宁德师专《常微分方程》期末考试卷(2) 姓名 班级 座号 成绩 一、填空题（每小题3分，共30分）. 1.一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线. 2.方程M(x,y)dk+N(x,y)dy=0为恰当方程的充要条件为. 3.∫，(x,y)连续是保证f(x,y)对y满足李普希兹条件的条件。 4.设)y(x)=cy(x)+cy2(x)+y,(x)是方程y”+y'+y=1的通解，则limy(x)=. 5.在用皮卡逐步逼近法求方程组=A(t)X+f(t),X(t。)=n的近似解时，则 (1)=_ 6.以函数组t,e为基本解组的线性齐次微分方程是. 7.函数组e,e,e2的伏朗斯基行列式为 8.方程y'=√1-y2过点(0,0)的解y=simx,这个解的存在区间是 9.向量函数组Y(x),Y(x),,Yn(x)在区间I上线性相关的 条件是在区间I上它 们的朗斯基行列式W(x)=0 10.若矩阵A具有n个线性无关的特征向量y,2,…,vm,它们对应的特征值分别为 入1，入2，…入n,那么常系数线性方程组x=Ax的一个基解矩阵D(t)=_ 6、若X(t),X,(t),·,X,(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是。 7、在用皮卡逐步逼近法求方程组X'=A(t)X+f(t),X(o)=n的近似解时，则p()=。 8、若Φ(t)和Ψ(t)都是X'=A(t)X的基解矩阵，则Φ(t)和平(t)具有关系为：。 9、微分方程(+少-y+x=0的阶数是 dx 10、对于任意的(x,y),(x,y2)∈R(R为某一矩形区域)，若存在常数N(N>0)使 则称f(x,y)在R上关于y满足利普希兹条件. 二、计算题（每小题8分，8×5=40分）
宁德师专《常微分方程》期末考试卷(2) 姓名____________班级________座号__________成绩 一、填空题（每小题 3 分，共 30 分）. 1.一阶微分方程的一个特解的图像是 维空间上的一条曲线． 2.方程 M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0 为恰当方程的充要条件为. 3. f (x, y) y 连续是保证 f (x, y) 对 y 满足李普希兹条件的条件． 4.设 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) p y x c y x cy x y x = + + 是方程 y y y + + =1 的通解，则 lim ( ) x y x →+ = . 5. 在 用 皮 卡 逐 步 逼 近 法 求 方 程 组 X ' = A(t)X + f (t) , X(t 0 ) = 的 近 似 解 时 ， 则 k (t) =_____________. 6.以函数组 , t t e 为基本解组的线性齐次微分方程是. 7.函数组 t t t e e e 2 , , − 的伏朗斯基行列式为________________. 8.方程 2 y = 1− y 过点 (0, 0) 的解 y = sin x ，这个解的存在区间是______________. 9．向量函数组 ( ), ( ), , ( ) 1 2 Y x Y x Y x n 在区间 I 上线性相关的____________条件是在区间 I 上它 们的朗斯基行列式 W (x) = 0 10.若矩 阵 A 具有 n 个线性 无关 的特征 向量 n v ,v , ,v 1 2 ，它们对 应的 特征值 分别为 n , , 1 2 ，那么常系数线性方程组 x = Ax ' 的一个基解矩阵 (t) =______ 6、若 1 2 ( ), ( ), , ( ) X t X t X t n 为 n 阶齐线性方程的 n 个解，则它们线性无关的充要条件是。 7、在用皮卡逐步逼近法求方程组 0 X A t X f t X t = + = ( ) ( ), ( ) 的近似解时，则 ( ) k t = 。 8、若 ( ) ( ) t t 和 都是 X A t X ' ( ) = 的基解矩阵，则 ()t 和 ( )t 具有关系为：。 9、微分方程 ( ) 0 2 2 + − y + x = dx dy dx dy n 的阶数是____________ 10、对于任意的 ( , ) 1 x y , ( , ) 2 x y R ( R 为某一矩形区域),若存在常数 N(N 0) 使__________, 则称 f (x, y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件. 二、计算题（每小题 8 分，8×5=40 分）．
1.求解方程x =y(1+Iny-Inx) dx 2.求解方程[y-x(x2+y2)]dk-xd=0. 3.求解方程y”-(y2=0. 4.求解方程x"-2x+2x=e'cost. 5.求解方程t2x+3r+x=0. dy 三、求初值问题 dx =2+y R:x≤1，≤1的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在 y(0)=0 解的存在区间的误差估计.(10分) 四、求解微分方程组 d6=3x+4y dt 满足初始条件p(0)=7=0的解(t).(10分) 少 =2x+y+e' dt 五、证明题(10分). 设)在0，+o)上连续，且m)=0,求证：方程少+y=f的任意解)y=J)均 十 dx 有imy(x)=0. Y+0
