宁德师专《常微分方程》期末考试卷(12) 姓名 班级 座号 成绩 一、填空题（每小题3分，3×10=30分） 1、方程M(x,y)dr+N(x,y)少=0有u(x+y)的积分因子的充要条件是。 2、求少=了(x,)满足(，)=%的解等价于求积分方程的连续解。 dx 3、方程少=广-1经过点(0,0)的解的存在区间是。 dx 2 4、若x,()i=1,2,,n)是n阶齐线性方程xm+a,()x-+…+an()x=0的n个解， w(t)为其伏朗斯基行列式，则w()满足一阶线性方程。 5、设①(t)是微分方程组x'=A(t)x的基解矩阵，x=p(t)是x'=A(t)x+f(t)的某一解，则它 的任一解x(t)可表示为。 6、设m=3与m,=- +i是一个微分方程的特征根，则阶数最低的齐次线性微分方程为. 2 7、方程业=3y过点(0,0)有个解。 dx 8、若Φ(t)和Ψ(t)都是X'=A(t)X的基解矩阵，则Φ(t)和Ψ(t)具有关系为：。 9、若y=,(x),y=p(x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们（有或无）共同零点. d'x dx 10、若方程 d+a +42(t)x=0中a,(t)i=1,2)均能展成t的幂级数，且收敛区间为 |tKc,则方程有形如的幂级数 二、求下列微分方程的通解：（第1-4小题每小题7分，第8小题8分，共36分） . -1+y2 dx xy+x'y 2.2y+xy+号+x2+y)=0. 3 3.x"-4x+4x=e'+e2r+1
宁德师专《常微分方程》期末考试卷(12) 姓名____________班级________座号__________成绩 一、填空题（每小题 3 分，3×10＝30 分） 1、方程 M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) 0 + = 有 (x + y) 的积分因子的充要条件是。 2、求 ( , ) dy f x y dx = 满足 0 0 y x y ( ) = 的解等价于求积分方程的连续解。 3、方程 2 1 2 − = y dx dy 经过点（0，0）的解的存在区间是。 4、若 x (t) i (i = 1，2，……， n) 是 n 阶齐线性方程 ( ) ( 1) 1 ( ) ( ) 0 n n n x a t x a t x − + + + = 的 n 个解， w(t) 为其伏朗斯基行列式，则 w(t) 满足一阶线性方程。 5、设 ()t 是微分方程组 x A t x = ( ) 的基解矩阵， x t = ( ) 是 x = A(t)x + f (t) 的某一解，则它 的任一解 xt() 可表示为。 6、设 m1 = 3 与 m = − + i 2 1 2 是一个微分方程的特征根，则阶数最低的齐次线性微分方程为. 7、方程 3 2 3 d d y x y = 过点(0,0)有个解。 8、若 ( ) ( ) t t 和 都是 X A t X ' ( ) = 的基解矩阵，则 ()t 和 ( )t 具有关系为：。 9、若 ( ), ( ) 1 2 y = x y = x 是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们(有或无)共同零点． 10、若方程 1 ( ) 2 ( ) 0 2 2 + + a t x = dt dx a t dt d x 中 a (t)(i =1,2) i 均能展成 t 的幂级数，且收敛区间为 | t | c ,则方程有形如的幂级数. 二、求下列微分方程的通解：（第 1-4 小题每小题 7 分，第 8 小题 8 分，共 36 分） 1． dx dy = xy x y y 3 2 1 + + 2. ) ( ) 0 3 (2 2 2 3 2 + + dx + x +y dy = y x y x y . 3. 4 4 1 " ' 2 − + = + + t t x x x e e
4x3+0y)3-3xy=00y= d 5.12x-tx+2x=tIn t 三、应用题(10分) 一质点沿x轴运动，在运动过程中只受到一个与速度成正比例的反力的作用，设它从原点出发 时，初速度为10m/s,而当它达到坐标为2.5m的点时，其速度为5m/s,求质点到达坐标为4m的点 的速度 四、考虑微分方程组x=Ax+f(),其中 469 (ii)试求x=Ax+f)满足初值条件p(0)= 的解(6分). 五、证明题：（每小题7分，共14分） 1、证明当p>0,q>0时，方程y”"+py'+qy=0的一切解当x→+0时，都趋于零. 2、假设方程少=了心x,)在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且()，片(x)是定义 dx 在区间上 的两个解.求证：若y(x)<y2(x),x。∈I,则在区间I上必有y(x)<y2(x)成立
