宁德师专《常微分方程》期末考试卷（⑤） 姓名 班级 座号 成绩 一、填空题：（每小题3分，5×3=15分） 1.方程x(y2-1)dx+y(x2-1)dy=0所有常数解是. 2.方程y”+4y=0的基本解组是. 3.方程少=厂+1满足解的存在唯一性定理条件的区域是. dx 4.函数组p,(x),p2(x),…,pn(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I 上恒不等于零， 5.若y=P,(x),y=p2(x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们（有或无）共同零点. 二、选择题：（每小题3分，5×3=15分） 1.设y(x)=cy(x)+cy(x)+y(x)是方程y”+y'+y=1的通解，则limy(x)= (A)0(B)1(C)∞(D)-1 2.方程少=2y过点(0,0共有()个解. dx 2 (A)无数(B)一(C)两(D)三 3.阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是()个. (A)n+2(B)n-1(C)n+1(D)n 4.一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差(). (A)不是其对应齐次微分方程组的解(B)是非齐次微分方程组的解 (C)是其对应齐次微分方程组的解(D)是非齐次微分方程组的通解 5.如果x,,⊙矿任》都在0y平面上连续，而且fx,)有界，则方程业=K,)的 y dx 任一解的存在区间(). (A)必为(-0，+o)(B)必为(0，+∞) (C)必为(-o,O)(D)将因解而定 三、计算题：求下列方程的通解或通积分：（每小题8分，8×4=32分）
宁德师专《常微分方程》期末考试卷(5) 姓名____________班级________座号__________成绩 一、填空题：（每小题 3 分，5×3=15 分） 1．方程 ( 1)d ( 1)d 0 2 2 x y − x + y x − y = 所有常数解是． 2．方程 y + 4y = 0 的基本解组是． 3．方程 1 d d = y + x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是． 4．函数组 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x x x n 在区间 I 上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间 I 上恒不等于零． 5．若 ( ), ( ) 1 2 y = x y = x 是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们（有或无）共同零点． 二、选择题：（每小题 3 分，5×3=15 分） 1.设 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) p y x c y x cy x y x = + + 是方程 y y y + + =1 的通解，则 lim ( ) x y x →+ = （A）0（B）1（C） （D）-1 2．方程 1 3 3 2 d d y y x = 过点 (0, 0) 共有（）个解． （A）无数（B）一（C）两（D）三 3． n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个． （A） n +2（B） n -1（C） n +1（D） n 4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（）． （A）不是其对应齐次微分方程组的解（B）是非齐次微分方程组的解 （C）是其对应齐次微分方程组的解（D）是非齐次微分方程组的通解 5．如果 f (x, y)， y f x y ( , ) 都在 xoy 平面上连续，而且 f (x, y) 有界，则方程 ( , ) d d f x y x y = 的 任一解的存在区间（）． （A）必为 (−, + ) （B）必为 (0, + ) （C）必为 (−, 0) （D）将因解而定 三、计算题:求下列方程的通解或通积分：（每小题 8 分，8×4=32 分）
1.dy=_2x-2.(xe'-y)dx+xdy=0 dx y+xy 3.x"-x=c0st4.y"+y2+2x=0 四、设函数)连续，而且满足(x)=e+)dh-x()d,求().(10分) 五、求解下列微分方程组 [d达=-x-2y dt 1 满足初始条件(0) 的解.(10分) =3x+4y (0 dt 六、证明题：（每小题9分，9×2=18分） 1、在方程y”+p(x)y'+q(x)y=0中，已知p(x),q(x)在(-o,+∞)上连续.求证：该方程 的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切. 2、设y=p(x)和y=P2(x)是方程y”+q(x)y=0的任意两个解，求证它们的伏朗斯基行列 式w(x)=c,其中c为常数
