宁德师专《常微分方程》期末考试卷(15) 姓名 班级 座号 成绩 一、 填空题（每空3分，共30分） 1、少=P(xy+Q()称为一阶线性方程，它有积分因子e寸a恤 ，其通解为 dx 2、函数f(x,y)称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果 3、若p(x)为皮卡逼近序列{0n(x)}的极限，则有p(x)-pn(x)≤ 4、方程少=x2+y'定义在矩形域R:-2≤x≤2，-2≤y≤2上，则经过点(0,0)的解的存 dx 在区间是 5、函数组e',e,e2的伏朗斯基行列式为 6、若x,(t)(i=1,2,,)为齐线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐线性方程的一个特解，则 非齐线性方程的所有解可表为 7、若D(t)是x=A(t)x的基解矩阵，则x=A(t)x+f(t)满足初始条件p(1,)=0的解向量 p(t)= ：而x=4()x+f)满足初始条件p(1o)=7的解向量p()=一· 8、若矩阵A具有n个线性无关的特征向量y1,y2,…,'n,它们对应的特征值分别为1，乙2，…元n, 那么矩阵(t)= 是常系数线性方程组x=Ax的一个基解矩阵. 9、满足 的点(x,y),称为方程组的驻定点. 二、计算题(60分) 10、求方程4x2y2dk+2(x3y-1)dy=0的通解. 11、求方程少+e在-x=0的通解 d 12、求初值问题 dy=x2-y d R:x+≤1，≤1的解的存在区间，并求第二次近似解，给 y(-1)=0 出在解的存在区间的误差估计。 13、求方程x”+9x=tsin3t的通解
宁德师专《常微分方程》期末考试卷(15) 姓名____________班级________座号__________成绩 一、 填空题 (每空 3 分，共 30 分) 1、 P(x) y Q(x) dx dy = + 称为一阶线性方程，它有积分因子 − P x dx e ( ) ，其通解为 _________ . 2、函数 f (x, y) 称为在矩形域 R 上关于 y 满足利普希兹条件，如果 _______ . 3、 若 (x) 为皮卡逼近序列 n (x) 的极限，则有 (x) (x) −n ______ . 4、方程 2 2 x y dx dy = + 定义在矩形域 R : −2 x 2,−2 y 2 上，则经过点（0，0）的解的存 在区间是 _______ . 5、函数组 t t t e e e 2 , , − 的伏朗斯基行列式为 _______ . 6、若 x (t)(i 1,2, ,n) i = 为齐线性方程的一个基本解组， x(t) − 为非齐线性方程的一个特解，则 非齐线性方程的所有解可表为 ________ . 7、若 (t) 是 x A(t)x ' = 的基解矩阵，则 ( ) ( ) ' x = A t x + f t 满足初始条件 (t 0 ) = 0 的解向量 (t) = _______； 而 ( ) ( ) ' x = A t x + f t 满足初始条件 (t 0 ) = 的解向量 (t) = _____ . 8、若矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量 n v ,v , ,v 1 2 ，它们对应的特征值分别为 n , , 1 2 ， 那么矩阵 (t) = ______ 是常系数线性方程组 x = Ax ' 的一个基解矩阵. 9、满足 _______ 的点 ( , ) * * x y ，称为方程组的驻定点. 二、计算题 （60 分） 10、求方程 4 2( 1) 0 2 2 3 x y dx + x y − dy = 的通解. 11、求方程 + e − x = 0 dx dy dx dy 的通解. 12、求初值问题 − = = − ( 1) 0 2 2 y x y dx dy R : x +1 1, y 1 的解的存在区间，并求第二次近似解，给 出在解的存在区间的误差估计. 13、求方程 x 9x tsin 3t '' + = 的通解
14、试求方程组x=Ax+f(t)的解p(t) o-4-[4o- 15、试求线性方程组女=2x-7)y+19.少=x-2y+5的奇点，并判断奇点的类型及稳定性. dt 三.证明题 (10分) 16.如果p0是x=Ax满足初始条件p)=n的解，那么p)=[ex邓A(1-lo)7
14、试求方程组 ( ) ' x = Ax + f t 的解 ( )t . = = − = 1 , ( ) 4 3 1 2 , 1 1 (0) t e A f t 15、试求线性方程组 = 2 − 7 +19, = x − 2y + 5 dt dy x y dt dx 的奇点，并判断奇点的类型及稳定性. 三．证明题 （10 分） 16．如果 (t) 是 x = Ax ' 满足初始条件 (t 0 ) = 的解，那么 (t) = exp A(t − t 0 )
