宁德师专《常微分方程》期末考试卷(13) 姓名 班级 座号 成绩 一、填空题（每小题3分，3×10=30分） 1、方程M(x,y)dr+N(x,y)少=0有只含x的积分因子的充要条件是。 2、求少=∫x,)满足(x)=%的解等价于求积分方程的连续解。 dx 3、方程少=x2+y2定义在矩形域R:-2≤K≤2，-2≤y≤2上，则经过点(0,0)的解的存 dx 在区间是。 4、若x,()i=1,2,,n)是n阶齐线性方程xm+a()xm-+…+an()x=0的n个解， w(t)为其伏朗斯基行列式，则w(t)满足一阶线性方程。 5、设D(t)是微分方程组x'=A(t)x的基解矩阵，x=p(t)是x'=A(t)x+f(t)的某一解，则它 的任一解x(t)可表示为。 6、一个不可延展解的存在区间一定是区间。 7、方程业=3y过点(0,0)有个解。 dx 8、若Φ(t)和Ψ(t)都是X'=A(t)X的基解矩阵，则Φ(t)和Ψ(t)具有关系为：。 9、若y=,(x),y=p(x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们（有或无）共同零点. 10、对于任意的(x,y),(x,y2)∈R(R为某一矩形区域)，若存在常数N(N>O)使 则称f(x,y)在R上关于y满足利普希兹条件. 二、求下列微分方程的通解：（每小题8分，共32分） 11.3 =1+x+y2+xy2 dx 12.4=4x3-2y2+2x dk3x2y2-6y3+3y2 13.x-2x +2x=te'cost 14.xx"-(x'2+(x)3=0
宁德师专《常微分方程》期末考试卷(13) 姓名____________班级________座号__________成绩 一、填空题（每小题 3 分，3×10＝30 分） 1、方程 M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) 0 + = 有只含 x 的积分因子的充要条件是。 2、求 ( , ) dy f x y dx = 满足 0 0 y x y ( ) = 的解等价于求积分方程的连续解。 3、方程 2 2 x y dx dy = + 定义在矩形域 R:-2 x 2,−2 y 2 上，则经过点（0，0）的解的存 在区间是。 4、若 x (t) i (i = 1，2，……， n) 是 n 阶齐线性方程 ( ) ( 1) 1 ( ) ( ) 0 n n n x a t x a t x − + + + = 的 n 个解， w(t) 为其伏朗斯基行列式，则 w(t) 满足一阶线性方程。 5、设 ()t 是微分方程组 x A t x = ( ) 的基解矩阵， x t = ( ) 是 x = A(t)x + f (t) 的某一解，则它 的任一解 xt() 可表示为。 6、一个不可延展解的存在区间一定是区间。 7、方程 3 2 3 d d y x y = 过点(0,0)有个解。 8、若 ( ) ( ) t t 和 都是 X A t X ' ( ) = 的基解矩阵，则 ()t 和 ( )t 具有关系为：。 9、若 ( ), ( ) 1 2 y = x y = x 是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们(有或无)共同零点． 10、对于任意的 ( , ) 1 x y , ( , ) 2 x y R ( R 为某一矩形区域),若存在常数 N(N 0) 使__________, 则称 f (x, y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件. 二、求下列微分方程的通解：（每小题 8 分，共 32 分） 11． 2 2 1 x y xy dx dy = + + + 12. 2 2 5 2 3 3 3 6 3 4 2 2 x y y y x xy x dx dy − + − + = 13. x x x te t t 2 2 cos " ' − + = 14. 2 3 xx x x − + = ( ) ( ) 0
三、应用题(10分) 15、设连续函数f(x)满足： ∫f0)t=x+f(x-h,求函数f(x). 四、考虑微分方程组x=Ax+f()其中 m-(8 (第16题4分，第17题8分，共12分)。 16.试验证Φ(t)= e" te2 0e2 是x =Ax的基解矩阵. 17.试求x=Ax+f(t)满足初值条件p(0)= 的解 五、证明题：（第18小题6分，第19小题10分，共16分） 18、设y=p,(x)和y=p2(x)是方程y”+q(x)y=0的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列 式 W(x)=C,其中C为常数. 19、设y(x),y2(x)是方程 y"+p(x)y'+q(x)y=0 的解，且满足y,(x。)=y2(x)=0,y(x)≠0，这里p(x),gx)在(-o,+∞)上连续， x。∈(-o,+∞).试证明：存在常数C使得y,(x)=Cy(x)
