宁德师专《常微分方程》期末考试卷(19) 姓名 班级 座号 成绩 一、填空题：（每小题3分，10×3=30分） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的微分方 程是 2、方程y”-x2y”-x3=1的通解中含有任意常数的个数为 3、方程M(x,y)dr+N(x,y)dy=0有积分因子u=u(y)的充要条件为一 4、∫(x,y)连续是保证f(xy)对y满足李普希兹条件的一条件. 5、方程少=Smx·cOsy满足解的存在唯一性定理条件的区域是 dx 6、若y=p,(x),y=P2(x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 (有或无)共同 零点. 7、设y(x)=cy(x)+y2(x)+y,(x)是方程y+y+y=1的通解，则1imy(x)=一 8、已知y(x)是二阶齐次线性微分方程y"+a(x)y+b(x)y=0的一个非零解，则与y,(x)线性 无关的另一解y2(x)=一 9、设入，是阶常系数齐次线性方程特征方程的K重根，则该方程相应于，的K个线性无关解 是 10、线性微分方程组 =AY的解，⅓y.)是的基本解组的充要条件 dx 是 二、求下列微分方程的通解：（每小题8分，8×5=40分） 1、=y-y dx 2、（y-3x2)dk-(4y-x)dy=0 3、y"-2y-3y=3x+1 4、x"+x=sint-cos2t 5、求解方程y"-(y2=0
宁德师专《常微分方程》期末考试卷(19) 姓名____________班级________座号__________成绩 一、填空题：（每小题 3 分，10×3=30 分） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的微分方 程是 . 2、方程 2 5 y x y x − − = 1 的通解中含有任意常数的个数为 . 3、方程 M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0 有积分因子 u u y = ( ) 的充要条件为 . 4、 f (x, y) y 连续是保证 f (x, y) 对 y 满足李普希兹条件的 条件． 5、方程 x y x y sin cos d d = 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 6、若 ( ), ( ) 1 2 y = x y = x 是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 (有或无)共同 零点． 7、设 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) p y x c y x cy x y x = + + 是方程 y y y + + =1 的通解，则 lim ( ) x y x →+ = . 8、已知 1 y x( ) 是二阶齐次线性微分方程 y a x y b x y + + = ( ) ( ) 0 的一个非零解，则与 1 y x( ) 线性 无关的另一解 2 y x( ) = . 9、设 0 是 n 阶常系数齐次线性方程特征方程的 K 重根，则该方程相应于 0 的 K 个线性无关解 是 . 10 、 线性 微 分方 程组 ( ) dY A x Y dx = 的 解 1 2 ( ), ( ) ( ) n y x y x y x 是 的 基 本解 组 的充 要条 件 是 . 二、求下列微分方程的通解：（每小题 8 分，8×5=40 分） 1、 2 2 dy x xy y dx = − 2、 2 ( ) ( ) y x dx y x dy − − − = 3 4 0 3、 y y y x − − = + 2 3 3 1 4、 x x t t + = − sin cos2 5、求解方程 2 yy y − = ( ) 0．
三、求初值问题 dy=x+y d赵 R:x≤1，≤1的解的存在区间，并求第二次近似解，给出 y(0)=0 在解的存在区间的误差估计.(10分) 四、求解微分方程组 dx =x+2y+e' dt 满足初始条件(0)=0的解.(10分) dy =4x+3y dr 五、证明题：(10分) 设y(x),y2(x)是方程 y"+p(x)y'+q(x)y=0 的解，且满足(x)=2(x)=0,y(x)≠0，这里p(x),9(x)在(-0，+o)上连续， x。∈(-0，+∞).试证明：存在常数C使得y2(x)=Cy(x)
三、求初值问题 2 2 (0) 0 dy x y dx y = + = R x y : 1, 1 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出 在解的存在区间的误差估计.（10 分） 四、求解微分方程组 d 2 d d 4 3 d x t x y e t y x y t = + + = + 满足初始条件 (0) 0 = 的解. （10 分） 五、证明题：（10 分） 设 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 是方程 y + p(x) y + q(x) y = 0 的解，且 满足 ( ) 1 0 y x = ( ) 2 0 y x =0， y1 (x) 0 ，这里 p(x), q(x) 在 (−, + ) 上连续， ( , ) x0 − + ．试证明：存在常数 C 使得 ( ) 2 y x =C ( ) 1 y x ．