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(15) 评分标准既参考答案 一、 填空题（每空3分，共30分） 1.y=e (x)ec) 2.f(x,y)在R上连续，存在L>0,使f(x,y)-fxy2≤y-y2,对于 任意(xy),(x,y2)∈R ML" hmtl 1 3. (n+1)1 4 le e 5. e -e-12e2 e-i 4e2 6w-2c0+0 1.ds Φ()0-'(o)n+Φ()Φ-'(s)(s)ds 8.[ey,e2,…,eyn] 9.X(x,y)=0,Y(x,y)=0 二.计算题 (60分) 10.解： OM =8x2y, dy =6x2y 8x OM ON dy Ox 1 积分因子(y)=e …,,(3 -M 2y 分) 2 两边同乘以u(y)后方程变为恰当方程：4x2y3dk+2y2(x3y-1)d=0 =M=4x2y两边积分得：M=4 3 xy2+(y) ….(5分) Ox 3 =2xy2+000=N=2xy2-2y ay 得：p(y)=-4y2 ….(8 分)
宁德师专数学系《常微分方程》期末考试卷(15) 评分标准既参考答案 一、 填空题 (每空 3 分，共 30 分) 1． ( ( ) ) ( ) ( ) + = − y e Q x e dx c P x dx P x dx 2． f (x, y) 在 R 上连续，存在 L 0 ，使 1 2 1 2 f (x, y ) − f (x, y ) L y − y ，对于 任意 (x, y1 ),(x, y2 )R 3． 1 ( 1)! + + n n h n ML 4． 4 1 4 1 − x 5． t t t t t t t t t e e e e e e e e e 2 2 2 4 2 − − − − 6． ( ) ( ) ( ) 1 x t c x t x t i n i i − = = + 7． t s f s ds t t ( ) ( ) ( ) 1 0 − t t t s f s ds t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 − − + 8． 1 2 1 2 [ , , , ] n t t t n e v e v e v 9． X (x, y) = 0,Y(x, y) = 0 二．计算题 （60 分） 10．解： x y x N x y y M 2 2 8 , = 6 = M y x N y M 2 1 = − − − 积分因子 2 1 2 1 ( ) − − = y = e y dy y ………..(3 分) 两边同乘以 ( y) 后方程变为恰当方程： 4 2 ( 1) 0 2 3 1 3 2 2 + − = − x y dx y x y dy 3 2 2 M 4x y x u = = 两边积分得： ( ) 3 4 2 3 3 u = x y + y ………..(5 分) 2 1 2 1 2 ' 3 1 3 2 ( ) 2 2 − = + = = − x y y N x y y y u 得： 2 1 ( y) = −4y ……..(8 分)
因此方程的通解为：y2(x3y-3)=c .(10分) 1.解：令少=y=p则p+eP-x=0 .(2分) dx 得：x=p+e ….(4分) 挪么y=∫pdk=∫pI+eP)dp -+pep-ep+c .(8分) 2 x=p+ep 因此方程的通解为： …..(10分) y=2+(p-De+e 12.解：M=mafx,y=4 x-xo≤1=a,y-yal≤1=b =ma号 …..(2分) 解的存在区间为K-小=k+s有= 即 5 ….(4分） 令p(x)=0=0 a=0+=号+ =0+-写+- 6318942 ….(8分) -2s2=1 又 误差估计为：②.(x)-x以5+h三1 .(10分) 24 13.解：2+9=0→元=3i,22=-3i .(2分)
因此方程的通解为： y (x y − 3) = c 2 3 1 ..(10 分) 11．解：令 y p dx dy = = ' 则 p + e − x = 0 p ..(2 分) 得： p x = p + e …..(4 分) 那么 y = pdx = p + e dp p (1 ) pe e c p p p = + − + 2 2 ..(8 分) 因此方程的通解为： = + − + = + p e c p y x p e p p ( 1) 2 2 ……..(10 分) 12．解： max ( , ) 4 ( , ) = = M f x y x y R x − x0 1= a, y − y0 1= b ， 4 1 = min( , ) = M b h a ………… ……..(2 分) 解的存在区间为 4 1 x − x0 = x +1 h = 即 4 3 4 5 − x − ……………..(4 分) 令 0 (x) = y0 = 0 3 1 3 ( ) 0 3 1 2 1 = + = + − x x x dx x 42 11 3 63 18 9 ) 3 1 3 ( ) 0 ( 3 7 4 1 2 3 2 2 = − − − + = + − + − x x x x dx x x x x ……..(8 分) 又 y L y f = − = 2 2 误差估计为： 24 1 ( 1)! ( ) ( ) 1 2 = + − n+ n h n ML x x ..(10 分) 13．解： 9 0 3i, 3i 1 2 2 + = = = − .(2 分)