三、应用题（10 分） 15、设连续函数 f (x) 满足： 0 0 ( ) ( ) x x f t dt x tf x t dt = + − ，求函数 f (x) . 四、考虑微分方程组 ( ), ' x = Ax + f t 其中 = = t e A f t 2 0 , ( ) 0 2 2 1 (第 16 题 4 分,第 17 题 8 分,共 12 分)。 16.试验证 = t t t e e te t 2 2 2 0 ( ) 是 x = Ax ' 的基解矩阵. 17.试求 ( ) ' x = Ax + f t 满足初值条件 − = 1 1 (0) 的解. 五、证明题：（第 18 小题 6 分，第 19 小题 10 分，共 16 分） 18、设 ( ) 1 y = x 和 ( ) 2 y = x 是方程 y + q(x) y = 0 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列 式 W (x) C ，其中 C 为常数． 19、设 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 是方程 y + p(x) y + q(x) y = 0 的解，且 满足 ( ) 1 0 y x = ( ) 2 0 y x =0， y1 (x) 0 ，这里 p(x), q(x) 在 (−, + ) 上连续， ( , ) x0 − + ．试证明：存在常数 C 使得 ( ) 2 y x =C ( ) 1 y x ．
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(13) 评分标准既参考答案 一、填空题（每小题3分，3×10=30分） 1、aM_aN=No) dy ax 2、y=⅓+fxk 3、-sx 4 Γ4 4、w(t)+a1(t)w(t)=0 5、x(t)=p(t)C+p(t) 6、开区间 7、无数个 8、平(t)=Φ(t)C(C为非奇异矩阵) 9、无 10、f(x,y)-f(x,2≤Ny-y2 二、求下列微分方程的通解：（每小题8分，共32分） 11.解：将方程变形为 =0+x1+y)…(2分） dx 变量分离少=(x+D…(3分) 两边积分arctgy= X+C,C为任意常数 12.解：原方程可变形为3x2y2d-6ydy+3y2d=4x3d-2xydk+2xdk 即3x2y2y-6y5dy+3y2-4x23dk+2xy2dk-2xd=0.…(3分) 即x2dy3)-dy)+dy3)-d(x4)+y3d(x2)-d(x2)=0.….(3分) 故原方程的通解为x2y3-y6+y3-x4-x2=C.….(2分) 13、解：齐次方程的特征方程为2-21+2=0，，2=1士i
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(13) 评分标准既参考答案 一、填空题（每小题 3 分，3×10＝30 分） 1、 N (x) x N y M = − 2、 0 0 ( , ) x x y y f x y dx = + 3、 4 1 4 1 − x 4、 ( ) 1 ( ) ( ) 0 ' w t + a t w t = 5、 x t t C t ( ) ( ) ( ) = + 6、开区间 7、无数个 8、 = ( ) ( ) t t C （C 为非奇异矩阵） 9、无 10、 1 2 1 2 f (x, y ) − f (x, y ) N y − y 二、求下列微分方程的通解：（每小题 8 分，共 32 分） 11.解：将方程变形为 2 (1 )(1 ) dy x y dx = + + …………（2 分） 变量分离 2 1 ( 1) 1 dy x dx y = + + ………（3 分） 两边积分 1 2 2 arctgy x x c = + + ，c 为任意常数………………………（3 分） 12．解：原方程可变形为 3x 2 y 2 dy − 6y 5 dy + 3y 2 dy = 4x 3 dx − 2x y 3 dx + 2xdx． 即 3x 2 y 2 dy − 6y 5 dy + 3y 2 dy－4x 3 dx＋2x y 3 dx－2xdx＝0．…………（3 分） 即 x 2 d(y 3 ) − d(y 6 ) + d(y 3 )－d(x 4 )＋y 3 d(x 2 )－d(x 2 )＝0．………….（3 分） 故原方程的通解为 x 2 y 3 − y 6 + y 3－x 4－x 2＝c．…………………………….（2 分） 13、解：齐次方程的特征方程为 2 2 0, 1 . 1,2 2 − + = = i
