数学建模试题5秋机抓试愿及答案 中央电大顺静相 一、填空愿（每厘5分，共20分》 1.若银行的年利刊率是x%,即需要时间，存入的线才可翻香。 2有人观察到鱼尾每摆动一次。鱼所移动的距离几乎与鱼身的长度相等。则鱼尾摆动 的次数T(次/秒)、鱼身的长度L和它的速度P的美系式为一 3已知行星的质量与它的密度和它的率径的立方成正比.若某行星的直径是地球直径 的d倍，且它的平均密度是地球的s倍，则此行星质量是地球的一倍 4一个图能够一笔西的充分必要条件是一 二、分析列断题（每题10分，共20分） 1,地方公安部门想知道，当紧急事故发生时，人群从一个建筑物中搅离所需要的时间， 假设有足够的安全通道，若番挥者想尽可能多且快地将人菲辙离，应制定甚度样的疏股计划 请就这个计划指出至少三个相关因素，并使用数学符号表示. 2假设某个数学模型建成为如下形式： e=n-- 试在适当的假设下将这个横型进行简化， 三、计算题（每思20分，共40分】 1.某合金加工单位要加工一批成套窗料，每套应料含有22《m)和15(m小长度的料 各两根。总计要加工0套，所用原料的长度均为4.6风刷).试建立整数规划核型以给出一个 截料方案，使得所用原料最少？ 2求如图一所示网络中？到，的最复路线及其路长
1 数学建模试题 05 秋模拟试题及答案 中央电大 顾静相 一、填空题（每题 5 分，共 20 分） 1. 若银行的年利率是 x %，则需要时间，存入的钱才可翻番. 2. 有人观察到鱼尾每摆动一次，鱼所移动的距离几乎与鱼身的长度相等，则鱼尾摆动 的次数 T （次/秒）、鱼身的长度 L 和它的速度 V 的关系式为 . 3. 已知行星的质量与它的密度和它的半径的立方成正比.若某行星的直径是地球直径 的 d 倍，且它的平均密度是地球的 s 倍，则此行星质量是地球的 倍. 4. 一个图能够一笔画的充分必要条件是 . 二、分析判断题（每题 10 分，共 20 分） 1. 地方公安部门想知道，当紧急事故发生时，人群从一个建筑物中撤离所需要的时间， 假设有足够的安全通道.若指挥者想尽可能多且快地将人群撤离，应制定甚麽样的疏散计划. 请就这个计划指出至少三个相关因素，并使用数学符号表示. 2. 假设某个数学模型建成为如下形式： ( ) [1 (1 ) ]e . 2 2 1 2 2 x a x x M P x = − − 试在适当的假设下将这个模型进行简化. 三、计算题（每题 20 分，共 40 分） 1. 某铝合金加工单位要加工一批成套窗料，每套窗料含有 2.2(m) 和 1.5(m) 长度的料 各两根，总计要加工 20 套，所用原料的长度均为 4.6(m), 试建立整数规划模型以给出一个 截料方案，使得所用原料最少？ 2. 求如图一所示网络中 1 v 到 9 v 的最短路线及其路长
图一 四、综合应用题（本题20分） 一个星级旅前有150个客房，经过一段时间的经营实战，旅前经理得到一些数据：若 每间客房定价为160元，住房率为55：每间客房定价为10元，住房率为65：每何客房 定价为120元，住房率为7：每回客房定价为100元，住房率为85消，欲使每天收入最高。 每间客房定价应为多少子 往：本题要求按预五步建模法给出难模全过程
2 图一 四、综合应用题（本题 20 分） 一个星级旅馆有 150 个客房，经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到一些数据：若 每间客房定价为 160 元，住房率为 55%；每间客房定价为 140 元，住房率为 65%；每间客房 定价为 120 元，住房率为 75%；每间客房定价为 100 元，住房率为 85%.欲使每天收入最高， 每间客房定价应为多少？ 注：本题要求按照五步建模法给出建模全过程
数学速模5秋棋纵试题参考解答 一、填空题〔每题5分，共20分) 1.h2/H1+x阳：2.'=kT几(k是常数h3sd': 4.该图为连通图且奇点个数为0或2 二、分析判断题（每题10分，共20分） 1,解！辙离时人员的分布状态S、人员总数N,撒离速度？、人们之间相对拥挤程度 「，人员所在地与安全地点的距离L,人员抓离完毕所需要的总时间：等。 注：列出的因素不是三个，每缺一个扣3.5分。 2解：当 较小的时候，可以利用二项展开式将小括号部分简化为 W友=1一交 2a2 从而有 P(x)= 若国也很小，则可以利用1+x将其进一步化简为 M )2a+ 三、计算题（每题20分，共40分） 1,解：先列出所有可能的裁料方案： 方案 2 3 尺寸 22米 0 1 2 1.5米 3 1 0 料头 0.1 0.9 0.2 长