入=3i是方程的特征值，设x(t)=1(At+B)e3n .(4分) 得：x°=(2A-9Bt+12Ait+6B-9At2)e3n 则2A+12Ait+6Bi=t 得：A=-2,B=6 1 ….(8分) 1sn31….10分) 因此方程的通解为：x0=Gc0s31+G,sm31-Pc0s31+30 12 14.解：deE-)= 2-1-2 -4-3 =(2+102-5)=0 21=-1,2=5 …..(2分)】 (2E-A0加=0得y= (亿E-A0y2=0得，= 2B 则基解矩阵Φ(t)= .(6分) wwww- 10 因此方程的通解为：p(0)=D()D-'(0)n+p()D'(s)fs)ds 3 s+e-e 2 20 5 4。 ….(10分) 10 2e+e+5 15.解： 2x-7y+19=0=x= x-2y+5=0 =3 .(2分) (1,3)是奇点 令X=x+ 9Y=y-2
= 3i 是方程的特征值， 设 it x t t At B e 3 ( ) = ( + ) − ..(4 分) 得： it x A Bt Ait Bi At e " 2 3 = (2 − 9 +12 + 6 − 9 ) 则 2A+12Ait + 6Bi = t 得： 36 1 , 12 1 A = − i B = …..(8 分) 因此方程的通解为： x t c t c t t t tsin 3t 36 1 cos3 12 1 ( ) cos3 sin 3 2 = 1 + 2 − + …… .(10 分) 14．解： ( 1)( 5) 0 4 3 1 2 det( ) = + − = − − − − − = E A 1 = −1,2 = 5 ………..(2 分) (1E − A)v1 = 0 得 − = 1 v 取 − = 1 1 1 v (2E − A)v2 = 0 得 = 2 2 v 取 = 2 1 2 v 则基解矩阵 − = − t t t t e e e e t 5 5 2 ( ) ..(6 分) − = − − = − − − − − t t t t t t e e e e e e t 1 1 2 1 2 1 1 0 2 ( ) (0) 5 5 1 − + + − = − 5 1 2 1 10 3 5 2 4 1 20 3 ( ) ( ) ( ) 5 5 1 0 t t t t t t e e e e t s f s ds 因此方程的通解为： − − = + t t t t t s f s ds 0 ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) 1 1 − + + + − − = − − 5 1 2 1 10 3 5 2 4 1 20 3 5 5 t t t t t t e e e e e e …………… …..(10 分) 15．解： = = − + = − + = 3 1 2 5 0 2 7 19 0 y x x y x y ..(2 分) （1，3）是奇点 令 2 5 , 2 19 X = x + Y = y −
dX=2x-7y,1=x-2Y ….(5分) dt 2-27 -2 7 -11+2 0 3+2=0….(8分) 1-2 可得： 2=V3i,元2=-3i 因此(1,3)是稳定中心 .(10 分) 三.证明题 (10分) 16.证明：由定理8可知p(0=()0'()M+()Φ'(s)f(s)d .(3分) 又因为Φ(t)=exp At,.Φ(to)=(e邓At,)-=exp(-At) .(5分) f(s)=0 所以p(t)=exp At.exp(-Al)n .(8分) 又因为矩阵(A)(-At)=(-Ato)(A)） 所以p()=[epA(t-to)n .(10分)
x Y dt dY X y dt dX = 2 − 7 , = − 2 ……………..(5 分) 0 2 3 0 2 7 1 2 2 7 − − = − − ，那么由 0 2 3 0 2 7 1 2 2 7 2 = − + − = − + − …………..(8分) 可得： 3i, 3i 1 = 2 = − 因此（1，3）是稳定中心 ..(10 分) 三．证明题 （10 分） 16．证明：由定理 8 可知 t t t t s f s ds t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 − − = + ..(3 分) 又因为 ( ) exp , ( ) (exp ) exp( ) 0 1 0 0 1 t = At t = At = −At − − ..(5 分) f (s) = 0 所以 (t) = exp At exp(−At0 ) ..(8 分) 又因为矩阵 ( ) ( ) ( ) ( ) At −At0 = −At0 At 所以 (t) = exp A(t − t 0 ) ..(10 分)