数学建模07秋祺拟试愿及答案 中央电大教育学院顺静相 一、第空恩（每题5分，共20分） 1.若制始人口致x,时刻：的人口数为x),增长本为r,知有马尔萨斯的人口模型 dr =区，x(0)=名，·若允许的最大人口数为x·那么人口增长率设置为，则有罗徒撕蒂克 模型为： =x1-产)x0= d 己者核级利针理0方元10车年后的降值是器=32579方元，则车利率位为 3,·家服装店经营的某神服装平均每天卖出100作，进货次的批发手缤费为200元 存储费用为每件0,01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最先进货量分别 为 4.若线性规划模型有最优解，则这个解有两种情况。 二、分析判断思（每小恩15分，满分30分） 1.我]时常到数学愤内、食堂和宿台楼内的长流水现象，这自然是极大的浪费。为 了建设节约州学校，需要你对节水问题给予解决，那么你将考龙娜些相关因？试至少给出 5个 2.求解生产计划问题的数学模型 mr2=500x1+350x) [2x1+x3≤300 4x1+3x2≤600(2) 5-1 6+4x,≤810(3) x1,x220 其中名，x2女示A、B两种产品的生产量，0、00和810分别女示生产用二种原科可 供给量，00和350则是生产单位产品A,B所获利洞. 并分析解决下述间燧： (们)最促生产方案是什么？最优值达到多少？最优解是否唯·？ (2)三种原料的使用情况如何？是否挥被充分利用？ 1
1 数学建模 07 秋模拟试题及答案 中央电大教育学院 顾静相 一、填空题（每题 5 分，共 20 分） 1． 若初始人口数 0 x ，时刻 t 的人口数为 x(t) ，增长率为 r ，则有马尔萨斯的人口模型 0 d , (0) d x rx x x t = = . 若允许的最大人口数为 m x ，那么人口增长率设置为，则有罗捷斯蒂克 模型为： 0 d (1 ), (0) d m x x rx x x t x = − = . 2．若按照复利计算 20 万元 10 年后的终值是 10 9 21 32.5779( ) 20 = 万元 ，则年利率应为 . 3．一家服装店经营的某种服装平均每天卖出 100 件，进货一次的批发手续费为 200 元， 存储费用为每件 0.01 元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别 为 . 4．若线性规划模型有最优解，则这个解有 两种情况。 二、分析判断题（每小题 15 分，满分 30 分） 1．我们时常看到教学楼内、食堂和宿舍楼内的长流水现象，这自然是极大的浪费. 为 了建设节约型学校，需要你对节水问题给予解决. 那么你将考虑哪些相关因素？试至少给出 5 个. 2．求解生产计划问题的数学模型 max 500 1 350 2 z = x + x + + + , 0 6 4 810 (3) 4 3 600 (2) 2 300 (1) 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x x x s t 其中 1 2 x , x 表示 A、B 两种产品的生产量，300、600 和 810 分别表示生产用三种原料可 供给量，500 和 350 则是生产单位产品 A、B 所获利润. 并分析解决下述问题： （1） 最优生产方案是什么？最优值达到多少？最优解是否唯一？ （2） 三种原料的使用情况如何？是否都被充分利用？
三、计算题（年思25分，满分0分】 1.求解混合整数规划模型： miny=0.1x+0.9x2+0.2x3 3+2x3=40 s13x+无=40 x,x3∈Nx20. 即竖求最记解中的x,为非负变量而其它为整数。 2.有某种物资从三个产地运往四个诗地，各产地的产量及各诗地的销量如表所示.但 其中间各数据为利润值，希望在完成运输任务的同时，使总利陶达到最大.试给出最优运输 方案。（提示：求初始方案用最大元素法，当所有检验数入，≤0时为量优解，检险数求法不 变) 表1单位：万元/电 缅地 运价 长品品B 产量 产地 h 11310 7 山 928 4 扁 7 4105 9 钥量 3 656 2
2 三、计算题（每题 25 分，满分 50 分） 1．求解混合整数规划模型： 1 2 3 2 3 1 2 1 2 3 min 0.1 0.9 0.2 2 40, . . 3 40, , , 0. y x x x x x s t x x x x x = + + + = + = N 即要求最优解中的 3 x 为非负变量而其它为整数． 2．有某种物资从三个产地运往四个销地，各产地的产量及各销地的销量如表所示. 但 其中间各数据为利润值，希望在完成运输任务的同时，使总利润达到最大. 试给出最优运输 方案.（提示：求初始方案用最大元素法，当所有检验数 0 ij 时为最优解，检验数求法不 变） 表 1 单位:万元/吨 销地 运价 产地 B1 B2 B3 B4 产量 A1 3 11 3 10 7 A2 1 9 2 8 4 A3 7 4 10 5 9 销量 3 6 5 6
