宁德师专《常微分方程》期末考试卷(10) 姓名 班级 座号 成绩 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1.方程x(y2-1)dx+y(x2-1)dy=0所有常数解是. 2.方程y”+4y=0的基本解组是。 3.方程业=厂+1满足解的存在唯一性定理条件的区域是。 dx 4.函数组p,(x),p2(x),…,pn(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式 在区间I上不恒等于零. 5.若y=p,(x),y=P2(x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同零点. 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6.方程此=下的奇解是(). d (A)y=x(B)y=1(C)y=-1(D)y=0 7.方程业=-少过点（行，）共有0个解. dx (A)一(B)无数(C)两(D)三 8.n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是()个. (A)n(B)n-1(C)n+1(D)n+2 9.一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差(). (A)不是其对应齐次微分方程组的解(B)是非齐次微分方程组的解 (C)是其对应齐次微分方程组的解(D)是非齐次微分方程组的通解 10.如果f(x,y), x,卫》都在x0y平面上连续，那么方程业=∫(x,)的任一解的 oy dx 存在区间(). (A)必为(-0，+o)(B)必为(0，+o) (C)必为(-o,0)(D)将因解而定 三、计算题（每小题6分，本题共30分）
宁德师专《常微分方程》期末考试卷(10) 姓名____________班级________座号__________成绩 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1．方程 ( 1)d ( 1)d 0 2 2 x y − x + y x − y = 所有常数解是． 2．方程 y + 4y = 0 的基本解组是． 3．方程 1 d d = y + x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是． 4．函数组 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x x x n 在区间 I 上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式 在区间 I 上不恒等于零． 5．若 ( ), ( ) 1 2 y = x y = x 是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同零点． 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．方程 y x y = d d 的奇解是（）． （A） y = x （B） y = 1 （C） y = −1 （D） y = 0 7.方程 2 1 d d y x y = − 过点 , 1) 2 ( 共有（）个解． （A）一（B）无数（C）两（D）三 8． n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个． （A） n （B） n -1（C） n +1（D） n +2 9．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（）． （A）不是其对应齐次微分方程组的解（B）是非齐次微分方程组的解 （C）是其对应齐次微分方程组的解（D）是非齐次微分方程组的通解 10．如果 f (x, y)， y f x y ( , ) 都在 xoy 平面上连续，那么方程 ( , ) d d f x y x y = 的任一解的 存在区间（）． （A）必为 (−, + ) （B）必为 (0, + ) （C）必为 (−, 0) （D）将因解而定 三、计算题（每小题６分，本题共 30 分）
求下列方程的通解或通积分： 1l.业=y+tan兰 dx x x 12. =y+1 dx x 13.(x2e>-y)dx+xdy=0 14.y'(x-ny)=1 15.y"+y2+2x=0 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 1 16.求方程y"-y=二e的通解. 17.求下列方程组的通解 dx =-x-2y dt dy =3x+4y 五、证明题（每小题10分，本题共20分） 18.在方程少=fp0)中，已知f0),p(x)在（←0，+o)上连续，且 dx p(±1)=0.求证：对任意x和yo<1,满足初值条件(x)=y的解y(x)的存在区间必 为(-0，+0). 19.在方程y”+p(x)y'+q(x)y=0中，已知p(x),q(x)在(-0，+o)上连续.求证： 该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切
