宁德师专《常微分方程》期末考试卷(7) 姓名 班级 座号 成绩 一、 填空题（每小题3分，共30分）. 1.方程M(x,y)dr+N(x,y)d=0具有积分因子u=u(y)的充要条件为 2.若y=y(,y=,()是一阶线性非齐次方程少=pxy+g()的两个不同解，则用这两 d 个解可把其通解表示为： 3.若y=(x)在(-0，+o)上连续，则方程 =p(x)y的任一非零解（会或不会）与x轴相 dx 交 4.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的条件， 5.方程少=y'通过点1,1）的解为y= 1 ，其有定义的区间是。 dx 2-x 6.方程y=√1-y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是. 7.阶非齐次线性微分方程线性无关解的个数最多为. 8.用皮卡逐步逼近法求方程组X=A(t)X+f(t),X(to)=n的近似解时，则 p(I)= 9.若D(t)和Ψ(t)都是X'=A(t)X的基解矩阵，则Φ(t)和Ψ(t)具有关系： 10.若D(t)是x=A(t)x的基解矩阵，则方程组x=A(t)x+f(t)满足初始条件p(to)=n的解 p(t)= 二、计算题（每小题8分，8×5=40分）. 人. 迎-1+y dx xy+x'y 2.求解方程2y+xy++(x2+y)=0. 3 3.已知方程y”+y'-3y=4e有一个解y(x)=xe,试求该方程的通解 4.xx"+(x')2=0
宁德师专《常微分方程》期末考试卷(7) 姓名____________班级________座号__________成绩 一、 填空题（每小题 3 分，共 30 分）. 1.方程 M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0 具有积分因子 u u y = ( ) 的充要条件为_______. 2.若 1 2 y y x y y x = = ( ), ( ) 是一阶线性非齐次方程 ( ) ( ) dy p x y q x dx = + 的两个不同解，则用这两 个解可把其通解表示为. 3.若 y = (x) 在 (−, + ) 上连续，则方程 x y x y ( ) d d = 的任一非零解（会或不会）与 x 轴相 交． 4.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的条件． 5.方程 2 d d y x y = 通过点(1,1)的解为 x y − = 2 1 ，其有定义的区间是． 6.方程 2 y y = −1 满足解的存在唯一性定理条件的区域是. 7. n 阶非齐次线性微分方程线性无关解的个数最多为. 8. 用 皮 卡 逐 步 逼 近 法 求 方 程 组 = ( ) + ( ), ( 0 ) = ' X A t X f t X t 的近似解时，则 k (t) =__________. 9.若 (t)和(t) 都是 X ' = A(t)X 的基解矩阵，则 (t)和(t) 具有关系：_____________. 10.若 (t) 是 x A(t)x ' = 的基解矩阵，则方程组 ( ) ( ) ' x = A t x + f t 满足初始条件 (t 0 ) = 的解 (t) =________. 二、计算题（每小题 8 分，8×5=40 分）. 1． dx dy = xy x y y 3 2 1 + + 2．求解方程 ) ( ) 0 3 (2 2 2 3 2 + + dx + x +y dy = y x y x y . 3．已知方程 x y + ay − 3y = 4e 有一个解 x y (x) = xe 1 ，试求该方程的通解 4． 2 xx x + = ( ) 0
5.求解方程x+x=sint. 三、求初值问题 =产-少R:下+≤b≤1的解的存在区间。并求第=次近似架，给出 d y(-1)=0 在解的存在区间的误差估计.(10分) 四、设A 试求方程组x'=Ax的基解矩阵，并求满足初始条件p(O)=7 的 解(t).(10分) 五、证明题(10分) 假设方程少=化x,)在全平面上满足解的存在唯一性定理条件，且(x),片()是定义在 dx 区间I上的两个解.求证：若y(xo)<y2(x),x。∈I,则在区间I上必有y(x)<2(x)成立