齐次方程的通解为x='(C1c0st+C2sin).…(3分) 令x”-2x'+2x=te1+r,并求其特解如下： 由于1+i是一重特征根，故设特解为x=t(A1+B)e1+r,代入原方程比较系数得 所t以x=4e'【cos1+1sin)+isn1-tcos月 则原方程有特解Re{闭=4C(cos1+1sn0.…（3分） 故原方程的通解为x=e'(G,cos1+c2sm)+41e(cos1+1sn).…(2分) 14、解两边乘以1 '方程化为x-x2- =0…(3分) (x)2 于是有x二=G,G为任意的常数…(2分) 即X-Gk=d,有x-Clnx上1+c2,c,C2为任意的常数 另外当x'=0时，x=c也是解…(3分) 三、应用题(10分) 15.解：令x-t=u,则 (x-1)di=(x-wf(u)du …(2分) x(udu-f(udu 对原方程两边求导有 fx)=l+f0d…(2分) 两边再求导有 f'(x)=f(x),而且满足f(0)=1…(3分) 解得f(x)=e…(3分) 四.6证明：令a0=0， 0- 则有 a-0)-60)0-）-6g
齐次方程的通解为 ( cos sin ). 1 2 x e c t c t t = + ………………………………（3 分） 令 i t x x x te " ' (1 ) 2 2 + − + = ，并求其特解如下： 由 于 1+i 是 一 重 特 征 根 ， 故 设 特 解 为 ( ) , (1 i)t x t At B e + = + 代 入 原 方 程 比 较 系 数 得 . 4 1 , 4 = − B = i A 所以 [(cos sin ) (sin cos )]. 4 1 x te t t t i t t t t = + + − 则原方程有特解 Re{x} = (cos sin ). 4 1 te t t t t + …………………………………（3 分） 故原方程的通解为 x = e (c1 cost + c2 sin t) + t (cos sin ). 4 1 te t t t t + …………（2 分） 14、解两边乘以 2 1 ( ) x ，方程化为 2 2 ( ) 0 ( ) x xx x x − − = ……………（3 分） 于是有 1 x x c x − = ， 1 c 为任意的常数…（2 分） 即 1 x c dx dt x − = ，有 1 2 x c x t c − = + ln | | ， 1 2 c c, 为任意的常数 另外当 x = 0 时， x c = 也是解…（3 分） 三、应用题（10 分） 15．解：令 x t u − = ，则 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) x x x x tf x t dt x u f u du x f u du uf u du − = − − …（2 分） 对原方程两边求导有 0 ( ) 1 ( ) x f x f u du = + …………（2 分） 两边再求导有 f x f x ( ) ( ) = ，而且满足 f (0) 1 = …………（3 分） 解得 ( ) x f x e = …………（3 分） 四、(16)证明：令 = = t t t e te t e t 2 2 2 2 1 , ( ) 0 ( ) ，则有 = + = = = t t t t t t e t e e t e t e e t 2 2 2 2 ' 2 2 2 ' 1 0 2 2 1 2 (2 1) , ( ) 0 2 0 2 1 0 2 ( )
所以Φ()是方程组的解矩阵… ….。(2分) 又由于detD(t)=e,从而D(t)是方程组的基解矩阵…(2分) (17)解： Φ() 0 由此得Φ'(O)=E，从而对应的齐线性微分方程组满足初值条件P,(O) 的解为 a0=oa-gg-} .…(3分) 另一方面，满足初值条件(0)= 00 的解为 vo-io 0f-6e月 …..(3分) 所以满足初值条件的解为p()=p,()+(0 五、证明题：（第18小题6分，第19小题10分，共16分） 18、证明：如果y=p,(x)和y=p2(x)是二阶线性齐次方程 y”+q(x)y=0 的解，则由其朗斯基行列式为W(0,(x),p,(x)可得 W'= p,(x)p(x)_p,(x) p2(x) =0,…(4分) p,(x)p,(x)-q(x)p,(x)-q(x)p,(x) 从而W(x)三C,其中C为常数.…(2分)