求下列方程的通解或通积分： 11. x y x y x y tan d d = + 12. 1 d d = + x y x y 13. ( e )d d 0 2 x − y x + x y = y 14． y (x − ln y ) = 1 15． 2 0 2 yy + y + x = 四、计算题（每小题 10 分，本题共 20 分） 16．求方程 x y y e 2 1 − = 的通解． 17．求下列方程组的通解 = + = − − x y t y x y t x 3 4 d d 2 d d ． 五、证明题（每小题 10 分，本题共 20 分） 18 ．在方程 ( ) ( ) d d f y y x y = 中，已知 f ( y) ， (x) 在 (−, + ) 上连续，且 (1) = 0 ．求证：对任意 0 x 和 y0 1 ，满足初值条件 0 0 y(x ) = y 的解 y(x) 的存在区间必 为 (−, + ) ． 19．在方程 y + p(x) y + q(x) y = 0 中，已知 p(x) ，q(x) 在 (−, + ) 上连续．求证： 该方程的任一非零解在 xoy 平面上不能与 x 轴相切．
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(10) 评分标准既参考答案 一、 填空题（每小题3分，本题共15分） 1.y=±1，x=±1 2.sin 2x,cos 2x 3.D={(x,y)∈Ry>0},(或不含x轴的上半平面) 4.充分 5.没有 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6.D7.B8.A9.C10.D 三、计算题（每小题6分，本题共30分） 1.解令上=M,则业=u+x业，代入原方程，得 dx dx du du u+x- =u+tan u,x- =tanu(2分) dx dx 当anu≠0时，分离变量，再积分，得 tan u In sin u=Inx+nC 即通积分为：snY=Cx(6分) 12.解齐次方程的通解为 y=Cx(2分) 令非齐次方程的特解为 y=C(x)x 代入原方程，确定出C(x)=nx+C(5分) 原方程的通解为 y=Cx+xhx(6分) 13.解积分因子为
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(10) 评分标准既参考答案 一、 填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1． y = 1, x = 1 2．sin 2x, cos 2x 3． {( , ) 0} 2 D = x y R y ，（或不含 x 轴的上半平面） 4．充分 5．没有 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．D7．B8．A9．C10．D 三、计算题（每小题６分，本题共 30 分） 11．解令 u x y = ，则 x u u x x y d d d d = + ，代入原方程，得 u u x u u x tan d d + = + ， u x u x tan d d = （2 分） 当 tanu 0 时，分离变量，再积分，得 C x x u u ln d tan d = + （4 分） ln sin u = ln x + ln C 即通积分为： Cx x y sin = （6 分） 12．解齐次方程的通解为 y = Cx （2 分） 令非齐次方程的特解为 y = C(x)x 代入原方程，确定出 C(x) = ln x +C （5 分） 原方程的通解为 y = Cx + xln x （6 分） 13．解积分因子为
=是 (3分) 原方程的通积分为 J'e-+d-C 即e'+上=C,C=e+C,(6分) 1 14.解令y'=p,则原方程的参数形式为 [x-L+hp 2分) y'=p 由基本关系式=y,有 dx y='x=p·D3+d2 D =0-dp(4分) D 积分得y=p-np+C 得原方程参数形式通解为 [x-1+hp p (6分) y=p-In p+C 15.解原方程可化为 (y'+x2)'=0(2分) 于是y少+x2=C(4分) 积分得通积分为 L2=Cx-+C(6分 3 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16.解对应的齐次方程的特征方程为： 22-1=0 特征根为：入=1，入2=-1
2 1 ( ) x x = （3 分） 原方程的通积分为 1 1 0 2 (e )dx dy C x x y y x − + = 即 1 e C, C e C x x y + = = + （6 分） 14．解令 y = p ，则原方程的参数形式为 = = + y p p p x ln 1 （2 分） 由基本关系式 y x y = d d ，有 p p p y y x p )d 1 1 d d ( 2 = = − + p p )d 1 = (1− （4 分） 积分得 y = p − ln p + C 得原方程参数形式通解为 = − + = + y p p C p p x ln ln 1 （6 分） 15．解原方程可化为 ( ) 0 2 yy + x = （2 分） 于是 1 2 d d x C x y y + = （4 分） 积分得通积分为 2 3 1 2 3 1 2 1 y = C x − x + C （6 分） 四、计算题（每小题 10 分，本题共 20 分） 16．解对应的齐次方程的特征方程为： 1 0 2 − = 特征根为： 1 =1, 2 = −1
