宁德师专《常微分方程》期末考试卷(11) 姓名 班级 座号 成绩 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1.一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线。 2.二阶线性齐次微分方程的两个解y(x),y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是. 3.方程y”-2y'+y=0的基本解组是， 4.一个不可延展解的存在在区间一定是区间. 5.方程业=-少的常数解是。 dx 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6.方程业=x方+y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是(). dx (A)上半平面(B)xOy平面(C)下半平面(D)除y轴外的全平面 7.方程少=+1O奇解 dx (A)有一个(B)有两个(C)无(D)有无数个 8。∫0)连续可微是保证方程业=)解存在且唯一的)条件。 dr (A)必要(B)充分(C)充分必要(D)必要非充分 9.二阶线性非齐次微分方程的所有解(). (A)构成一个2维线性空间(B)构成一个3维线性空间 (C)不能构成一个线性空间(D)构成一个无限维线性空间 2 10.方程少=3y过点(0,0)有0. dx (A)无数个解(B)只有一个解(C)只有两个解(D)只有三个解 三、计算题（每小题6分，本题共30分） 求下列方程的通解或通积分： 1n.业=yhy dx 2 -的+y
宁德师专《常微分方程》期末考试卷(11) 姓名____________班级________座号__________成绩 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1．一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线． 2．二阶线性齐次微分方程的两个解 ( ), ( ) 1 2 y x y x 为方程的基本解组充分必要条件是． 3．方程 y − 2y + y = 0 的基本解组是． 4．一个不可延展解的存在在区间一定是区间． 5．方程 2 1 d d y x y = − 的常数解是． 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．方程 x y x y = + − 3 1 d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）． （A）上半平面（B）xoy 平面（C）下半平面（D）除 y 轴外的全平面 7.方程 1 d d = y + x y （）奇解． （A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个 8． f ( y) 连续可微是保证方程 ( ) d d f y x y = 解存在且唯一的（）条件． （A）必要（B）充分（C）充分必要（D）必要非充分 9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（）． （A）构成一个 2 维线性空间（B）构成一个 3 维线性空间 （C）不能构成一个线性空间（D）构成一个无限维线性空间 10．方程 3 2 3 d d y x y = 过点(0,0)有（）． (A)无数个解(B)只有一个解(C)只有两个解(D)只有三个解 三、计算题（每小题６分，本题共 30 分） 求下列方程的通解或通积分： 11. y y x y ln d d = 12. x y x y x y = − + 2 1 ( ) d d
13.=y+x dx 14.2xdx+(x2-y2)dy=0 15.y=xy'+2y3 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16.求方程y”-5y'=-5x2的通解. 17.求下列方程组的通解. dx 1 =y+ d sint dy =-x d 五、证明题（每小题10分，本题共20分） 18.设f(x)在[0，+oo)上连续，且limf(x)=0,求证：方程 dy+y=f(x) dx 的一切解y(x),均有limy(x)=0. 19.在方程y”+p(x)y'+q(x)y=0中，p(x),q(x)在(-0，+o)上连续，求证：若p(x)恒不 为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(x)是(-o,+∞)上的严格单调函数
13. 5 d d y xy x y = + 14． 2 d ( )d 0 2 2 xy x + x − y y = 15． 3 y = xy + 2(y ) 四、计算题（每小题 10 分，本题共 20 分） 16．求方程 2 y − 5y = −5x 的通解． 17．求下列方程组的通解． = − = + x t y t y t x d d sin 1 d d 五、证明题（每小题 10 分，本题共 20 分） 18．设 f (x) 在 [0, + ) 上连续，且 lim ( ) = 0 →+ f x x ，求证：方程 ( ) d d y f x x y + = 的一切解 y(x) ，均有 lim ( ) = 0 →+ y x x ． 19．在方程 y + p(x) y + q(x) y = 0 中， p(x), q(x) 在 (−, + ) 上连续，求证：若 p(x) 恒不 为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式 W (x) 是 (−, + ) 上的严格单调函数．
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(11) 评分标准既参考答案 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1.2 2.线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） 3.ex,xe* 4.开 5.y=±1 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6.D7.C8.B9.C10.A 三、计算题（每小题6分，本题共30分） 11.解当y≠0，y≠1时，分离变量取不定积分，得 ∫盘，-+ca 通积分为 hy=Cex(6分) 12.解令y=xu, 则少=u+x du , 代入原方程，得 dx dx x=- (3分) dx 分离变量，取不定积分，得 -停+hc(C0超积分为： du arcsin上-hCx(6分) 13.解方程两端同乘以y5,得 s =y4+x dx 令y=,则-4y5少= ,代入上式，得 dxdx -1d 4 dx -2=x(3分) 通解为
