宁德师专《常微分方程》期末考试卷(17) 姓名 班级 座号 成绩 一，填空题：（每小题3分，8×3=24分） 1.方程M(x,y)d+N(x,y)=0是恰当方程的充要条件是」 2.方程少=V了+1满足解的存在唯一性定理条件的区域是 dx 3.厂，(x,y)连续是保证f(x,y)对y满足李普希兹条件的条件. 4.若y=p()在（←∞，十0）上连续，则方程业=0(xy的任一非零解一_与x轴 dx 相交 5.n阶非齐次线性微分方程线性无关解的个数最多为 6.函数组9，(x),p2(x),…,p(x)在区间I上线性相关的_条件是它们的朗斯基 行列式在区间I上恒等于零. 7.两个不同的线性齐次微分方程组相同的基本解组. 8.以t,e'为基本解组的二阶齐线性微分方程为 二.求下列微分方程的通解：（每小题8分，8×5=40分） 1.3 =1+x+y2+xy d 2.[y-x(x2+y2)]d-xd=0 dy 3.的+x9 dx 0 4.y"+(y)2+2x=0 5.设a,(t),a2(t),f(t)在[a,b]上连续，且(t),42(t),4(t)是微分方程 x”+a,(t)x'+a2(t)x=f(t)在[a,b]上的三个线性无关解，试求该方程的通解 三. 设连续函数fx)满足：f(0dt=x+fx-h,求函数fx)。(10分) 四.求解下列微分方程组
宁德师专《常微分方程》期末考试卷(17) 姓名____________班级________座号__________成绩 一. 填空题：（每小题 3 分，8×3=24 分） 1. 方程 M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) 0 + = 是恰当方程的充要条件是 . 2. 方程 1 d d = y + x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 . 3. f (x, y) y 连续是保证 f (x, y) 对 y 满足李普希兹条件的 条件． 4. 若 y = (x) 在 (−, + ) 上连续，则方程 x y x y ( ) d d = 的任一非零解 与 x 轴 相交. 5. n 阶非齐次线性微分方程线性无关解的个数最多为 . 6 . 函数组 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x x x n 在区间 I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基 行列式在区间 I 上恒等于零． 7. 两个不同的线性齐次微分方程组 相同的基本解组. 8. 以 t t, e 为基本解组的二阶齐线性微分方程为 . 二. 求下列微分方程的通解：（每小题 8 分，8×5=40 分） 1． 2 2 1 x y xy dx dy = + + + 2. [ ( )] 0 2 2 y − x x + y dx − xdy = 3. ( ) 0 2 + − y = dx dy x dx dy 4. ( ) 2 0 2 yy + y + x = 5. 设 ( ), ( ), ( ) 1 2 a t a t f t 在 [a,b] 上连续，且 ( ), ( ), ( ) 1 2 3 t t t 是微分方程 ( ) ( ) ( ) 1 2 x + a t x + a t x = f t 在 [a,b] 上的三个线性无关解，试求该方程的通解 三. 设连续函数 f (x) 满足： 0 0 ( ) ( ) x x f t dt x tf x t dt = + − ，求函数 f (x) 。（10 分） 四.求解下列微分方程组
dx=4x-3y d 调足初始条件O)三1 的解。(10分) =2x-y d 五.证明题：（每小题8分，8×2=16分） 1.在方程y"+p(x)y'+q(x)y=0中，若p(x),q(x)在(-o,+oo)上连续，且存在 x。∈(-0，+∞)使该方程的两个解乃(x),y(x)同时在x。处取极值，试证明y(x),y2(x)不 能是该方程的基本解组. 2.设f(x)在[0，+oo)上连续，且limf(x)=0,求证：方程 dy+y=f(x) dx 的一切解y(x),均有limy(x)=0. X++00
4 3 2 dx x y dt dy x y dt = − = − 满足初始条件 − = 1 1 (0) 的解。（10 分） 五. 证明题： （每小题 8 分，8×2=16 分） 1． 在方程 y + p(x) y + q(x) y = 0 中，若 p(x), q(x) 在 (−,+) 上连续，且存在 ( , ) x0 − + 使该方程的两个解 ( ), ( ) 1 2 y x y x 同时在 0 x 处取极值，试证明 ( ), ( ) 1 2 y x y x 不 能是该方程的基本解组. 2. 设 f (x) 在 [0, + ) 上连续，且 lim ( ) = 0 →+ f x x ，求证：方程 ( ) d d y f x x y + = 的一切解 y(x) ，均有 lim ( ) = 0 →+ y x x ．