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(19) 评分标准既参考答案 一、填空题：（每小题3分，10×3=30分） 1.2xy'=y-x 2. 3. -1M_aN)=) "N oy dx 4.充分条件 5.xoy平面 6.无 7.1 8. Le Ja dx 9. ew,xew,…,x-e 10.解组线性无关 二.求下列微分方程的通解：（每小题8分，8×5=40分） 1、解：将方程变形为 变=y-心2 …（2分) dx xx 令上=u,于是得x u =-2 (2分) x du dx 1 u≠0时， ,=,积分得= In|x|+c 从而y=1nlx+c …(2分) 另外=0，即y=0也是原方程的解 …(2分) 2、解：由于M=y-3x2,N=x-4y OM_ON=1 (3分) ay y 方程为恰当方程，分项组合可得 yax +xdx-3x'dx-4ydy =0 …(2分) 故原方程的通解为y-x3-2y2=c …(3分) 3、解：齐线性方程y”-2y-3y=0的特征方程为22-21-3=0
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(19) 评分标准既参考答案 一、填空题：（每小题 3 分，10×3=30 分） 1. 2xy y x = − 2. 3 3. 1 ( ) ( ) M N y N y x − − = 4. 充分条件 5. xoy 平面 6. 无 7. 1 8. ( ) 1 2 1 1 a x dx y e dx y − 9. 0 0 0 1 , , , x x x k e xe x e − 10. 解组线性无关 二. 求下列微分方程的通解：（每小题 8 分，8×5=40 分） 1、解：将方程变形为 2 ( ) dy y y dx x x = − ……… （2 分） 令 y u x = ，于是得 du 2 x u dx = − …… （2 分） u 0 时， 2 du dx u x = − ，积分得 1 ln | | u x c = + 从而 ln | | x y x c = + … （2 分） 另外 u = 0 ，即 y = 0 也是原方程的解 ………（2 分） 2、解：由于 2 M y x N x y = − = − 3 , 4 1 M N y y = = …………………… （3 分） 方程为恰当方程，分项组合可得 2 ydx xdx x dx ydy + − − = 3 4 0 ………… （2 分） 故原方程的通解为 3 2 xy x y c − − = 2 ……（3 分） 3、解：齐线性方程 y y y − − = 2 3 0 的特征方程为 2 − − = 2 3 0
特征根=-1,2=3 …(2分) 对于方程y”"-2y-3y=3x+1,因为入=0不是特征根， 故有特解y=Ax+B …(3分) 代入挤次方程，可得A=-1日-号 1 所以原方程的解为x=ce+C2e3x-x+】 …(3分) 4、解：线性方程x”+x=0的特征方程入2+1=0，故特征根 λ=±i …(2分) 对于f(t)=sint,因为入=i是一重特征根， 故有特解x=t(Acost+Bsint), 代入f+x=m1,可得A=-分B=0 …(2分) 对于5()=-cos21,因为入=2i不是特征根， 故有特解x=Acos2t+Bsin2t, 代入原方程x+x三-c0s21,可符得4=B=0 …(2分) 1 1 所以原方程的解为x=C cost+c2sint-二-tcost+二cos2t…(2分) 2 3 5、解：当y≠0时，方程两边乘以 户，则方程变为 …(2分) y-0y2=0, 即（心y=0 于是有'=G,即少=cdh …(3分) 故原方程的通解为ln|y=Cx+C 另外y=0也是原方程的解. …(3分) 三、解：M=maxf(x,y=2,x-x≤1=a,ly-o≤1=b, x
特征根 1 2 = − = 1, 3 …（2 分） 对于方程 y y y x − − = + 2 3 3 1 ，因为 = 0 不是特征根， 故有特解 y Ax B = + …（3 分） 代入非齐次方程，可得 1 1, 3 A B = − = . 所以原方程的解为 3 1 2 1 3 x x x c e c e x − = + − + …（3 分） 4 、 解 ： 线 性 方 程 x x + = 0 的特征方程 2 + =1 0 , 故特征根 =i ………………… （2 分） 对于 1 f t t ( ) sin = ，因为 = i 是一重特征根， 故有特解 x t A t B t = + ( cos sin ) , 代入 x x sin t " + = ，可得 , 0 2 1 A = − B = ……（2 分） 对于 2 f t t ( ) cos 2 = − ，因为 = 2i 不是特征根， 故有特解 x A t B t = + cos2 sin 2 ， 代入原方程 x x cos 2t " + = − ，可得 , 0 3 1 A = B = …（2 分） 所以原方程的解为 1 2 1 1 cos sin cos cos2 2 3 x c t c t t t t = + − + … （2 分） 5、解:当 y 0 时，方程两边乘以 2 1 y ，则方程变为 … （2 分） 2 2 ( ) 0 yy y y − = ， 即 ( ) 0 y y = 于是 有 1 y c y = ，即 1 dy c dx y = …… （3 分） 故原方程的通解为 1 2 ln | | y c x c = + 另外 y = 0 也是原方程的解. … （3 分） 三、解： ( , ) max ( , ) 2 x y R M f x y = = , x − x0 1= a, y − y0 1= b
