宁德师专《常微分方程》期末考试卷（④） 姓名 班级 座号 成绩 一、填空题（每小题3分，3×10=30分） 1、方程M(x,y)dr+N(x,y)少=0有只含x的积分因子的充要条件是。 2、求少=∫x,)满足(x)=%的解等价于求积分方程的连续解。 dx 3、方程少=x2+y2定义在矩形域R:-2≤K≤2，-2≤y≤2上，则经过点(0,0)的解的存 dx 在区间是。 4、若x,()）=1,2,…,)是n阶齐线性方程xm+a,)xa-+…+an()x=0 的n个解，w(t)为其伏朗斯基行列式，则w(t)满足一阶线性方程。 5、设D()是微分方程组x'=A(t)x的基解矩阵，x=p(t)是x'=A(t)x+f(t)的某一解，则它 的任一解x(t)可表示为。 6、若X(t),X(t),·,Xn(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是。 7、在用皮卡逐步逼近法求方程组X'=A(t)X+f(t),X(o)=n的近似解时，则p()=。 8、若Φ(t)和Ψ(t)都是X'=A(t)X的基解矩阵，则Φ(t)和Ψ(t)具有关系为：。 9、微分方程（鸟”+少-y2+2=0的阶数是 dx dx 10、对于任意的(x,),(x,y2)∈R(R为某一矩形区域)，若存在常数N(N>O)使 则称f(x,y)在R上关于y满足利普希兹条件. 二、求下列微分方程（组）的通解（每小题8分，8×5=40分） 一、 4=62-y,2、少+=e”, dx x dx x 1 3、x"+6x'+5x=e2,4、x"= 2x' 5、试求方程组x=的基解矩阵exp4,其中A=[】2 43 三、(10分)求初值问题的近似解 求初值问题
宁德师专《常微分方程》期末考试卷(4) 姓名____________班级________座号__________成绩 一、填空题（每小题 3 分，3×10＝30 分） 1、方程 M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) 0 + = 有只含 x 的积分因子的充要条件是。 2、求 ( , ) dy f x y dx = 满足 0 0 y x y ( ) = 的解等价于求积分方程的连续解。 3、方程 2 2 x y dx dy = + 定义在矩形域 R:-2 x 2,−2 y 2 上，则经过点（0，0）的解的存 在区间是。 4、若 x (t) i (i = 1，2，……， n) 是 n 阶齐线性方程 ( ) ( 1) 1 ( ) ( ) 0 n n n x a t x a t x − + + + = 的 n 个解， w(t) 为其伏朗斯基行列式，则 w(t) 满足一阶线性方程。 5、设 ( )t 是微分方程组 x A t x = ( ) 的基解矩阵， x t = ( ) 是 x = A(t)x + f (t) 的某一解，则它 的任一解 xt( ) 可表示为。 6、若 1 2 ( ), ( ), , ( ) X t X t X t n 为 n 阶齐线性方程的 n 个解，则它们线性无关的充要条件是。 7、在用皮卡逐步逼近法求方程组 0 X A t X f t X t = + = ( ) ( ), ( ) 的近似解时，则 ( ) k t = 。 8、若 ( ) ( ) t t 和 都是 X A t X ' ( ) = 的基解矩阵，则 ( )t 和 ( )t 具有关系为：。 9、微分方程 ( ) 0 2 2 + − y + x = dx dy dx dy n 的阶数是____________ 10、对于任意的 ( , ) 1 x y , ( , ) 2 x y R ( R 为某一矩形区域),若存在常数 N(N 0) 使__________, 则称 f (x, y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件. 二、求下列微分方程（组）的通解（每小题 8 分，8×5＝40 分） 一、 2 6 dy y xy dx x = − , 2、 xy e x y dx dy + = ， 3、 t x x x e 2 ' '+6 '+5 = ，4、 2 ' 1 ' ' x x = 。 5、试求方程组 ' x Ax = 的基解矩阵 exp At ，其中 1 2 4 3 A = 三、（10 分）求初值问题的近似解 求初值问题
L+≤1≤1的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在 dr y-1)=0 的误差估计。 四、证明题（每小题10分，2×10=20分） 1、如果x=p(t)是x=Ax满足p(lo)=n的解，那么pt)=[e迎A(t-1o)7 2.在方程y"+p(x)y'+q(x)y=0中，已知p(x),q(x)在(-0，+o)上连续.求证：该方程 的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切