5．求解方程 " x x t + = sin . 三、求初值问题 − = = − ( 1) 0 2 2 y x y dx dy R : x +1 1, y 1 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出 在解的存在区间的误差估计.（10 分） 四、设 − = 1 4 2 1 A ，试求方程组 x Ax = 的基解矩阵，并求满足初始条件 1 (0) 1 = = − 的 解 ()t .（10 分） 五、证明题(10 分) 假设方程 ( , ) d d f x y x y = 在全平面上满足解的存在唯一性定理条件，且 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 是定义在 区间 I 上的两个解．求证：若 ( ) 1 0 y x < ( ) 2 0 y x ， x I 0 ，则在区间 I 上必有 ( ) 1 y x < ( ) 2 y x 成立．
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(7) 评分标准既参考答案 一、 填空题（每小题3分，共30分） OM ON 1.⊙ -=y).2.y=C(2(x)-y(x)+y(x) -M 3.不会与x轴相交4.充分条件 5.(-0,2)6.-1<y<1 7.n+18.p(t)=n+[As)p-(s)+f(s)]dk 9.t)=D(t)C (C为非奇异矩阵)10.()Φ6)川+()Φ-(s)f(s)ds 二、计算题（每小题8分，8×5=40分） 1.解：方程变形为 1+Rs y 1 d水…(2分) x(1+x2) 即= x2)…(3分 两边积分ln(1+y2)=lnx2-ln(1+x2)+c 故方程的通解为(1+y21+x2)=cx2…(3分) =2x+2+y=2x aM 2.解：因为 ay ’Ox 1 aM aN 从而 )=1…(2分) 所以方程有积分因子：(x)=e*…(2分) 方程两边同乘以e得： 2y+xy+d+e+三
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(7) 评分标准既参考答案 一、 填空题（每小题 3 分，共 30 分） 1. ( y). M x N y M = − − 2. 2 1 1 y c y x y x y x = − + ( ( ) ( )) ( ) 3.不会与 x 轴相交 4.充分条件 5. ( , 2) − 6. − 1 1 y 7. n+1 8. 0 1 ( ) [ ( ) ( ) ( )] t k k t t A s s f s ds = + + − 9． = ( ) ( ) t t C （ C 为非奇异矩阵）10. t t t s f s ds t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 − − + 二、计算题（每小题 8 分，8×5=40 分） 1.解：方程变形为 2 2 1 1 (1 ) y dy dx y x x = + + ……………………（2 分） 即 2 2 1 ( ) 1 1 y x dy dx y x x = − + + ……………………（3 分） 两边积分 2 2 2 1 ln(1 ) ln ln(1 ) + = − + + y x x c 故方程的通解为 2 2 2 (1 )(1 ) + + = y x cx ……（3 分） 2．解：因为 2 2 2 , 2 M N x x y x y x = + + = 从而 1 ( ) 1 M N N y x − = ……（2 分） 所以方程有积分因子： u(x) = x e ………（2 分） 方程两边同乘以 x e 得： x e 2 (2xy x y + + 3 2 2 ) ( ) 0 3 y x dx e x y dy + + =
[e(2xy+x2y)dx+e*xdy]+[exdx+ey dy]=0..... 故方程的解为exy+e =C.…(2分) 3 3.解：将y(x)=xe代入原方程可得 a=2…(2分) 对应齐次方程y”+2y'-3y=0的通解为 y=ce-3x+c,e…(3分) 故方程的解为y=cex+ce+xe…(3分) 4.解：方程变形为 (Xx）'=0…(2分) 由此可得xx'=C(2分) dx 即x =C,进而xd=Cdt…(2分) dt 所以原方程的解为)2=G1+G2-（2分) 2 5.解：齐线性方程x”+x=0的特征方程为入2+1=0 特征根入=±i(2分) 对于方程x”+x=snt,因为入=i是单特征根， 故有特解x=t(Acost+Bsint)…(3分) 代入x+x=sm,可得A三-)，B=0 所以原方程的解为x=c cost+CS1nt-一fcost(3分) 三、解：M=mx/xy以=4，k-xs1=ay-Wl≤l=b,h=ma, b、1 (x,y)ER 7)=4 解的布在区间为r-=+小sh=3分)
