宁德师专《常微分方程》期末考试卷(9) 姓名 班级 座号 成绩 一.填空题：(24分) 1,方程M(x,y)d+N(x,y)=0是恰当方程的充要条件是： 2.方程少=厂+1满足解的存在唯一性定理条件的区域是一： dx 3.∫0)连续可微是保证方程业=f0)解存在且唯一的条件： dx 4.若y=0)在（←心，+o上连续，则方程少=0(xy的任一非零解与x轴相交： dx 5.n阶非齐次线性微分方程线性无关解的个数最多为： 6.函数组p,(x),p2(x),…,p(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在 区间I上恒不等于零：. 7.两个不同的线性齐次微分方程组相同的基本解组： 8.以t,e'为基本解组的二阶齐线性微分方程为. 二.求下列一阶微分方程的通解：(18分) 1.少=1+x+y+y2.D-xx2+y2-x=03.(2+x dx dy-y=0 dx 三.设连续函数fx)满足：∫f0d=x+∫f(x-h,求函数f(x)。(10分) 四.求下列高阶方程的通解：(24分) 1.y"+y'+y=32x2.y"+(y')2+2x=0 3.设a(t),a2(t),f(t)在[a,b]上连续，且4(t),中2(t),(t)是微分方程 x”+a,(t)x'+a2(t)x=f(t)在[a,b]上的三个线性无关解，试求该方程的通解。 五.求解下列微分方程组 dx =4x-3y+e dt 满足初始条件(0) 的解。(10分) =2x-y+1 dt 六.证明题：(14分)
宁德师专《常微分方程》期末考试卷(9) 姓名____________班级________座号__________成绩 一. 填空题：（24 分） 1.方程 M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) 0 + = 是恰当方程的充要条件是； 2.方程 1 d d = y + x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ； 3. f ( y) 连续可微是保证方程 ( ) d d f y x y = 解存在且唯一的条件； 4.若 y = (x) 在 (−, + ) 上连续，则方程 x y x y ( ) d d = 的任一非零解与 x 轴相交； 5. n 阶非齐次线性微分方程线性无关解的个数最多为； 6.函数组 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x x x n 在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在 区间 I 上恒不等于零；． 7.两个不同的线性齐次微分方程组相同的基本解组； 8.以 t t, e 为基本解组的二阶齐线性微分方程为. 二.求下列一阶微分方程的通解：（18 分） 1． 2 2 1 x y xy dx dy = + + + 2. [ ( )] 0 2 2 y − x x + y dx − xdy = 3. ( ) 0 2 + − y = dx dy x dx dy 三.设连续函数 f (x) 满足： 0 0 ( ) ( ) x x f t dt x tf x t dt = + − ，求函数 f (x) 。（10 分） 四.求下列高阶方程的通解：（24 分） 1. x y y y e 2 + + = 3 2. ( ) 2 0 2 yy + y + x = 3. 设 ( ), ( ), ( ) 1 2 a t a t f t 在 [a,b] 上连续，且 ( ), ( ), ( ) 1 2 3 t t t 是 微 分 方 程 ( ) ( ) ( ) 1 2 x + a t x + a t x = f t 在 [a,b] 上的三个线性无关解，试求该方程的通解。 五．求解下列微分方程组 = − + = − + 2 1 4 3 x y dt dy x y e dt dx t 满足初始条件 − = 1 1 (0) 的解。（10 分） 六.证明题：（14 分）
1.在方程y"+p(x)y'+q(x)y=0中，若p(x),q(x)在(-0，+o)上连续，且存在 x。∈(-o,+∞)使该方程的两个解y(x),y2(x)同时在x。处取极值，试证明y(x),y2(x)不 能是该方程的基本解组。 2.设f(x)在[0，+o)上连续，且imf(x)=0,求证：方程 Y-40 业+y=f) dx 的一切解y(x),均有limy(x)=0. T→+00
1． 在方程 y + p(x) y + q(x) y = 0 中，若 p(x), q(x) 在 (−,+) 上连续，且存在 ( , ) x0 − + 使该方程的两个解 ( ), ( ) 1 2 y x y x 同时在 0 x 处取极值，试证明 ( ), ( ) 1 2 y x y x 不 能是该方程的基本解组。 2.设 f (x) 在 [0, + ) 上连续，且 lim ( ) = 0 →+ f x x ，求证：方程 ( ) d d y f x x y + = 的一切解 y(x) ，均有 lim ( ) = 0 →+ y x x ．