4. ( ) 3 0( ). 3 ' 3 ' ' dx dy x + y − x y = y = 5. t x tx 2x t ln t 2 " ' − + = 三、应用题（10 分） 一质点沿 x 轴运动，在运动过程中只受到一个与速度成正比例的反力的作用，设它从原点出发 时，初速度为 10m/s，而当它达到坐标为 2.5m 的点时，其速度为 5m/s，求质点到达坐标为 4m 的点 的速度. 四、考虑微分方程组 ( ), ' x = Ax + f t 其中 = = t e A f t 2 0 , ( ) 0 2 2 1 (i)试验证 = t t t e e te t 2 2 2 0 ( ) 是 x = Ax ' 的基解矩阵（4 分）. (ii)试求 ( ) ' x = Ax + f t 满足初值条件 − = 1 1 (0) 的解（6 分）. 五、证明题：（每小题 7 分，共 14 分） 1、证明当 p q 0, 0 时，方程 y py qy + + = 0 的一切解当 x → + 时，都趋于零. 2、假设方程 ( , ) d d f x y x y = 在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 是定义 在区间上 的两个解．求证：若 ( ) 1 0 y x < ( ) 2 0 y x ， x I 0 ，则在区间 I 上必有 ( ) 1 y x < ( ) 2 y x 成立．
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(12) 评分标准既参考答案 一、填空题（每小题3分，3×10=30分） 1、 OM ON L=(N-M00(x+y) 2、y=⅓+∫fy 3、-0<x<+00 4、1w(t)+a(t)w(t)=0 5、x(t)=D(t)C+p(t) 6广-2y-7--0 7、无数个 8、Ψ(t)=D(t)C(C为非奇异矩阵) 9、无 0、y22+ 二、求下列微分方程的通解：（第1-4小题每小题7分，第5小题8分，共36分） 1.解：方程变形为 1+s1 d水…(2分) x(1+x2) (3分) 两边积分ln(1+y2)=lnx2-ln(1+x2)+c 故方程的通解为(1+y2)1+x2)=cx2…(2分) 2.解：因为M-2x+x2+y2,0N=2x dy 0x 从而上M_N)=1(2分) N dy dx 所以方程有积分因子：(x)=e…(2分)
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(12) 评分标准既参考答案 一、填空题（每小题 3 分，3×10＝30 分） 1、 (N M ) (x y) x N y M = − + − 2、 0 0 ( , ) x x y y f x y dx = + 3、 − x + 4、 ( ) 1 ( ) ( ) 0 ' w t + a t w t = 5、 x t t C t ( ) ( ) ( ) = + 6、 0 4 15 4 7 2 "' " ' y − y − y − y = 7、无数个 8、 = ( ) ( ) t t C （C 为非奇异矩阵） 9、无 10、 = + = n 0 n r n y c x 二、求下列微分方程的通解：（第 1-4 小题每小题 7 分，第 5 小题 8 分，共 36 分） 1.解：方程变形为 2 2 1 1 (1 ) y dy dx y x x = + + ……………………（2 分） 即 2 2 1 ( ) 1 1 y x dy dx y x x = − + + ……………………（3 分） 两边积分 2 2 2 1 ln(1 ) ln ln(1 ) + = − + + y x x c 故方程的通解为 2 2 2 (1 )(1 ) + + = y x cx …（2 分） 2．解：因为 2 2 2 , 2 M N x x y x y x = + + = 从而 1 ( ) 1 M N N y x − = .（2 分） 所以方程有积分因子： u(x) = x e ………………（2 分）
方程两边同乘以e得： e(2wy+y+号k+e6+yd=0 即[e2.y+r+erd+le号k+ey2d=0…2分) 3 故方程的解为ey+e =C,…(1分) 3 3、解特征方程2-41+4=0，：=2，故齐次方程的基本解组为：e2”, te2.... ….(2分) 对于方程x”-4x+4x=e',因为元=1不是特征根，故有形如()=Ae'的特解， 将其代入x-4x+4x=e,得Ae=e,解之得A=1… 分) 对于方程x-4x+4x=e2”,因为元=2是二重特征根，故有形如，(0=A产2”的 1 A=- 特解，将其代入x-4x+4x=e2,得24e2”=e2”解之得2.(2分) 对于方程x-4x+4x=1,因为元=0不是特征根，故有形如不，(0=4的特解，将其 A=- 代入x-4x+4x=1,得 4 (1分) 所以原方程的通解为 x0=e2"(e,+c,)+e'+2e24+l 1 4….(1分) 4、解：令，少=y=p=x,则 dx x3+fx3-3x2=0即x=,31 …,(3分) 1+t3 从而p=x= 32 1+3