1．求解方程 d (1 ln ln ) d y x y y x x = + − ． 2．求解方程 2 2 [ ( )] 0 y x x y dx xdy − + − = ． 3．求解方程 2 yy y − = ( ) 0． 4.求解方程 " ' 2 2 cos t x x x e t − + = ． 5．求解方程 2 " ' t x tx x + + = 3 0 ． 三、求初值问题 2 2 (0) 0 dy x y dx y = + = R x y : 1, 1 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在 解的存在区间的误差估计.（10 分） 四、求解微分方程组 3 4 2 t dx x y dt dy x y e dt = + = + + 满足初始条件 (0) 0 = = 的解 ()t .（10 分） 五、证明题（10 分）． 设 f (x) 在 [0, + ) 上连续，且 lim ( ) = 0 →+ f x x ，求证：方程 ( ) d d y f x x y + = 的任意解 y = y(x) 均 有 lim ( ) = 0 →+ y x x ．
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(2) 评分标准既参考答案 一、 填空题（每小题3分，共30分） 1.2维2. OM ON dy Ox 3.充分条件4.1 5.p()=n+[A(s)p-(s)+f(s)]d6.(t-1)x"-x'+x=0 le' e 8 7.e -e- le' 4e2 9.必要条件10.[e'y,ey2,…,evn] 二、计算题（每小题8分，8×5=40分） 1.解：原方程变形为少=上1+n当 …(2分) dx x 令u=上，则y=u+x,从而原方程变为 du =ulnl…(2分) dx 当nu≠0时，有dL=等号两边积分得 ulnu x 即In Inu=lnx+lnCC≠0…(2分) 又nu=0,即nY=0是方程的解 故原方程的通解为ln上=Cx…(2分) 2.解：原方程可变形为yd-xdy-x(x2+y2)d=0·(2分) 1 于是u= 是积分因子，将= 乘以方程的两边…(3分) x2+y2 x2+y2 得r-x -xd=0 x2+y2 故原方程的通解为amcg士-xr=c(3分) y 2
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(2) 评分标准既参考答案 一、 填空题（每小题 3 分，共 30 分） 1.2 维 2. x N y M = 3.充分条件 4.1 5. 0 1 ( ) [ ( ) ( ) ( )] t k k t t A s s f s ds = + + − 6. ( 1) 0 t x tx x − − + = 7. t t t t t t t t t e e e e e e e e e 2 2 2 4 2 − − − − 8. ] 2 , 2 [ − 9．必要条件 10. 1 2 1 2 [ , , , ] n t t t n e v e v e v 二、计算题（每小题 8 分，8×5=40 分） 1．解：原方程变形为 (1 ln ) dy y y dx x x = + ………………（2 分） 令 x y u = ，则 y = u + xu ，从而原方程变为 d ln d u x u u x = ………………（2 分） 当 ln 0 u 时，有 d d ln u x u u x = 等号两边积分得 即 ln ln ln ln u x C = + C 0…（2 分） 又 ln 0 u = ，即 ln 0 y x = 是方程的解 故原方程的通解为 ln y Cx x = …（2 分） 2．解：原方程可变形为 2 2 ydx xdy x x y dx − − + = ( ) 0 …（2 分） 于是 2 2 1 u x y = + 是积分因子，将 2 2 1 u x y = + 乘以方程的两边…（3 分） 得 2 2 0 ydx xdy xdx x y − − = + 故原方程的通解为 1 2 2 x arctg x c y − = （3 分）
尽解：当y≠0时，方程两边乘以，则方程变为(2分) y-0=0,即（心y=0 23 于是有上=G,即少=Gdk…(3分) y 故原方程的通解为lny=Cx+c2 另外y=0也是原方程的解.…(3分) 4.解：齐次方程的特征方程为22-2九+2=0,2=1±i 齐次方程的通解为x=e'(c1cost+c2sint).…(3分) 令x-2x+2x=ter,并求其特解如下： 由于1+i是单根，故设特解为x=1(At+B)e1* 代入原方程比较系数得A=-,B= 41 所以元=-te'[(cost+tsin)t+i(sint-tcost)] 4 则原方程有特解Re{=4e(eos1+Isn).（3分) 1 故原方程的通解为x=e'(ccos1+c2sint)+二te'(cost+tsin)t.…(2分) 4 5.解：令方程的解为x=t,代入原方程有(2分) k(k-1)+3k+1=0…(3分) 于是k=-1(二重) 故原方程的通解为x=ct1+c,Int|(3分) 三解：M=/x训=2.-x≤1=a-为s1=6,h=mma=月 (x,V 解的存在区间为-=≤h=号(3分) 即 .1 令p(x)=yo=0