数学建模0？秋模拟试思参考解答 一、填空题（每想5分，共20分》 1.x)=r- 2.0.05 3.T200°=2000 4.唯一解域无穷多解 二、分析判断惠（每小题15分，满分30分） 1,(1》更换自米水龙头及其费用、节约下米的水量费两个因素，两者的比较可用于确 定建模目标；，8分 (2)数据调查：学校平均每个月的用水量，食堂的用水量、卫生间用水量、宿舍用水 限量的、定时定量侯水的可行性调查：路时中请用水同题等因素15分 2.(1)使用图解法可知最优解为”=(15,180)'，而最优值为2=7,05万，最优解是 难一的.。 *一8分 (2)将最优解代入的束条件可知第一个钓束条件为严格不等式，而其他为严格等式，这 说明第一种隆源尚有90个单位未按利用，利用率仅为7%，又将代入约束条件(2)和(3) 两的束条件均成为严格等式，这说明原料Ⅱ和Ⅲ的进货量被完全充分地利用 了。m号，15分 三、计算愿（每题25分，满分50分） 1.首先解出无= 0-，为= 3 _0-名，代入目标函数得 2 16.23 3+0 y= 注意目标是最小值问题，而无：©N,故令玉：=0即可推出一组解 40 石=34=0名=20.….6分 40 由于馬= 3 不是整数解，分支为如下两个子月题： 3
3 数学建模 07 秋模拟试题参考解答 一、填空题（每题 5 分，共 20 分） 1. r(x) = r − sx 2．0.05 3． * * T Q = 20, 2000 4．唯一解或无穷多解 二、分析判断题（每小题 15 分，满分 30 分） 1．（1）更换自来水龙头及其费用、节约下来的水量费两个因素，两者的比较可用于确 定建模目标； …………………..8 分 （2）数据调查：学校平均每个月的用水量，食堂的用水量、卫生间用水量、宿舍用水 限量的、定时定量供水的可行性调查：临时申请用水问题等因素 …….15 分 2．（1）使用图解法可知最优解为 X * =（15，180） T，而最优值为 Z * =7.05 万，最优解是 唯一的． …………………………8 分 （2）将最优解代入约束条件可知第一个约束条件为严格不等式，而其他为严格等式. 这 说明第一种资源尚有 90 个单位未被利用，利用率仅为 70%。又将 x *代入约束条件（2）和（3）， 两约束条件均成为严格等式，这说明原料Ⅱ和Ⅲ的进货量被完全充分地利用 了. ………………………..15 分 三、计算题（每题 25 分，满分 50 分） 1．首先解出 2 2 1 3 40 40 , 3 2 x x x x − − = = ，代入目标函数得 2 30 23 3 16 y = + x ， 注意目标是最小值问题，而 2 x N ，故令 2 x = 0 即可推出一组解 1 2 3 40 , 0, 20. 3 x x x = = = ………..6 分 由于 1 40 3 x = 不是整数解，分支为如下两个子问题：
miny=0.1x+0.9x+02x 高2+2%=40 3+馬=40 ① 81. 名≤13 马，馬eN,馬20 miny=0.1x1+0,9x2+02x 马3+2%=40 3+x3=40, 四 马214 马，高eN,高20 分别求解问题①、②. 12分 注意到黑214，无EN,则第二个条件必不成文，故问题②无解，故求解①.仍果用以 前解法有 与=20-亭名=0兰，而551B,故得52 3 代入目标橘数知，当玉=1时.y取最小值，将x=1代入无，表达式又得到 名=13=l韦=19 即为所求最优解。目标值为儿=6.1，+…m25分 2。首先利用“最大元素法”求出初始方案如表： 表2单位：万元/吨 流地 起价 B.B Ba B. 产量 产地 A 311310, 7 A 1928. 4 w 7,410,5 9 肺量 3656 nnn2分 其次，注意到当所有检验数都入≤0时达到最优解，使用阳回路法容易得知，初始方
4 1 2 3 2 3 1 2 1 1 2 3 min 0.1 0.9 0.2 2 40 3 40 . . 13, , , 0. y x x x x x x x s t x x x x = + + + = + = N ① 1 2 3 2 3 1 2 1 1 2 3 min 0.1 0.9 0.2 2 40, 3 40, . . 14, , , 0. y x x x x x x x s t x x x x = + + + = + = N ② 分别求解问题①、②. ……………………12 分 注意到 x1 14, x2 N ，则第二个条件必不成立，故问题②无解，故求解①.仍采用以 前解法有 2 2 3 1 40 20 , 2 3 x x x x − = − = ，而 1 x 13 ，故得 2 x 1. 代入目标函数知，当 2 x =1 时, y 取最小值，将 2 x =1 代入 1 3 x x, 表达式又得到 1 2 3 1 13, 1, 19 , 2 x x x = = = 即为所求最优解，目标值为 min y = 6.1. …………………25 分 2．首先利用“最大元素法”求出初始方案如表： 表 2 单位:万元/吨 销地 运价 产地 B1 B2 B3 B4 产量 A1 3 11 6 3 10 1 7 A2 1 9 2 8 4 4 A3 7 3 4 10 5 5 1 9 销量 3 6 5 6 …………………12 分 其次，注意到当所有检验数都 0 ij 时达到最优解，使用闭回路法容易得知，初始方
案就是最优方案，故所求最优方案如表所示，……25分
5 案就是最优方案. 故所求最优方案如表所示. …………………25 分