方程两边同乘以 x e 得： x e 2 (2xy x y + + 3 2 2 ) ( ) 0 3 y x dx e x y dy + + = 即［ 3 2 2 2 (2 ) ] [ ] 0 3 x x x x y e xy x y dx e x dy e dx e y dy + + + + = ………（2 分） 故方程的解为 3 2 3 x x y e x y e c + = ．…………………………………………（1 分） 3、解特征方程 4 4 0 2 − + = ， 1,2 = 2 ，故齐次方程的基本解组为： t e 2 ， t te 2 ………………………………………………………………..（2 分） 对于方程 t x − 4x + 4x = e '' ' ，因为 =1 不是特征根，故有形如 t x (t) = Ae 1 的特解， 将其代入 t x − 4x + 4x = e '' ' ，得 t t Ae = e ，解之得 A = 1………………………………..（1 分） 对于方程 t x x x e '' ' 2 − 4 + 4 = ，因为 = 2 是二重特征根，故有形如 t x t At e 2 2 2 ( ) = 的 特解，将其代入 t x x x e '' ' 2 − 4 + 4 = ，得 t t Ae e 2 2 2 = 解之得 2 1 A = ………………….（2 分） 对于方程 4 4 1 '' ' x − x + x = ，因为 = 0 不是特征根，故有形如 x3 (t) = A 的特解，将其 代入 4 4 1 '' ' x − x + x = ，得 4 1 A = .………………………………………………..（1 分） 所以原方程的通解为 4 1 2 1 ( ) ( ) 2 2 1 2 2 = + + + + t t t x t e c c t e t e …………..（1 分） 4、解：令， dy y p tx dx = = = ，则 3 3 3 2 x t x tx + − = 3 0 即 3 3 1 t x t = + ………………….（3 分） 从而 2 3 3 1 t p tx t = = +
y-小品2h+e-最ea分】 3r2 故原方程的通解为 1+2 t为参数… (1分) 31+4r3 y= 21+r+c 5、解令t=e,s=ht,则dh ds’d2 ds?ds" 代入原方程得 d2x2+2x=Se(①..（3分) ds2 ds (①对应的齐次方程的通解为x=e(C COSs+C2snS) 元=1不是特征根，故设特解为x=(As+B)e 代入并比较系数得A=LB=0.从而元=s',则()的通解为 =e'(c coss+c2 sin s)+ses...... ….(3分)故原方程的通解为 x=I(c cosin i+c sin n t)+it............. …(2分) 三、应用题(10分) 解由牛顿第二定律有m 血=-k(k>0是比例系数)… (2分)解得v=e中，由0)=10，可知G=10,从而v=10e.(2 分)又=，即少=10e,可得5= 0me中+G2,由s(0)=0,得c= 10m 于 dt dt k 是s三l0m0-ei)四 (3分) 当S=2.5时，v=5,故当s=4时，v=2… …(3分) 因E用：令a0=)0=S)则有 o-8)-60)w-)-6e）
又 2 3 3 3 3 ( ) ( ) 1 1 t t y dt c t t = + + + ＝ 3 3 2 3 1 4 2 (1 ) t c t + + + ……………………….（3 分） 故原方程的通解为 3 3 3 2 3 1 3 1 4 2 (1 ) t x t t y c t = + + = + + t 为参数………………………………………..（1 分） 5 、解令 t e s t s = , = ln ， 则 , ( ). 2 2 2 2 2 ds dx ds d x e dt d x ds dx e dt dx s s = = − − − 代入原方程得 s x se ds dx ds d x − 2 + 2 = 2 2 (1) ………………………………….（3 分） (1) 对应的齐次方程的通解为 ( cos sin ). 1 2 x e c s c s s = + =1 不是特征根，故设特解为 s x = (As + B)e . 代 入 (1) 并比较系数得 A = 1, B = 0 . 从 而 s x = se ， 则 (1) 的通解为 x = ( cos sin ) 1 2 e c s c s s + s + se …………………………………..（3 分）故原方程的通解为 x t(c cosln t c sin ln t) t ln t = 1 + 2 + ……………………………（2 分） 三、应用题（10 分） 解由牛顿第二定律有 dv m kv dt = − （ k 0 是比例系数）…………………………………… （2 分）解得 1 k m t v c e − = ，由 v(0) 10 = ，可知 1 c =10 ，从而 10 k m t v e − = ………………..