宁德师专《常微分方程》期末考试卷(14) 姓名 班级 座号 成绩 填空题(5×6=30) 1、形如 的方程，称为变量分离方程，这里.f(x),p(y)分别为x,y的连续函数， 2、形如 的方程，称为伯努利方程，这里P(x),Q(x)为r的连续函数，n≠0,1引入变 量变换 可化为线性微分方程， 3、方程Mx,yk+W(x,y)=0它有只含x的积分因子的充要条件是 ,有只含y的 积分因子的充要条件是 4、如果存在常数L>0,使得不等式 对于所有(x,),(x,y2)∈R都成立，称函数 f(x,y)在R上关于y满足利普希兹条件，其中L为利普希兹常数. 5、形如 的方程，称为欧拉方程，这里41,42，…，an是常数. 6、设(t)是x'=Ax的基解矩阵，p(t)是x'=A(t)x+f(t)的某一解，则它的任一解 (t)可表为 二、 求下列方程的通解(10×4=40) 1、求方程少=6上-的通解。 dx x 2、求方程少+上=e”的通解. dx x 3、求方程x"+6x+5x=e21的通解. 4、y26y-1)=(2-2 三、 求方程少=x+y通过点(0,0)的第三次近似解.(10) dx 四、 证明题(10×2=20) [01 1、试验证Φ(t) 在任何不包含原点的区间 2t 是方程组x= a≤t≤b上的基解矩阵
宁德师专《常微分方程》期末考试卷(14) 姓名____________班级________座号__________成绩 一、 填空题 (5×6=30) 1、形如 的方程，称为变量分离方程，这里. f x y ( ), ( ) 分别为 x y, 的连续函数. 2、形如 的方程，称为伯努利方程，这里 P x Q x x ( ), ( )为 的连续函数, n 0,1 引入变 量变换 可化为线性微分方程. 3、方程 M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 它有只含 x 的积分因子的充要条件是________,有只含 y 的 积分因子的充要条件是__________. 4、如果存在常数 L 0 ,使得不等式 对于所有 1 2 （x y x y R , ), ( , ) 都成立，称函数 f (x, y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件，其中 L 为利普希兹常数. 5、形如 的方程，称为欧拉方程，这里 1 2 , , n a a a, 是常数. 6 、 设 (t)是x = Ax的基解矩阵，(t)是 x = A(t)x + f (t) 的某一解，则它的任一解 (t)可表为 . 二、 求下列方程的通解(10×4=40) 1、 求方程 2 6 dy y xy dx x = − 的通解. 2、 求方程 xy e x y dx dy + = 的通解. 3、 求方程 t x x x e 2 ' '+6 '+5 = 的通解. 4、 ( ) ( ) 2 2 y y −1 = 2 − y 三、 求方程 2 0 0 dy x y dx = + 通过点（ ,）的第三次近似解.（10） 四、 证明题（10×2=20） 1、试验证 2 ( ) 2 1 t t t t = 是方程组 2 0 1 x x 2 2 t t = − ， 1 2 x x x = ，在任何不包含原点的区间 a t b 上的基解矩阵
2、设Φ(t)为方程组x'=Ax(A为×n的常数矩阵)的标准基解矩阵（即Φ(O)=E),证明： Φ(t)Φ(0)=(t-t),其中1。为某一值
2、设 (t) 为方程组 x Ax = （ A 为 n n 的常数矩阵）的标准基解矩阵（即 = (0) E ），证明: ( ) ( ) 1 0 t t t 0 ( ) − = − ，其中 0 t 为某一值
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(14) 评分标准既参考答案 一、空题(5×6=30) 1、 =f(x)o(y) dx 2、=Pxy+0(xy z=pln dx aMxy)）aW(k,y) aM(x,y)aN(x,y) 3、、 dy ，、 Cy ax一=p(y) N ax一=px -M 4、f(x)-f(x,y2)|≤L4-2| 、d dxm dxn-1 +…+an-1 +ary=0 d 6、y(t)=(t)C+p(t),C为常向量 二、求下列方程的通解(10×4=40) 1、解这是n=2时的伯努利方程，两边除以y2,有 y=6-x …(3分) d 令2=y,算得 =-v24y dz ….(5分) dx dx 代入原方程得到生-6 z+x,这是线性方程，求得它的通解为 dx x 2=c x2 +8 ….(8分) 带回原来的变量y,得到1.C+ 到+ 或者 =c,这就是原方程的解.此外方 y 8 程还有解y=0. …..(10分) 2,解 =e-上=e"-y .(2分) dx xx xdy=(xe-y)dx xdy ydx xex dx ….(5分) dxy=xe dx
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(14) 评分标准既参考答案 一、空题(5×6=30) 1、 f (x) ( y) dx dy = 2、 n P x y Q x y dx dy = ( ) + ( ) z= n y 1− 3、 ( ) ( ) (x) N x N x y y M x y = − , , ， ( ) ( ) (y) M x N x y y M x y = − − , , 4、 ( , ) ( , ) 1 2 f x y − f x y 1 2 L y − y 5、 1 0 1 1 1 + 1 + + − + = − − − a y dx dy a x dx d y a x dx d y x n n n n n n n n 6、 ( ) ( ) ( ) t t C t = + ，C 为常向量 二、求下列方程的通解(10×4=40) 1、解 这是 n = 2 时的伯努利方程，两边除以 2 y ，有 1 2 6 dy y y x dx x − − = − ……(3 分) 令 1 z y − = ,算得 dx dy y dx dz −2 = − ……..(5 分) 代 入 原 方 程 得 到 z x dx x dz = − + 6 ， 这 是 线 性 方 程 ， 求 得 它 的 通 解 为 2 6 8 c x z x = + ………………..(8 分) 带回原来的变量 y ，得到 y 1 = 8 2 6 x x c + 或者 c x y x − = 8 6 8 ，这就是原方程的解.此外方 程还有解 y = 0. …………..(10 分) 2，解 xy dy y xe y xy e dx x x − = − = ..(2 分) xdy xe y dx xy = ( − ) xdy ydx xe dx xy + = …………..(5 分) dxy xe dx xy =