− = = − ( 1) 0 2 2 y x y dx dy R : x +1 1, y 1 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间 的误差估计。 四、证明题（每小题 10 分，2×10＝20 分） 1、如果 x t = ( ) 是 x = Ax ' 满足 (t 0 ) = 的解，那么 (t) = exp A(t − t0 ) 2．在方程 y + p(x) y + q(x) y = 0 中，已知 p(x)，q(x) 在 (−, + ) 上连续．求证：该方程 的任一非零解在 xoy 平面上不能与 x 轴相切．
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(4) 评分标准既参考答案 一、填空题（每空3分，3×10=30分） a-=No2y=%+fx,-4≤x≤} 1、 dy Ox 4、1w(t)+a,(t)w(t)=0,5、x(t)=Φ(t)C+pt)6、W[X(t),X,(t),…X(t]≠0 7、n+[4(s)91(s)+fss8、平0）=0)C(G为非奇异矩阵) 9、1,10、fxy)-f(x,y2≤Ny- 二、求下列微分方程（组）的通解（每小题8分，8×5=40分） 1、解：这是n=2时的伯努利不等式，令2y,算得正=-y2山 (2分) dx dx 代入原方程得到 正=-6：+x,(3分) dx x 这是线性方程，求得它的通解为 z=C.x2 +8 (5分) 带回原来的变量y,得到 1_cx2 或者 y x6 88 =c,这就是原方程的通解。(7分) 此外方程还有解y=0.(8分》 2、解：少=e”-上=e"-y dx xdy=(xe9-y)d(2分) xdy ydx xe dx dy=xe"dk(3分) y=xd水，积分：-e9=号x2+c(5分) 2
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(4) 评分标准既参考答案 一、填空题（每空 3 分，3×10＝30 分） 1、 N (x) x N y M = − ，2、 0 0 ( , ) x x y y f x y dx = + ，3、 4 1 4 1 − x ， 4、 ( ) 1 ( ) ( ) 0 ' w t + a t w t = ，5、 x t t C t ( ) ( ) ( ) = + 6、 1 2 [ ( ), ( ), ( )] 0 W X t X t X t n 7、 0 1 [ ( ) ( ) ( )] t k t A s s f s ds + + − 8、 = ( ) ( ) t t C （C 为非奇异矩阵） 9、1，10、 1 2 1 2 f (x, y ) − f (x, y ) N y − y 二、求下列微分方程（组）的通解（每小题 8 分，8×5＝40 分） 1、解：这是 n=2 时的伯努利不等式，令 z= −1 y ,算得 dx dy y dx dz −2 = − （2 分） 代入原方程得到 z x dx x dz = − + 6 ，（3 分） 这是线性方程，求得它的通解为 z= 8 2 6 x x c + （5 分） 带回原来的变量 y，得到 y 1 = 8 2 6 x x c + 或者 c x y x − = 8 6 8 ，这就是原方程的通解。（7 分） 此外方程还有解 y=0.（8 分） 2、解： xy dy y xe y xy e dx x x − = − = xdy xe y dx xy = ( − ) （2 分） xdy ydx xe dx xy + = dxy xe dx xy = （3 分） xdx e dxy xy = ，积分： e x c xy − = + − 2 2 1 （5 分）
故通解为： )x2+e”+c=0(8分) 3、解：齐线性方程x"+6x+5x=0的特征方程为22+61+5=0，(2分) 九1=-1,22=-5(3分)， 故通解为x(t)=ce+c,e-r(4分) 2=2不是特征根，所以方程有形如 x()=Ae'的特解，把x()代回原方程比较系数得 于是原方程通解为 x(1)=ce+c,e-s+ e2(8分) 21 4、解：x'=y则x"=y :(2分) dx 从而方程可化为 dy 1 y dx 2y 分：-侵64分) 代回原变量得x (6分) 积分得t+C2 2+G (8分) 5、解：特征方程为 -1-2 det(E-A)=-4 1-3(2分) =(2+1)(元-5)=0 则1=-1，元3=5(3分) 当入=-1时，由(2E-A)y1=0 [a小-[ (4分) 当入=5时，由（入2E-A)y2=0
故通解为： 0 2 1 2 + + = − x e c xy （8 分） 3、解：齐线性方程 x''+6x'+5x = 0 的特征方程为 6 5 0 2 + + = ，（2 分） 1 = −1,2 = −5 （3 分）， 故通解为 t t x t c e c e 5 1 2 ( ) − − = + （4 分） = 2 不是特征根，所以方程有形如 t x t Ae2 ( ) = 的特解，把 x(t) 代回原方程比较系数得 21 1 A = ，则 1 2 ( ) 21 t x t e = （6 分） 于是原方程通解为 t t t x t c e c e e 5 2 1 2 21 1 ( ) = + + − − （8 分） 4、解： x' = y 则 dx dy x' ' = y （2 分） 从而方程可化为 dx y dy y 2 1 = ，积分得： 1 3 1 3 2 y x c = + ，（4 分） 代回原变量得 1 3 1 3 ' 2 x x c = + （6 分） 积分得 2 3 2 1 3 2 t c x c + = + （8 分） 5、解：特征方程为 1 2 det( ) 4 3 ( 1)( 5) 0 E A − − − = − − = + − = （2 分） 则 1 = −1,2 = 5 （3 分） 当 1 =−1 时，由 (1E − A)v1 = 0 得 − = 1 v ，取 − = 1 1 1 v （4 分） 当 1 = 5 时，由 2 2 ( ) 0 E A v − =