3．解：当 y 0 时，方程两边乘以 2 1 y ，则方程变为（2 分） 2 2 ( ) 0 yy y y − = ，即 ( ) 0 y y = 于是有 1 y c y = ，即 1 dy c dx y = …（3 分） 故原方程的通解为 1 2 ln | | y c x c = + 另外 y = 0 也是原方程的解.…（3 分） 4.解：齐次方程的特征方程为 2 1,2 − + = = 2 2 0, 1 i 齐次方程的通解为 ( cos sin ). 1 2 x e c t c t t = + ……（3 分） 令 i t x x x te " ' (1 ) 2 2 + − + = ，并求其特解如下： 由于 1+i 是单根，故设特解为 (1 ) ( ) i t x t At B e + = + 代入原方程比较系数得 . 4 1 , 4 = − B = i A 所以 [(cos sin ) (sin cos )]. 4 1 x te t t t i t t t t = + + − 则原方程有特解 Re{x} = (cos sin ). 4 1 te t t t t + …（3 分） 故原方程的通解为 x = e (c1 cost + c2 sin t) + t (cos sin ). 4 1 te t t t t + …（2 分） 5.解：令方程的解为 k x t = ，代入原方程有（2 分） k k k ( 1) 3 1 0 − + + = ……………（3 分） 于是 k =−1 （二重） 故原方程的通解为 1 1 1 2 x c t c t t ln | | − − = + （3 分） 三、解： ( , ) max ( , ) 2 x y R M f x y = = , x − x0 1= a, y − y0 1= b， 1 min( , ) 2 b h a M = = 解的存在区间为 0 1 2 x x x h − = = （3 分） 即 1 1 2 2 − x 令 0 (x) = y0 = 0
a=-0+r=写 …(4分) =2川≤2=L 限差估时为：2因)-)2牛F=3例 6 其特征多项式 w-2=--5=-0 21=-1,2=5(2分) 当=-1时对应的特征向量为” 当入=5时对应的特征向量为y (3分) 所以基解矩阵 于是满足初始向量的解为 (t)=(t)Φ'(0)n+(t)Φ'(s)f(s)ds ] -][ …(5分) 五、证明题(10分) 证明：设y=y(x)是方程的任一解
3 2 1 0 ( ) 0 3 x x x x dx = + = 3 3 7 2 2 2 0 ( ) 0 ( ) 3 3 63 x x x x x x dx = + + = + …（4 分） 又 2 2 f y L y = = 误差估计为： 2 2 1 2 1 ( ) ( ) (2 1)! 6 ML x x h + − = + …（3 分） 四、解： 3 4 2 1 A = ，其特征多项式 2 3 4 2 1 I A 4 5 0 − − − − − = = − − = 1 2 = − = 1, 5 （2 分） 当 1 =−1 时对应的特征向量为 1 1 1 v = − 当 2 5 = 时对应的特征向量为 1 2 1 v = （3 分） 所以基解矩阵 5 1 5 5 5 2 2 ( ) , ( ) 1 3 t t t t t t t t e e e e t t e e e e − − − − − − = = − 于是满足初始向量的解为 5 5 1 1 0 5 5 0 5 5 4 0 5 5 2 3 4 3 1 2 2 1 4 2 ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 = 1 3 1 3 1 3 s s s s t t t t t t t t t t t s t t t t t s s t e e e e t t t s f s ds e e ds e e e e e e ds e e e e e e e e e − − − − − − − − − − − − = + = − − − − = − + + + …（5 分） 五、证明题(10 分) 证明：设 y = y(x) 是方程的任一解
满足y(x。)=y。,则该解的表达式为 )=%e》+e-wf6eds…4分) 两边取极限 lim y(x)=lim yoe ()lim f(s)eds Y￥+00 x→+0 X→+0四 e-6 …(2分) f(s)eds =0+lim er-而 0, 若∫f6e-d<∞ f(x)e(-) …(4分) lim 。=0若f6e-su=n 故对一切y(x),均有limy(x)=0. 3X￥00
满足 0 0 y(x ) = y ，则该解的表达式为 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) e e ( )e d x x x x x s x x y x y f s s − − − − − = + ……（4 分） 两边取极限 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( )e d lim e =0+ lim ( ) lim e ( )e d lim e x s x x x x x x x x x x s x x x x x f s s y x y f s s − →+ − − − →+ →+ − →+ − = + ……（2 分） = 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0, ( )e d ( )e lim 0, ( )e d e s x x x x s x x x x x f s s f x f s s − − − →+ − = = 若 若 ……（4 分） 故对一切 y x( ) ，均有 lim ( ) 0 x y x → =