即［ 3 2 2 2 (2 ) ] [ ] 0 3 x x x x y e xy x y dx e x dy e dx e y dy + + + + = ……（2 分） 故方程的解为 3 2 3 x x y e x y e c + = ．…（2 分） 3．解：将 x y (x) = xe 1 代入原方程可得 a = 2…（2 分） 对应齐次方程 y y y + − = 2 3 0 的通解为 3 1 2 x x y c e c e − = + …（3 分） 故方程的解为 3 1 2 x x x y c e c e xe − = + + …（3 分） 4．解：方程变形为 ( ) 0 xx = …………（2 分） 由此可得 xx c = （2 分） 即 dx x c dt = ，进而 xdx cdt = …（2 分） 所以原方程的解为 2 1 2 1 2 x c t c = + …（2 分） 5.解：齐线性方程 x x + = 0 的特征方程为 2 + =1 0 特征根 =i （2 分） 对于方程 x x sin t " + = ，因为 = i 是单特征根， 故有特解 x t A t B t = + ( cos sin ) …（3 分） 代入 x x sin t " + = ，可得 , 0 2 1 A = − B = . 所以原方程的解为 1 2 1 cos sin cos 2 x c t c t t t = + − （3 分） 三、解： max ( , ) 4 ( , ) = = M f x y x y R , x − x0 1= a, y − y0 1= b， 4 1 = min( , ) = M b h a 解的存在区间为 4 1 x − x0 = x +1 h = （3 分）
4 令p(x)=yo=0 a树=0+x达=苦+月 =卜24≤2=L 腰差估过为)-心≤3分 24 因-:22-629-0 解得2=3（二重根）…(2分) 由公式整解矩阵ep41=e2产∑A-7沾y得2分) i=0 exp At=e[E+1(A-3E)] 6 (3分) ] 方程组满足初始条件0)=7-的解0 ()=(exp At)n= 42s 五、证明题(10分) 证明：仅证x≥x方向，（反之亦然). 假设存在x≥x。,使得以(x)>y2(x)(y(x)=y2(x)不可能出现，否则与解惟一矛盾) (2分)
即 4 3 4 5 − x − 令 0 (x) = y0 = 0 3 1 3 ( ) 0 3 1 2 1 = + = + − x x x dx x 42 11 3 63 18 9 ) 3 1 3 ( ) 0 ( 3 7 4 1 2 3 2 2 = − − − + = + − + − x x x x dx x x x x …（4 分） 又 y L y f = − = 2 2 误差估计为： 24 1 ( 1)! ( ) ( ) 1 2 = + − n+ n h n ML x x …（3 分） 四、解： 2 1 2 ( ) 6 9 0 1 4 p − − = = − + = − 解得 1,2 = 3 （二重根）…（2 分） 由公式基解矩阵 1 0 exp ( ) ! i t i i t At e A E i = = − 得…（2 分） 3 3 3 exp ( 3 ) 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 t t t At e E t A E e t t t e t t = + − − = + − − = − + …（3 分） 方程组满足初始条件 1 (0) 1 = = − 的解 ()t 3 3 1 1 1 2 ( ) (exp ) 1 1 1 2 t t t t t t At e e t t t − − = = = − + − − − …（3 分） 五、证明题(10 分) 证明：仅证 0 x x 方向，（反之亦然）． 假设存在 0 x x ，使得 ( ) 1 y x > ( ) 2 y x （ ( ) 1 y x = ( ) 2 y x 不可能出现，否则与解惟一矛盾） （2 分）
令(x)=y(x)-y2(x),那么 yxo)=y1(xo)-y2(xo)0…(4分) 由连续函数介值定理，存在x∈(x。,x),使得 y(x)=y(x)-y,(x)=0 即y(x)=y,(x)…(4分) 这与解唯一矛盾
令 y(x) = ( ) 1 y x - ( ) 2 y x ，那么 ( ) 0 y x = ( ) 1 0 y x - ( ) 2 0 y x 0…（4 分） 由连续函数介值定理，存在 ( , ) 0 * x x x ，使得 ( ) * y x = ( ) * 1 y x - ( ) * 2 y x =0 即 ( ) * 1 y x = ( ) * 2 y x …（4 分） 这与解唯一矛盾