3 数学建模 05 秋模拟试题参考解答 一、填空题（每题 5 分，共 20 分） 1. ln 2 / ln(1+ x%) ； 2. V = kTL （k 是常数）； 3. 3 sd ； 4. 该图为连通图且奇点个数为 0 或 2. 二、分析判断题（每题 10 分，共 20 分） 1. 解：撤离时人员的分布状态 S 、人员总数 N 、撤离速度 v 、人们之间相对拥挤程度 r 、人员所在地与安全地点的距离 L 、人员撤离完毕所需要的总时间 t 等. 注：列出的因素不足三个，每缺一个扣 3.5 分。 2. 解：当 a x 较小的时候，可以利用二项展开式将小括号部分简化为 , 2 (1 ) 1 2 2 2 1 2 2 a x a x − − 从而有 2 e 2 ( ) 2 x x a M P x = . 若 x 也很小，则可以利用 x x e 1+ 将其进一步化简为 (1 ). 2 ( ) 2 2 x x a M P x = + 三、计算题（每题 20 分，共 40 分） 1. 解：先列出所有可能的截料方案： 方案 尺寸 1 2 3 2.2 米 0 1 2 1.5 米 3 1 0 料头 长 0.1 0.9 0.2
由此假授，按盟方案1、2、3分别需原料x,无2，x根，以：表示总料头长，则有 mm:=0.1x1+0.9x2+02x x2+2x3■40 3x+3+=40, ,,3eN 由两个约束条件得x,=(40-x)/2,,=(0-x)/3,一起代入目标函数得 16.23 =3+0 40 可见应令名=0，→名=)名=20.但无非整数，千是可将原何题添加条件构成两个 新的整数规划问题： m血：=0.lx1+0.9x:+0.2x x2+2x=40, (0以3知+3+ =40. 1s13x,2,eN mm:=0.1x,+0.9x2+02xy :+2x1=40 (2以3%1++ =40. 214,x2,玉，玉eN 其中问愿(2)无解，面(1》可同上求解得 20-受0兰B=5 3 代入日标痛致可知名=1户名=3=19 依此再进行分支和求解，最后获得解为 名=12名2=4，x=18→5m=8.4. 即按照方案1、2、3各自截12、4、18根原料即为最优方案。 2解：利用双标号法可得图二： 4
4 由此假设，按照方案 1、2、3 分别需原料 1 2 3 x , x , x 根，以 z 表示总料头长，则有 + + = + = = + + x x x N x x x x z x x x 1 2 3 1 2 2 3 1 2 3 , , 3 40, 2 40, min 0.1 0.9 0.2 由两个约束条件得 (40 )/ 2, (40 )/ 3, 3 2 1 2 x = − x x = − x 一起代入目标函数得 , 30 23 3 16 2 z = + x 可见应令 , 20. 3 40 0, x2 = x1 = x3 = 但 1 x 非整数，于是可将原问题添加条件构成两个 新的整数规划问题： + + = + = = + + x x x x N x x x x z x x x 1 1 2 3 1 2 2 3 1 2 3 13, , , 3 40, 2 40, (1) min 0.1 0.9 0.2 + + = + = = + + x x x x N x x x x z x x x 1 2 3 1 1 2 2 3 1 2 3 14, , , 3 40, 2 40, (2) min 0.1 0.9 0.2 其中问题（2）无解，而（1）可同上求解得 , 13 1, 3 40 , 2 20 1 2 2 1 2 3 − = − = x x x x x x 但 代入目标函数可知 . 2 1 x2 = 1 x1 = 13, x3 = 19 依此再进行分支和求解，最后获得解为 12, 4, 18 8.4. x1 = x2 = x3 = zmin = 即按照方案 1、2、3 各自截 12、4、18 根原料即为最优方案. 2. 解：利用双标号法可得图二：
