x t − + + + a t x t x t a t x t x t n n −1 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + = ( ) ( 1) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n x t a t x t a t x t x t a t x t a t x t f t f t − + + + + + + = + 故 1 2 x t x t ( ) ( ) + 是方程（3）的解