故齐次方程的通解为：y=Ce+C,ex(4分) 因为=1是单特征根.所以，设非齐次方程的特解为 y,(x)=Axe(6分) 代入聚方程，有24e+e-加=，可解曲有-号 1 故原方程的通解为y=C,e+C,e-x+ 4e(10分) 17.解方程组的特征方程为 A-E= -1--2=0 34- 即2-31+2=0 特征根为2=1，入2=2(2分) 2=1对应的解为 其中a4,b是=1对应的特征向量的分量，满足 -8 可解得a1=1,b=-1.(5分) 同样可算出元=2对应的特征向量分量为☑2=2，b=-3.(8分) 所以，原方程组的通解为 [-c[c[s (10分) 五、证明题（每小题10分，本题共20分） 18.证明由己知条件，该方程在整个xoy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条 件.(2分) 显然y=±1是方程的两个常数解.(4分) 任取初值(xo,yo),其中x。∈(-o,+∞)，yo<1.记过该点的解为y=y(x),由上
故齐次方程的通解为： x x y C C − = e + e 1 2 （4 分） 因为 =1 是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为 x y (x) Axe 1 = （6 分） 代入原方程，有 x x x x A Ax Ax e 2 1 2 e + e − e = ，可解出 4 1 A = ． 故原方程的通解为 x x x y C C xe 4 1 e e = 1 + 2 + − （10 分） 17．解方程组的特征方程为 0 3 4 1 2 = − − − − − = A E 即 3 2 0 2 − + = 特征根为 1 =1，2 = 2 （2 分） 1 =1 对应的解为 t b a y x e 1 1 1 1 = 其中 1 1 a , b 是 1 =1 对应的特征向量的分量，满足 = − − − − 0 0 3 4 1 1 1 2 1 1 b a 可解得 a1 =1, b1 = −1 ．（5 分） 同样可算出 2 = 2 对应的特征向量分量为 a2 = 2, b1 = −3 ．（8 分） 所以，原方程组的通解为 − + − = t t t t C C y x 2 2 1 2 3e 2e e e （10 分） 五、证明题（每小题 10 分，本题共 20 分） 18．证明由已知条件，该方程在整个 xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条 件．（2 分） 显然 y = 1 是方程的两个常数解．（4 分） 任取初值 ( , ) 0 0 x y ，其中 ( , ) x0 − + , y0 1 ．记过该点的解为 y = y(x) ，由上
面分析可知，一方面y=y(x)可以向平面无穷远处无限延展：另一方面又上方不能穿过 y=1,下方不能穿过y=-1,否则与惟一性矛盾.故该解的存在区间必为(-0，+∞).(10 分) 19.证明由己知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的 存在 区间都是(-0，+∞).(2分) 显然，该方程有零解y(x)=0.(5分) 假设该方程的任一非零解y(x)在x轴上某点x。处与x轴相切，即有 y,(x)=y(x)=0,那么由解的惟一性及该方程有零解y(x)=0可知 y(x)三0，x∈(-0，+∞)，这是因为零解也满足初值条件，(x,)=y(x。)=0,于是由解的 惟一性，有y(x)三y(x)三0，x∈(-0，+∞).这与y(x)是非零解矛盾.(10分)
面分析可知，一方面 y = y(x) 可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过 y = 1 ，下方不能穿过 y = −1 ，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为 (−, + ) ．（10 分） 19．证明由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的 存在 区间都是 (−, + ) ．（2 分） 显然，该方程有零解 y(x) 0 ．（5 分） 假 设 该 方 程 的 任 一 非 零 解 ( ) 1 y x 在 x 轴 上 某 点 0 x 处 与 x 轴 相 切 ， 即 有 ( ) ( ) 1 0 1 0 y x = y x =0 ， 那 么 由 解 的 惟 一 性 及 该 方 程 有 零 解 y(x) 0 可 知 ( ) 0, ( , ) y1 x x − + ，这是因为零解也满足初值条件 ( ) ( ) 1 0 1 0 y x = y x =0，于是由解的 惟一性，有 y1 (x) y(x) 0, x(−, + ) ．这与 ( ) 1 y x 是非零解矛盾．（10 分）