回 回 2 多回 回 2 回4回6回 图二 故得男，到？，的最短路线（两条）及其路长分别为 第一条：男→V4+书3→的→：=18 第二条：男→4→。→书→书→书1m=18 四、综合应用题（本愿20分） 解：（一）问题分析 1,易于看出，定价每降低20元，住房率便增加10偶，呈线性增长趋势 2.160元的定价是否为最高价应给子确定： 3.是否所有客房定价相同需要确定。 (二) 模型假设 1,在无其他信息时，每间客房的最高定价均为10元： 2.所有客房定价相同 (三)榄型建立 根据程设1，如果设y代表旅馆一天的总收入。而x表示与1的元相比降低的房价， 则可得每降低1钱元的房价，住房率增加为1%/20=0,00城由此便可以得到 y=150160-x0.55+0.005x)(1) 注意到055+0.005xsL,又得到0sxs90.于是得到所求的数学模型为： mxy=150160-x0.55+0.005x).0sx≤90 (四)模型求解 这是一个二次函数的极值问愿，利用导数方法易于得到x=25∈[0,90)]为唯一驻点，句 思又确实存在最大值。故x■25（元）即为价格降低幅度，也即160-25135（元）应为最 5
5 图二 故得 1 v 到 9 v 的最短路线（两条）及其路长分别为 第一条： ; 18. v1 → v4 → v3 → v5 → v7 → v9 lmin = 第二条： ; 18. v1 → v4 → v6 → v5 → v7 → v9 lmin = 四、综合应用题（本题 20 分） 解：（一）问题分析 1. 易于看出，定价每降低 20 元，住房率便增加 10%，呈线性增长趋势； 2. 160 元的定价是否为最高价应给予确定； 3. 是否所有客房定价相同需要确定. （二） 模型假设 1. 在无其他信息时，每间客房的最高定价均为 160 元； 2. 所有客房定价相同. （三）模型建立 根据假设 1.，如果设 y 代表旅馆一天的总收入，而 x 表示与 160 元相比降低的房价， 则可得每降低 1 钱元的房价，住房率增加为 10%/20=0.005.由此便可以得到 y = 150(160 − x)(0.55 + 0.005x) （1） 注意到 0.55 + 0.005x 1, 又得到 0 x 90, 于是得到所求的数学模型为： max y = 150(160 − x)(0.55 + 0.005x) ，0 x 90. （四）模型求解 这是一个二次函数的极值问题，利用导数方法易于得到 x = 25[0,90] 为唯一驻点，问 题又确实存在最大值，故 x = 25 （元）即为价格降低幅度，也即 160-25=135（元）应为最
大收入所树应的房价。 (五》核型分析 1.将房价定在135元时，相应的住房率为055+0.005×25=675%最大收入为 y=150×135×67.3%=13668.75(元).表面上住房率没有达到最高，但是总收入达 到最大，这白然是佳房率与价格相互制的造成 2可以将五种定价的总收入求出以做比较（从略）和检验。如我们的结果是正确的 及为了便于管理。将价格定在140元/（天，间）也无妨，因为此时的总收入与最高收 入仅差18.75元 4.假如定价是180元，住房率应为45。其相应的收入只有1210元，由此可知。我 们的假设1.是正确的
6 大收入所对应的房价. （五）模型分析 1. 将房价定在 135 元时，相应的住房率为 0.55 + 0.005 25 = 67.5%, 最大收入为 ymax =15013567.5% =13668.75 （元）.表面上住房率没有达到最高，但是总收入达 到最大，这自然是住房率与价格相互制约造成. 2. 可以将五种定价的总收入求出以做比较（从略）和检验，知我们的结果是正确的. 3. 为了便于管理，将价格定在 140 元/（天.间）也无妨，因为此时的总收入与最高收 入仅差 18.75 元. 4. 假如定价是 180 元，住房率应为 45%，其相应的收入只有 12150 元，由此可知，我 们的假设 1.是正确的