1. 2 d 2 d y x x y x y = + 2. 2 ( e )d d 0 x x y x x y − + = 3. x x t − = cos 4． 2 0 2 yy + y + x = 四、设函数 ( ) x 连续，而且满足 0 0 ( ) ( ) ( ) x x x x e t t dt x t dt = + − ，求 ( ) x .（10 分） 五、求解下列微分方程组 2 3 4 dx x y dt dy x y dt = − − = + 满足初始条件 1 (0) 0 = 的解.（10 分） 2、设 ( ) 1 y = x 和 ( ) 2 y = x 是方程 y + q(x) y = 0 的任意两个解，求证它们的伏朗斯基行列 式 w(x) c ，其中 c 为常数. 六、证明题：（每小题 9 分，9×2=18 分） 1、在方程 y + p(x) y + q(x) y = 0 中，已知 p(x)，q(x) 在 (−, + ) 上连续．求证：该方程 的任一非零解在 xoy 平面上不能与 x 轴相切．
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷（⑤） 评分标准既参考答案 一、填空题：（每小题3分，5×3=15分） 1.y=±1，x=±12.sin2x,cos2x 3.D={(x,y)∈Ry>0},(或不含x轴的上半平面) 4.充分5.没有 二、选择题：（每小题3分，5×3=15分） 1、B2、A3、D4、C5、A 三、求下列一阶微分方程的通解：（每小题8分，8×4=32分） 1、解将方程变为ydy= 2x 。d…...(4分) (1+x2) 从而得y2=1n1+x2)+c(c为任意的常数)…(4分) 2、解将方程变为xedx+xdy-dr=0…(2分) 积分因子为()= 1 …(2分) 于是原方程化为edr+dy-d=0…（2分) 故原方程的通解为e'+上=C, (2分) X 3解特征方程为-1=0，得子=1名，=-1±5 2 …(3分） 由于入=士i不是特征根，因此设非齐次方程的特解文=(Acost+Bsint), 代入原方程得A=B=-之所以特解为宝=-cos1+sin)…(3分) 1 故原方程的通解为 x=e(ccos91+G,sin90+c,e-cos1+sin）…(2分) 2 4、解方程改为(y)'+(x2)'=0(2分) 于是有y+x2=C…(2分) 即ydy+x2dk=cdk(2分)
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(5) 评分标准既参考答案 一、填空题：（每小题 3 分，5×3=15 分） 1． y = 1, x = 1 2．sin 2x, cos 2x 3． {( , ) 0} 2 D = x y R y ，（或不含 x 轴的上半平面） 4．充分 5．没有 二、选择题：（每小题 3 分，5×3=15 分） 1、B2、A3、D4、C5、A 三、求下列一阶微分方程的通解：（每小题 8 分，8×4=32 分） 1、解将方程变为 2 2 (1 ) x ydy dx x = + ……….........（4 分） 从而得 1 2 2 ln(1 ) 2 y x c = + + （ c 为任意的常数）……………（4 分） 2、解将方程变为 2 e d d d 0 x x x x y y x + − = ……（2 分） 积分因子为 2 1 ( ) x x = ……（2 分） 于是原方程化为 2 d d e d 0 x x y y x x x − + = ……（2 分） 故原方程的通解为 e , x y C x + = （2 分） 3、解特征方程为 3 − =1 0 ，得 1 2,3 1 3 1, 2 i − = = ………（3 分） 由于 =i 不是特征根，因此设非齐次方程的特解 x A t B t = + ( cos sin ) ， 代入原方程得 1 2 A B = = − ，所以特解为 1 (cos sin ) 2 x t t = − + …（3 分） 故原方程的通解为 1 2 3 3 1 2 3 2 2 1 ( cos sin ) (cos sin ) 2 t t x e c t c t c e t t − = + + − + ……………（2 分） 4、解方程改为 2 ( ) ( ) 0 yy x + = （2 分） 于是有 2 1 yy x c + = …（2 分） 即 2 1 ydy x dx c dx + = （2 分）