b、 h=min(.M) 解的存在区间为-x=内≤h=习 …(3分) 即 令p(x)=y%=0 g(=0+0xd= 3 …(4分) 又 =2川≤2=L 误差估计为：②)-9(y524”= (3分) 6 四、解：方程组的特征方程为 4-2E= -2=2-4-5=0 43-元 特征根为 2=-1,22=5, (2分) 入=-1对应的特征向量应满足 可解得41=l,b=-1 类似九=5对应的特征向量分量为42=1，b,=2 …(3分) 原方程组的的基解矩阵为 ΦD(t)= -e2e (2分)
1 min( , ) 2 b h a M = = 解的存在区间为 0 1 2 x x x h − = = … （3 分） 即 1 1 2 2 − x 令 0 (x) = y0 = 0 3 2 1 0 ( ) 0 3 x x x x dx = + = 3 3 7 2 2 2 0 ( ) 0 ( ) 3 3 63 x x x x x x dx = + + = + …… （4 分） 又 2 2 f y L y = = 误差估计为： 2 2 1 2 1 ( ) ( ) (2 1)! 6 ML x x h + − = + （3 分） 四、解：方程组的特征方程为 2 1 2 4 5 0 4 3 A E − − = = − − = − 特征根为 1 2 = − = 1, 5 ， （2 分） =−1 对应的特征向量应满足 1 1 2 2 0 4 4 0 a b = 可解得 1 1 a b = = − 1, 1 类似 = 5 对应的特征向量分量为 2 2 a b = = 1, 2 …（3 分） 原方程组的的基解矩阵为 5 5 e e ( ) e 2e t t t t t − − = − 1 5 5 1 2e -e ( ) 3 e e t t t t t − − − = ………………… （2 分）
(0=Φ()Φ'(s)f(s)ds g[6 …(3分) 五、证明题：(10分) 证明：设y,(x),y2(x)是方程的两个解，则它们在(-0，+o)上有定义，其朗斯基行 列式为 W(x)= y(x)v2(x) y(x)(x) …(3分) 由己知条件，得 W(x)= (xo)2(x)o 0 =0 …(2分) y(xo)y2(xo)(x)(xo) 故这两个解是线性相关的， 由线性相关定义，存在不全为零的常数∝，C2,使得 ay1(x)+a2y2(x)=0,x∈(-0，+∞) 由于y(x)≠0，可知C2≠0.否则，若a2=0,则有ay,(x)=0,而y(x)≠0， 则a=0,这与y(x),y2(x)线性相关矛盾. (3分) 故，()=-4()=C(x) (2分) a
1 0 5 5 5 5 0 3 1 5 4 4 3 1 5 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 e e 2 = 3 e 2e 0 1 = 3 t t t s s s t t t s s t t t t t t t t s f s ds e e e ds e e e e e e e e − − − − − − − = − − − + − + − ………（3分） 五、证明题：(10 分) 证明：设 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 是方程的两个解，则它们在 (−, + ) 上有定义，其朗斯基行 列式为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 y x y x y x y x W x = ………………… （3 分） 由已知条件，得 0 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 0 = = = y x y x y x y x y x y x W x ………………… （2 分） 故这两个解是线性相关的． 由线性相关定义，存在不全为零的常数 1， 2 ，使得 1 y1 (x) +2 y2 (x) = 0， x (−, + ) 由于 y1 (x) 0 ，可知 2 0 ．否则，若 2 = 0 ，则有 1 y1 (x) = 0 ，而 y1 (x) 0， 则 1 = 0 ，这与 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 线性相关矛盾． （3 分） 故 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 y x = − y x = Cy x （2 分）