dxy=xdx …,.(8分)） 积分：-e9=}x2+c 2 故通解为： x2+ew+c=0 ….(10分) 2 3、解：齐线性方程x"+6x+5x=0的特征方程为2+6λ+5=0， 21=-1,元3=-5， …..(2分) 故通解为x()=ce+c2e ….,(4分） 几=2不是特征根，所以方程有形如x()=Ae2” ….(6分) 把x(t)代回原方程4Ae2+12Ae2”+5Ae2”=e2 1 A= 21 ….(8分) 1 于是原方程通解为x()=Ce+c2e51+ …..(10 分)4、解：令2-y=yt则原方程消去y'后，有 …..(2 分) y21-)=y22 由此得y=1,y=1+ …..(5 分) ==1 所 以 1 1 X= dt+c= +c …..(8分)】 故 原 方 程的 通 解 为
xdx e dxy xy = ……………..(8 分) 积分： e x c xy − = + − 2 2 1 故通解为： 0 2 1 2 + + = − x e c xy ………..(10 分) 3、解：齐线性方程 x''+6x'+5x = 0 的特征方程为 6 5 0 2 + + = ， 1 = −1,2 = −5， ……………..(2 分) 故通解为 t t x t c e c e 5 1 2 ( ) − − = + …………..(4 分) = 2 不是特征根，所以方程有形如 t x t Ae2 ( ) = ……..(6 分) 把 x(t) 代回原方程 t t t t Ae Ae Ae e 2 2 2 2 4 +12 + 5 = 21 1 A = ………………..(8 分) 于是原方程通解为 t t t x t c e c e e 5 2 1 2 21 1 ( ) = + + − − ………..(10 分) 4、解：令 2 − y = yt 则原方程消去 y 后，有 ……..(2 分) ( ) 2 2 2 y 1− yt = y t 由此得 t t y = − 1 , 2 y = 1+ t …..(5 分) dt y t dy dx 2 1 = − = 所 以 c t dt c t x = − + = + 1 1 2 …………..(8 分) 故 原 方 程 的 通 解 为
…..(10分） y=-- 三、 解po(x)=0 .(1分) 国-js+'ak-号 ….(4分) o因=j+oa恤号+哥 ….(7分) ,x ….(10分) 四、证明题(10×2=20) 1、证明：令)的第一列为p,(t)= 2t -告引 ,(0),故，()是一个解。 ….(3分) 联o0=列a0-[日 o-0-2 2(),2(0也是一个解。 ….(6 分)因此Φ()是解矩阵。又因为dt中(t)=≠0，(t≠0)，故(d)是基解矩阵.…(10分) 2、证明： 由于()为方程x=Ax的解矩阵，因此中()是一个可逆矩 阵， ….(2分) 所以t)Φ(to)也是x=A的基解矩阵， ….(5 分》
= − = + t t y c t x 1 1 …………..(10 分) 三、 解 0 (x) = 0 ..(1 分) = + = x x x x x dx 0 2 2 1 0 2 ( ) [ ( )] …………..(4 分) 2 20 ( ) [ ( )] 5 0 2 2 2 1 x x x x x dx x = + = + …………..(7 分) 2 20 160 4400 ( ) [ ( )] 5 8 11 0 2 2 3 2 x x x x x x x dx x = + = + + + …………..(10 分) 四、证明题（10×2=20） 1、证明：令 (t) 的第一列为 1 (t)= t t 2 2 1 2 ( ) 2 t t = = − t t 2 2 0 1 2 1 ( )t ，故 1 ( )t 是一个解. …………..(3分) 同样 (t) 第二列为 2 ( ) 1 t t = ， 2 ( )t = 0 1 = − t t 2 2 0 1 2 2 ( )t ， 2 ( )t 也是一个解. ………..(6 分)因此 (t) 是解矩阵。又因为 ( ) 2 det 0, ( 0) = t t t ,故 (t) 是基解矩阵.……(10 分) 2、证明： 由 于 (t) 为方程 x Ax = 的解矩阵，因此 ( ) 1 0 t − 是一个可逆矩 阵, …………..(2 分) 所以 (t) 1 0 ( ) t − 也是 x Ax = 的基解矩阵， ….(5 分)
因为Φ(t-t)是基解矩阵，于是令 Φ(t-t)=Φ(t)Φ-(t)CC为非奇异的常数矩阵 ….(8分) 当1=t时，D(0)=E,而D(t。)Φ(t。)=E,得C=E 故 Φ(t-t6)=Φ(t)Φ-(t). ….(10分)】
因为 0 − ( ) t t 是基解矩阵,于是令 1 0 0 ( ) ( ) ( ) t t t t C − − = C 为非奇异的常数矩阵 …..(8 分) 当 0 t t = 时, = (0) E ,而 1 0 0 ( ) ( ) t t E − = ,得 C E= 故 1 0 0 ( ) ( ) ( ) t t t t − − = . ……..(10 分)