1 散原方程的通解为扩计？Gx+6(2分】 四、解两边关于x求一阶导数，有 6=e-0dt…(2分y 两边关于x再求一阶导数，得 "(x)=e-(x)…(3分) 即"(x)+(x)=e而且(0)='(0)=1 而方程x)+x)=e的解表示为x)=C COSx+-C2sinx+e(3分 由0)=0)=1，可得)-3c0sx+sinx+e(2分) 1 五、求解下列微分方程组 解方程组的特征方程为 A-E= -1--2=2-32+2=0 3 4- 特征根为21=1，元=2…(2分) 入=1对应的特征向量应满足 0 3 0 可解得a=1,b=-1(2分) 类似乙=2对应的特征向量分量为4=2，b,=-3…(2分) 所以，原方程组的的基解矩阵为 e' 2e2 Φ(t)= …(2分) -e" -3e2 方程满足初始条件(O) 的解表示为 0 17 3e'-2e2 t)=Φ(t)Φ(0) 0 -3e'+3e2r …(2分) 六、证明题：（每小题9分，9×2=18分） 1、证明：由己知条件可知，该方程在整个x0少平面满足解的存在惟一性及解的延展定 理条
故原方程的通解为 2 3 1 2 1 1 2 3 y x c x c + = + （2 分） 四、解两边关于 x 求一阶导数，有 0 ( ) ( ) x x x e t dt = − ……………（2 分） 两边关于 x 再求一阶导数，得 ( ) ( ) x x e x = − …（3 分） 即 ( ) ( ) x x x e + = 而且 (0) (0) 1 = = 而方程 ( ) ( ) x x x e + = 的解表示为 1 2 1 ( ) cos sin 2 x x c x c x e = + + （3 分） 由 (0) (0) 1 = = ，可得 1 1 1 ( ) cos sin 2 2 2 x x x x e = + + （2 分） 五、求解下列微分方程组 解方程组的特征方程为 2 1 2 3 2 0 3 4 A E − − − − = = − + = − 特征根为 1 =1，2 = 2…（2 分） 1 =1 对应的特征向量应满足 = − − − − 0 0 3 4 1 1 1 2 1 1 b a 可解得 a1 =1, b1 = −1 （2 分） 类似 2 = 2 对应的特征向量分量为 2 2 a b = = − 2, 3…（2 分） 所以，原方程组的的基解矩阵为 2 2 e 2e ( ) e 3e t t t t t = − − …（2 分） 方程满足初始条件 1 (0) 0 = 的解表示为 2 1 2 1 3 2 ( ) ( ) (0) 0 3 3 t t t t e e t t e e − − = = − + …（2 分） 六、证明题：（每小题 9 分，9×2=18 分） 1、证明：由已知条件可知，该方程在整个 xoy 平面满足解的存在惟一性及解的延展定 理条
且任一解的存在区都是(-0，+∞).(2分) 显然，该方程有零解y(x)=0(2分) 假设该方程的任一非零解y,(x)在x轴上某点x。处与x轴相切， 即有乃(xo)=(x)=0,那么由解的惟一性及该方程有零解y(x)=0(2分) 可知y(x)=0,x∈(-0，+∞)，这与y(x)是非零解矛盾， 所以该方程的任一非零解在xOy平面上不能与x轴相切.(3分) 2、证明：y=p(x)和y=p2(x)它们构成的伏朗斯基行列式 4(x)4(x) w(x)= …(3分) 4'(x)4'(x) 4(x)4(x) w'(x)= …(3分) 4(x)4"(x) 由于y=p(x)和y=p2(x)是方程y"+q(x)y=0的解，因此 4"(x)+q(x)4(x)=0,42"(x)+q(x)4(x)=0 所以w'(x)=0,故w(x)=c…(3分)
且任一解的存在区都是 (−, + ) ．（2 分） 显然，该方程有零解 y(x) 0 （2 分） 假设该方程的任一非零解 ( ) 1 y x 在 x 轴上某点 0 x 处与 x 轴相切， 即有 ( ) ( ) 1 0 1 0 y x = y x =0，那么由解的惟一性及该方程有零解 y(x) 0 （2 分） 可知 ( ) 0, ( , ) y1 x x − + ，这与 ( ) 1 y x 是非零解矛盾， 所以该方程的任一非零解在 xoy 平面上不能与 x 轴相切．（3 分） 2、证明： ( ) 1 y = x 和 ( ) 2 y = x 它们构成的伏朗斯基行列式 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x w x x x = …（3 分） 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x w x x x = ………………（3 分） 由于 ( ) 1 y = x 和 ( ) 2 y = x 是方程 y + q(x) y = 0 的解，因此 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0, ( ) ( ) ( ) 0 x q x x x q x x + = + = 所以 w x ( ) 0 = ，故 w x c ( ) = ………（3 分）