（2 分）又 ds v dt = ，即 10 k m ds t e dt − = ，可得 2 10 k m m t s e c k − = − + ，由 s(0) 0 = ，得 2 10m c k = ，于 是 10 (1 ) k m m t s e k − = − …………………………（3 分） 当 s = 2.5 时， v = 5 ，故当 s = 4 时， v = 2……………………（3 分） 四、（i）证明：令 = = t t t e te t e t 2 2 2 2 1 , ( ) 0 ( ) ，则有 = + = = = t t t t t t e t e e t e t e e t 2 2 2 2 ' 2 2 2 ' 1 0 2 2 1 2 (2 1) , ( ) 0 2 0 2 1 0 2 ( )
所以①()是方程组的解矩阵… ….(2分) 又由于dtΦ(t)=e",从而Φ(t)是方程组的基解矩阵…(2分) (ii)解： 0=0 由此得中'(O)=E,从而对应的齐线性微分方程组满足初值条件P,(O) 的解为 a0=-g-0 …(2分) 另一方面，满足初值条件v0=的解为 0-60Xg 66月目 ….(2分)所 “.…(2分) 五、证明题：（每小题7分，共14分） 1、证明：特征方程为22+p入+q=0 2=p±p-4g …(2分) 2 当p>0,q>0,而且p2-4g≥0时，此时方程的特征值均为负实数， 当p>0,9>0,而且p2-4q0,9>0, 方程y”+py+⑩=0的一切解当x→十0时，都趋于零.…(3分)
所以 (t) 是方程组的解矩阵…………………………………………..（2 分） 又由于 t t e 4 det( ) = ，从而 (t) 是方程组的基解矩阵……………………（2 分） (ii)解： t e t t 1 2 0 1 1 ( ) − − − = . 由此得 = E − (0) 1 ，从而对应的齐线性微分方程组满足初值条件 − = 1 1 (0) h 的解为 . 1 1 1 1 0 ( ) ( ) 2 2 2 2 t t t t h e t e e te t t − − = − = = ……………………（2 分） 另一方面，满足初值条件 = 0 0 (0) 的解为 e ds e s e e te t s s t t t t 2 2 0 2 2 2 0 0 1 1 0 ( ) − − = − = − = t t e e te ds s e e te t t t t t t t 2 0 1 0 2 2 2 2 2 0 2 2 t e t t 2 2 2 = .…………………..（2 分）所 以满足初值条件的解为 t h e t t t t t t 2 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) − − + = + = .…………（2 分） 五、证明题：（每小题 7 分，共 14 分） 1、证明：特征方程为 2 + + = p q 0 2 1,2 4 2 p p q − − = ……………（2 分） 当 p q 0, 0, 而且 2 p q − 4 0 时，此时方程的特征值均为负实数， 当 p q 0, 0, 而且 2 p q − 4 0 时，此时方程的特征值均具有负实部，………（2 分） 而方程的通解表示为 1 2 1 2 x x y c e c e = + （或 1 2 ( ) x y c c x e = + ） 故当 p q 0, 0, 方程 y py qy + + = 0 的一切解当 x → + 时，都趋于零.……………（3 分）
2、证明：仅证x≥x方向，（反之亦然）. 假设存在x之x。,使得y(x)>y(x)（乃(x)=y(x)不可能出现，否则与解惟一矛 盾)….(2分) 令yx)=y(x)y2(x),那么 y(xo)=y1(xo)-y2(x)0…(2分) 由连续函数介值定理，存在x∈(x。,x),使得 y(x)=y(x)-y,(x)=0 即y,(x)=y3(x)….(2分) 这与解唯一矛盾….。 (1分)
2、证明：仅证 0 x x 方向，（反之亦然）． 假设存在 0 x x ，使得 ( ) 1 y x > ( ) 2 y x （ ( ) 1 y x = ( ) 2 y x 不可能出现，否则与解惟一矛 盾）…..（2 分） 令 y(x) = ( ) 1 y x - ( ) 2 y x ，那么 ( ) 0 y x = ( ) 1 0 y x - ( ) 2 0 y x 0…………（2 分） 由连续函数介值定理，存在 ( , ) 0 * x x x ，使得 ( ) * y x = ( ) * 1 y x - ( ) * 2 y x =0 即 ( ) * 1 y x = ( ) * 2 y x ……………………………………………………..（2 分） 这与解唯一矛盾……………...…………………………………………………（1 分）