所以 (t) 是方程组的解矩阵………………………………………………………..（2 分） 又由于 t t e 4 det( ) = ，从而 (t) 是方程组的基解矩阵………………………（2 分） (17)解： t e t t 1 2 0 1 1 ( ) − − − = . 由此得 = E − (0) 1 ，从而对应的齐线性微分方程组满足初值条件 − = 1 1 (0) h 的解为 . 1 1 1 1 0 ( ) ( ) 2 2 2 2 t t t t h e t e e te t t − − = − = = ………（3 分） 另一方面，满足初值条件 = 0 0 (0) 的解为 e ds e s e e te t s s t t t t 2 2 0 2 2 2 0 0 1 1 0 ( ) − − = − = − = t t e e te ds s e e te t t t t t t t 2 0 1 0 2 2 2 2 2 0 2 2 t e t t 2 2 2 = .…………………………………………..（3 分） 所以满足初值条件的解为 t h e t t t t t t 2 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) − − + = + = .…………………（2 分） 五、证明题：（第 18 小题 6 分，第 19 小题 10 分，共 16 分） 18、证明：如果 ( ) 1 y = x 和 ( ) 2 y = x 是二阶线性齐次方程 y + q(x) y = 0 的解，则由其朗斯基行列式为 ( ( ), ( )) 1 2 W x x 可得 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 " 2 '" 1 ' 1 2 = − − = = q x x q x x x x x x x x W ，…………（4 分） 从而 W (x) C ，其中 C 为常数.…………………………………………（2 分）
19、证明：设y(x),y2(x)是方程的两个解，则它们在(-0，+∞)上有定义，其朗斯基行列式 为 W(x)= (x)y2(x) …(3分) y(x)(x) 由己知条件，得 W(x)= y(x)2(x_ 0 0 =0…(2分) y(xo)y2(xo)y(xo)y2(xo) 故这两个解是线性相关的. 由线性相关定义，存在不全为零的常数C1,2,使得 1y1(x)+a22(x)=0,x∈(-0+0) 由于y(x)≠0，可知a2≠0.否则，若a2=0,则有ay(x)=0,而y(x)≠0，则a,=0, 这与乃(x),2(x)线性相关矛盾.…(3分) 故，()）=-y()=Cy(0)…(2分 a
19、证明：设 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 是方程的两个解，则它们在 (−, + ) 上有定义，其朗斯基行列式 为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 y x y x y x y x W x = ………（3 分） 由已知条件，得 0 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 0 = = = y x y x y x y x y x y x W x ………（2 分） 故这两个解是线性相关的． 由线性相关定义，存在不全为零的常数 1， 2 ，使得 1 y1 (x) +2 y2 (x) = 0， x (−, + ) 由于 y1 (x) 0 ，可知 2 0 ．否则，若 2 = 0 ，则有 1 y1 (x) = 0 ，而 y1 (x) 0 ，则 1 = 0 ， 这与 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 线性相关矛盾．…………………（3 分） 故 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 y x = − y x = Cy x …………………（2 分