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(9) 评分标准既参考答案 一，填空题：(24%) 1.M_N2.y>0的上半平3.充分条件4.不会5.n+16.充分条件 dy ax 7.没有8.(t-1)x"-x'+x=0 二.求下列一阶微分方程的通解(18%) 1.解： =0+x1+) dx 1+=x+10k 1 (2) arcigy=c..... (4) 2 c为任意常数 2.解： ydx-xdy-x(x2+y2)dx =0 ydx-xdy (2) x2+y2 -xdk=0.… awcg、1 x2=C. .(4) c为任意常数 2.解：令少=p,方程变为y=p+m(2) d 两边关于x求导，有p=(2p+)坠+p,(2) dx 得迎=0或p=-；(1) 2 由迎=0得p=c,从而y=C+cx,c为任意常数，由P三-2得y~ dx 4·(1) 三.解：令x-t=l,(2) f(x-)d=(x-u)f(u)du -xf f(u)du-(udu
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(9) 评分标准既参考答案 一. 填空题：（24%） 1. M N y x = 2. y 0 的上半平 3.充分条件 4.不会 5. n+1 6.充分条件 7.没有 8. ( 1) 0 t x tx x − − + = 二.求下列一阶微分方程的通解（18%） 1. 解： 2 2 2 (1 )(1 ) 1 ( 1) ......................................................................(2) 1 1 ......................................................................(4) 2 dy x y dx dy x dx y arctgy x x c = + + = + + = + + c 为任意常数 2.解： 2 2 2 2 2 ( ) 0 0..................................................................(2) 1 ......................................................................(4) 2 ydx xdy x x y dx ydx xdy xdx x y x arctg x c y − − + = − − = + − = c 为任意常数 2. 解：令 dy p dx = ，方程变为 2 y p px = + （2） 两边关于 x 求导，有 (2 ) dp p p x p dx = + + ，（2） 得 0 dp dx = 或 2 x p = − （1） 由 0 dp dx = 得 p c = ，从而 2 y c cx = + ，c 为任意常数，由 2 x p = − 得 2 4 x y = − .（1） 三. 解：令 x t u − = ，（2） 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) x x x x tf x t dt x u f u du x f u du uf u du − = − − （2）
对原方程两边求导有 fx)=1+fu)(2) 两边再求导有 f'(x)=f(x),而且满足f(O)=1(2) 解得f(x)=e(1) 四.1.解：特征方程为2+1+1=0，得元=-1±5 2 2) 对应齐次方程的通解为 y=e (c cosx+csinx)(2) 设非齐次方程的特解x=Ae2,代入原方程得到A= 3 7，x=3e2x,2) 7 所以原方程的通解为 =号x+6sm9动+产2)② 2.解：(y)}+(x2)'=0(3) 于是y+x2=c,即(2) ydy +x'dx cdx ≥+xx= (3) 3.解：由解的性质知 4()-4(),4(t)-4(t)是对应齐次方程的两个解，(3) 由于虫(t),,(),4(t)是线性无关的，从而4，()-()与4()-4()也是线性无关的， (3) 故原方程的通解为 x()=c(4(t)-4()+c3(4()-4(t)+4()(2) 五.解： 4 A-2 -1 其特征多项式(1)
对原方程两边求导有 0 ( ) 1 ( ) x f x f u du = + （2） 两边再求导有 f x f x ( ) ( ) = ，而且满足 f (0) 1 = （2） 解得 ( ) x f x e = （1） 四. 1.解：特征方程为 2 + + =1 0 ，得 1 3 2 i − = （2） 对应齐次方程的通解为 1 2 1 2 3 3 2 2 ( cos sin ) x y e c x c x − = + （2） 设非齐次方程的特解 2x x Ae = ，代入原方程得到 3 7 A = ， 3 2 7 x x e = ，（2） 所以原方程的通解为 1 2 2 1 2 3 3 2 2 3 ( cos sin ) 7 x x y e c x c x e − = + + （2） 2.解： 2 ( ) ( ) 0 yy x + = （3） 于是 2 yy x c + = ，即（2） 2 2 3 1 2 1 1 2 3 ydy x dx cdx y x c x c + = + + = （3） 3.解：由解的性质知 2 1 3 1 ( ) ( ), ( ) ( ) t t t t − − 是对应齐次方程的两个解，（3） 由于 1 2 3 ( ), ( ), ( ) t t t 是线性无关的，从而 2 1 ( ) ( ) t t − 与 3 1 ( ) ( ) t t − 也是线性无关的， （3） 故原方程的通解为 1 2 1 2 3 1 1 x t c t t c t t t ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) = − + − + （2） 五. 解： 4 3 2 1 A − = − ，其特征多项式（1）