得v2 取V2 2 (5分) 则基解矩阵 (6分) exp At=Φ(t)Φ-(0) (8分) 12e'+e-e+e =3-2e+2e e'+2e 三、(10分)求初值问题的近似解 解：M=x川=42分) -os1=a.y-yols1=b,h=min a.M) b -)= 4 解的存在区间为水-x=+≤h=4 即-≤x5-3.令4分) 4 a()==0a(=0+x达=号+月 =0+r-兮+h (7分) 3 x27x4x,11 36318942 =十2s2=L,误差估计为： 又 1 p2(x)-p(x≤ ML”h= (10分) n+1)1"24 四、证明题（每小题10分，2×10=20分） 1、证明：由定理8可知p(0=()心'(，)m+()中-(s)f(s)d(4分） 又因为()=exp At,.Φ'()=(expA)'广=exp(-A),f(s)=0
得 = 2 2 v ，取 = 2 1 2 v （5 分） 则基解矩阵 5 5 ( ) 2 t t t t e e t e e − − = − （6 分） 1 5 5 5 5 5 5 exp ( ) (0) 1 2 1 3 2 1 1 1 2 3 2 2 2 t t t t t t t t t t t t At t e e e e e e e e e e e e − − − − − − − = − = − + − + = − + + （8 分） 三、（10 分）求初值问题的近似解 解： max ( , ) 4 ( , ) = = M f x y x y R （2 分） x − x0 1= a, y − y0 1= b， 4 1 = min( , ) = M b h a 解的存在区间为 4 1 x − x0 = x +1 h = 即 4 3 4 5 − x − .令（4 分） 0 (x) = y0 = 0 3 1 3 ( ) 0 3 1 2 1 = + = + − x x x dx x 3 2 2 2 1 3 7 4 1 ( ) 0 ( ) 3 3 11 3 63 18 9 42 x x x x dx x x x x − = + − + = − − − + （7 分） 又 y L y f = − = 2 2 ，误差估计为： 24 1 ( 1)! ( ) ( ) 1 2 = + − n+ n h n ML x x （10 分） 四、证明题（每小题 10 分，2×10＝20 分） 1、证明：由定理 8 可知 t t t t s f s ds t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 − − = + （4 分） 又因为 = ( ) exp , t At 1 1 0 0 0 ( ) (exp ) exp( ) t At At − − = = − ， f (s) = 0
所以pt)=exp At·exp(-At。)n(7分) 又因为矩阵(At)(-At)=(-Ato)(A1) 所以p)=[exp4(t-t)7(10分) 2.证明：由己知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解 的存在区间都是(-0，+0).(2分) 显然，该方程有零解y(x)=0(4分). 假设该方程的任一非零解y(x)在x轴上某点x。处与X轴相切，即有 y,(x)=y(x,)=0,那么由解的惟一性及该方程有零解y(x)=0 可知y(x)≡0，x∈(-0，+0)(8分)， 这是因为零解也满足初值条件y(x)=y(x)=0,于是由解的惟一性，有 (x)三y(x)三0，x∈(-0，+∞).这与y(x)是非零解矛盾.(10分)
所以 (t) = exp At exp(−At0 ) （7 分） 又因为矩阵 ( ) ( ) ( ) ( ) At −At0 = −At0 At 所以 (t) = exp A(t − t 0 ) （10 分） 2．证明：由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解 的存在区间都是 (−, + ) ．（2 分） 显然，该方程有零解 y(x) 0 （4 分）． 假 设 该 方 程 的 任 一 非 零 解 ( ) 1 y x 在 x 轴 上 某 点 0 x 处 与 x 轴 相 切 ， 即 有 ( ) ( ) 1 0 1 0 y x = y x =0，那么由解的惟一性及该方程有零解 y(x) 0 可知 ( ) 0, ( , ) y1 x x − + （8 分）， 这是因为零解也满足初值条件 ( ) ( ) 1 0 1 0 y x = y x =0 ，于是由解的惟一性，有 y1 (x) y(x) 0, x(−, + ) ．这与 ( ) 1 y x 是非零解矛盾．（10 分）