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(11) 评分标准既参考答案 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1．2 2．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） 3． x x e , xe 4．开 5． y = 1 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．D7．C8．B9．C10．A 三、计算题（每小题６分，本题共 30 分） 11．解当 y 0， y 1 时，分离变量取不定积分，得 x C y y y = + d ln d （3 分） 通积分为 x ln y = Ce （6 分） 12．解令 y = xu ，则 x u u x x y d d d d = + ，代入原方程，得 2 1 d d u x u x = − （3 分） 分 离 变 量 ， 取 不 定 积 分 ， 得 C x x u u ln d 1 d 2 = + − （ C 0 ） 通 积 分 为 ： Cx x y arcsin = ln （6 分） 13．解方程两端同乘以 −5 y ，得 y x x y y = + −5 −4 d d 令 y = z −4 ，则 x z x y y d d d d 4 5 − = − ，代入上式，得 z x x z − − = d d 4 1 （3 分） 通解为
1 z=Ce-4x-x+ 原方程通解为 y4 Ce-4x-x+ (6分) 14.解因为 OM aN 所以原方程是全微分方程.(2分) oy Ox 取(x。,y。)=(0,0),原方程的通积分为 ∫2dr-yd=C4分) 即x=C6分y 15.解原方程是克莱洛方程，通解为 y=Cx+2C3(6分)四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16.解对应齐次方程的特征方程为22-5入=0， 特征根为元=0，元2=5，齐次方程的通解为y=C,+C,ex(4分) 因为=0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 乃(x)=x(Ax2+Bx+C)(6分) 代入原方程，比较系数确定出 2 5 原方程的通解为 1 y=CI+C2ess+xx2 +25x(10分) 17.解先解出齐次方程的通解 x cost =C +C2 sin t (4分) -sint cost 令非齐次方程特解为 图-coce C1(t),C2(t)满足
4 1 e 4 = − + − z C x x 原方程通解为 4 1 e 4 4 = − + − − y C x x （6 分） 14．解因为 x N x y M = = 2 ，所以原方程是全微分方程．（2 分） 取 ( , ) (0, 0) x0 y0 = ，原方程的通积分为 xy x y y C x y − = 0 2 0 2 d d （4 分） 即 x y − y = C 2 3 3 1 （6 分） 15．解原方程是克莱洛方程，通解为 3 y = Cx + 2C （6 分）四、计算题（每小题 10 分，本题共 20 分） 16．解对应齐次方程的特征方程为 5 0 2 − = ， 特征根为 1 = 0，2 = 5 ，齐次方程的通解为 x y C C 5 1 2 = + e （4 分） 因为 = 0 是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 ( ) ( ) 2 y1 x = x Ax + Bx +C （6 分） 代入原方程，比较系数确定出 3 1 A = ， 5 1 B = ， 25 2 C = 原方程的通解为 y C C x x x x 25 2 5 1 3 1 e 5 3 2 = 1 + 2 + + + （10 分） 17．解先解出齐次方程的通解 + = t t C t t C y x cos sin -sin cos 1 2 （4 分） 令非齐次方程特解为 + = t t C t t t C t y x cos sin ( ) -sin cos ( ) ~ ~ 1 2 ( ), ( ) 1 2 C t C t 满足
cost sint7 GO- sint (6分) 解得C'0=c0s1,C,')=1 sint 积分，得C(t)=n sin t,C2(t)=t 通解为 [-c[ae[a costInsin t+tsin t (10分)五、证明题（每小题 cost sintIn sint+tcost 10分，本题共20分) 18.证明设y-y(x)是方程任一解，满足(xo)=y。,该解的表达式为 x)= ∫fsje-ds ex-to (4分) ex-to 取极限 lim y(x)=limo+lim ∫foe-wds 1r￥+00 +oe-0 x→40 e 0, 若∫f6e-ds0或W'(x)<0故W(x)是(-o,+oo)上的严格单调函数.(10分)
= − 0 sin 1 ( ) ( ) sin cos cos sin 2 1 t C t C t t t t t （6 分） 解得 , ( ) 1 sin cos ( ) 1 2 = = C t t t C t 积分，得 C (t) ln sin t 1 = ，C (t) = t 2 通解为 + + + + = t t t t t t t t t t C t t C y x -sin ln sin cos cos ln sin sin cos sin -sin cos 1 2 （10 分）五、证明题（每小题 10 分，本题共 20 分） 18．证明设 y = y(x) 是方程任一解，满足 0 0 y(x ) = y ，该解的表达式为 0 0 0 0 e ( )e d e ( ) ( ) 0 x x x x s x x x f s s y y x − − − = + （4 分） 取极限 0 0 0 0 e ( )e d lim e lim ( ) lim ( ) 0 x x x x s x x x x x x f s s y y x − − →+ − →+ →+ = + = = = + − − − →+ − 0 0 0 0 0 0 0, ( )e d e ( )e lim 0, ( )e d 0 ( ) ( ) ( ) x s x x x x x x x s x f s s f x f s s 若 若 （10 分） 19．证明设 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 是方程的基本解组，则对任意 x (−, + ) ，它们朗斯基 行列式在 (−, + ) 上有定义，且 W (x) 0 ．又由刘维尔公式 ( , ) x0 − + （5 分） ( ) ( )e ( ) x 0 ( )d 0 W x W x p x x p s s = − 由于 W(x0 ) 0， p(x) 0 ，于是对一切 x (−, + ) ，有 W (x) 0 或 W (x) 0 故 W (x) 是 (−, + ) 上的严格单调函数．（10 分）