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(17) 评分标准既参考答案 一、填空题：（每小题3分，8×3=24分） 1. OM ON 2.y>0的上半平面 3.充分条件 dy ax 4.不会 5.n+1 6.必要条件 7.没有 8.(t-1)x"-tx'+x=0 二.求下列微分方程的通解：（每小题8分，8×5=40分） 1、解：将方程变形为 =0+x)0+y) …(2分) dr 变量分离 1+=(c+1d 1 …(3分) 两边积分artgy=产+x+c,c为任意常数 …(3分) 2、解：原方程可变形为yk-xdy-x(x2+y2)d=0 …(2分) 1 1 于是u= 是积分因子，将= 乘以方程的两边 …(3分) x2+y2 x2+y2 得a-xd -xdx=0 x2+y2 故原方程的通解为arcg二一 …(3分) 3、解：令 =p,方程变为y=p+px …(2分) dx 两边关于x求导，有p=(2p+x) 迎+P' …(2分) dx 得迎=0或p=-X …(2分) 2 由坐=0得p=c,从而y=c2+cx,c为任意常数， dx 由p=方得)y=-子 …(2分) 4 4、解：原方程可变形为
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(17) 评分标准既参考答案 一、填空题：（每小题 3 分，8×3=24 分） 1. M N y x = 2. y 0 的上半平面 3. 充分条件 4. 不会 5. n+1 6. 必要条件 7. 没有 8. ( 1) 0 t x tx x − − + = 二. 求下列微分方程的通解：（每小题 8 分，8×5=40 分） 1、解：将方程变形为 2 (1 )(1 ) dy x y dx = + + ……（2 分） 变量分离 2 1 ( 1) 1 dy x dx y = + + … （3 分） 两边积分 1 2 2 arctgy x x c = + + ，c 为任意常数 ……（3 分） 2、解：原方程可变形为 2 2 ydx xdy x x y dx − − + = ( ) 0 ……（2 分） 于是 2 2 1 u x y = + 是积分因子，将 2 2 1 u x y = + 乘以方程的两边 …… （3 分） 得 2 2 0 ydx xdy xdx x y − − = + 故原方程的通解为 1 2 2 x arctg x c y − = ……（3 分） 3、解：令 dy p dx = ，方程变为 2 y p px = + ……（2 分） 两边关于 x 求导，有 (2 ) dp p p x p dx = + + ， … （2 分） 得 0 dp dx = 或 2 x p = − … （2 分） 由 0 dp dx = 得 p c = ，从而 2 y c cx = + ，c 为任意常数， 由 2 x p = − 得 2 4 x y = − . … （2 分） 4、解：原方程可变形为
(0y)y+(x2y=0 (2分) 于是有y+x2=c,即ydy+xd=cd …(3分) 故原方程的通解为3y2-2x3=Gx+C2 (3 分) 5、解：由解的性质知 4()-4(),4()-4()是对应齐次方程的两个解， …(2 分) 令C(4(t)-4()+c(4(t)-4(t)=0,即 C4()+c24()-(G+C2)4(t)=0 由于4(t),4(t),4()是线性无关的， 从而4()-4()与4()-4()也是线性无关的， (3分) 故原方程的通解为x()=G(4()-()+C2(4()-4()+4() (3分) 三、解：令x-t=u,则 f(x-t)dr=(x-u)f(udu …(2分) -xf(udu-uf(u)du 对原方程两边求导有 fx)=l+0fωad …(2分) 两边再求导有 f'(x)=f(x),而且满足f(0)=1 …(3分) 解得f(x)=e …(3分) 四、解：42 4 -37 -1 其特征多项式 -42-*2=0.=名=2 …(2分)
2 ( ) ( ) 0 yy x + = ………………（2 分） 于是有 2 yy x c + = ，即 2 ydy x dx cdx + = …（3 分） 故原方程的通解为 2 3 1 2 3 2 y x c x c − = + …………………… （3 分） 5、解：由解的性质知 2 1 3 1 ( ) ( ), ( ) ( ) t t t t − − 是对应齐次方程的两个解， …（2 分） 令 1 2 1 2 3 1 c t t c t t ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 0 − + − = ，即 1 2 2 3 1 2 1 c t c t c c t ( ) ( ) ( ) ( ) 0 + − + = 由于 1 2 3 ( ), ( ), ( ) t t t 是线性无关的， 从而 2 1 ( ) ( ) t t − 与 3 1 ( ) ( ) t t − 也是线性无关的， … （3 分） 故原方程的通解为 1 2 1 2 3 1 1 x t c t t c t t t ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) = − + − + （3 分） 三、 解：令 x t u − = ，则 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) x x x x tf x t dt x u f u du x f u du uf u du − = − − …（2 分） 对原方程两边求导有 0 ( ) 1 ( ) x f x f u du = + … （2 分） 两边再求导有 f x f x ( ) ( ) = ，而且满足 f (0) 1 = …（3 分） 解得 ( ) x f x e = …（3 分） 四、解： 4 3 2 1 A − = − ，其特征多项式 2 4 3 2 1 I A 3 2 0 − − + − = = − + = ， 1 2 = = 1, 2 …（2 分）
当入=1时对应的特征向量为y 3) 当乃2=2时对应的特征向量为%= (3分) 2 所以基解矩阵 e" 2e …(2分) 于是满足初始向量的解为 (t)=(t)Φ(0)n …(3分) 5e-6e2 L5e'-4e2 五、证明题： 三.证明：因为方程的两个解y(x),y2(x)同时在x,处取极值， 所以y(x)=2(x)=0, …(2分) 于是(x),y,(x)构成的伏朗斯基行列式 y(x) y,(x) W(x)= y'(x)y2'(x) 在x处的值W(x)=0, (3分) 故y(x),y2(x)不可能是该方程的基本解组 …(3分) 四.证明：设y=y(x)是方程的任一解， 满足y(x。)=y。,则该解的表达式为 ()(s) … (2 分) 两边取极限
当 1 =1 时对应的特征向量为 1 1 1 v = 当 2 2 = 时对应的特征向量为 1 3 2 v = （3 分） 所以基解矩阵 2 1 2 2 2 3 2 3 ( ) , ( ) 2 t t t t t t t t e e e e t t e e e e − − − − − − = = − … （2 分） 于是满足初始向量的解为 1 2 2 2 2 2 3 1 1 5 5 ( ) ( ) (0) 3 1 2 1 6 = 4 t t t t t t t t e e t t e e e e e e − − − = − = − − ……… （3 分） 五、证明题： 三. 证明：因为方程的两个解 1 2 y x y x ( ), ( ) 同时在 0 x 处取极值， 所以 1 0 2 0 y x y x ( ) ( ) 0 = = ， … （2 分） 于是 1 2 y x y x ( ), ( ) 构成的伏朗斯基行列式 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y x y x W x y x y x = 在 0 x 处的值 0 W x( ) 0 = ， （3 分） 故 1 2 y x y x ( ), ( ) 不可能是该方程的基本解组. … （3 分） 四. 证明：设 y = y(x) 是方程的任一解， 满足 0 0 y(x ) = y ，则该解的表达式为 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) e e ( )e d x x x x x s x x y x y f s s − − − − − = + …………… （2 分） 两边取极限
lim y(x)=lim yoe-()+lim ∫fse-wd, e-而 …(3 f(s)eds =0+lim K)十00 e-6 分) 0, 若∫fe-ds< m e。=0,若∫fs-sds=n f(x)e(x-%) 故对一切y(x),均有limy(x)=0. …(3分)
0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( )e d lim e =0+ lim ( ) lim e ( )e d lim e x s x x x x x x x x x x s x x x x x f s s y x y f s s − →+ − − − →+ →+ − →+ − = + … （3 分） = 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0, ( )e d ( )e lim 0, ( )e d e s x x x x s x x x x x f s s f x f s s − − − →+ − = = 若 若 故对一切 y x( ) ，均有 lim ( ) 0 x y x → = . … （3 分）