-2-+2=0 2=1,乙=2(2) 当入=1时对应的特征向量为y (1) 当乙=2时对应的特征向量为y 2 (1) 所以基解矩阵 e 3e2 0e2e Φ0 (1) 于是满足初始向量的解为 ()=(t)师'(0)n+()Φ'(s)f(s)ds E] (3) []] 「5e-2e-e2- 6e'-2te'-3e2-2 六.证明题： 1.证明：因为方程的两个解y(x),y(x)同时在x,处取极值，所以 y'(x)=y'2(x)=0,(3) 于是乃(x),2(x)构成的伏朗斯基行列式 y(x)y2(x) W(x)= y'(x)2'(x) 在x处的值W(x)=0,(2) 故y(x),y2(x)不可能是该方程的基本解组.(2)
2 4 3 2 1 I A 3 2 0 − − + − = = − + = （1） 1 2 = = 1, 2 （2） 当 1 =1 时对应的特征向量为 1 1 1 v = （1） 当 2 2 = 时对应的特征向量为 1 3 2 v = （1） 所以基解矩阵 2 1 2 2 2 3 2 3 ( ) , ( ) 2 t t t t t t t t e e e e t t e e e e − − − − − − = = − （1） 于是满足初始向量的解为 2 2 2 2 1 1 0 2 2 2 2 0 2 2 2 3 1 1 2 3 5 3 + 5 2 ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) 3 1 2 1 3 2 1 6 = 4 s s s s t t t t t t t t t t t t t s t t t t t e e e e e e e e e e t t t s f s ds e e e e e e e ds e e e e − − − − − − − − − − = + − = − − + 0 2 2 2 9 3 2 2 3 2 5 2 6 2 2 3 s t s s t t t t t t e ds e e e te e e te e − − − − − − − = − − − − （3） 六. 证明题： 1. 证明：因为方程的两个解 1 2 y x y x ( ), ( ) 同时在 0 x 处取极值，所以 1 0 2 0 y x y x ' ( ) ' ( ) 0 = = ，（3） 于是 1 2 y x y x ( ), ( ) 构成的伏朗斯基行列式 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y x y x W x y x y x = 在 0 x 处的值 0 W x( ) 0 = ，（2） 故 1 2 y x y x ( ), ( ) 不可能是该方程的基本解组.（2）
2.证明：设y=y(x)是方程的任一解， 满足y(x)=y。,则该解的表达式为 =yew+etf心sds8) 两边取极限 lim y(x)=lim yoe-( lim fses e-而 (2) [f(s)eds =0+lim X十40 e-书 0, 若f6e-d<n f(x)e(-x) (2) lim x-to e-to =0，若fs)ea-wds=o 故对一切y(x),均有1imy(x)=0
2. 证明：设 y = y(x) 是方程的任一解， 满足 0 0 y(x ) = y ，则该解的表达式为 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) e e ( )e d x x x x x s x x y x y f s s − − − − − = + （3） 两边取极限 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 ( ) ( ) =0+ lim ( ) lim e ( )e d lim e ( )e d lim e x x x x x s x x x x x x s x x x x x y x y f s s f s s − − →+ →+ − →+ − − →+ − = + （2） = 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0, ( )e d ( )e lim 0, ( )e d e s x x x x s x x x x x f s s f x f s s − − − →+ − = = 若 若 （2） 故对一切 y x( ) ，均有 lim ( ) 0 x y x → =