常徽分方程9秋模拟试题1 一，填空题（每小题3分，木题共15分】 1.方程(y+1灿+(x+)=0所有常数解是. 2。方程史。x5mx+功满足解的存在惟一性定理条件的区域是。 d血 3.n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间。 4.二阶线性方程)y”+y=0的基本解组是。 d女 5.平面系统 =2x+3y 的奇点类型是， dy =x+3y d山r 二、单项速释题（每小题3分，本思共15分） 6.一阶线性微分方程史+p武xy一g)的积分因子是(). dx (A)uefno ”(B)H=emw (C)e() 2 ,.方程史=3y过点00)的解0. d红 (A)只有一个(B)只有两个 (C)有无数个(D)只有三个 8.若化.)在全平面上连线且对y满足李普希些条件，不么方程史-化，川的任一解的存 在区间(. (A)必为(-0,0)(B)因解而定 (C)必为(-0.+0)(D)必为(0.+o 9.n排方程组上。Fx,门的任一解的图像是+1维空何红，门中的(。 dx (A)一个曲面(B)n个曲面 (C)n条由线(D》一条曲线 10.己知方程)+y=4x的一个特解为x3,又对应齐次方程)+y=0有一个特解为门x, 则原方程的透解为() (A)y-Cx+C:Inx+x (B)y=Cx+C:Inx+x
1 常微分方程 09 秋模拟试题 1 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1．方程 (y +1)dx + (x +1)dy = 0 所有常数解是． 2．方程 sin( ) d d x x y x y = + 满足解的存在惟一性定理条件的区域是． 3． n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间． 4．二阶线性方程 y y + = 0 的基本解组是． 5．平面系统 = + = + x y t y x y t x 3 d d 2 3 d d 的奇点类型是． 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6.一阶线性微分方程 d ( ) ( ) d y p x y q x x + = 的积分因子是（）． （A） = p(x)dx e （B） = q( x)dx e （C） = − p(x)dx e （D） = − q(x)dx e 7.方程 3 2 3 d d y x y = 过点 (0, 0) 的解（）． （A）只有一个（B）只有两个 （C）有无数个（D）只有三个 8．若 f x y ( , ) 在全平面上连续且对 y 满足李普希兹条件，那么方程 d ( , ) d y f x y x = 的任一解的存 在区间（）． （A）必为 ( ,0) − （B）因解而定 （C）必为 ( , ) − + （D）必为 (0, ) + 9.n 维方程组 ( , ) d d F x Y x Y = 的任一解的图像是 n+1 维空间 (x, Y) 中的（）． （A）一个曲面（B）n 个曲面 （C）n 条曲线（D）一条曲线 10．已知方程 xy y x + = 4 的一个特解为 2 x ，又对应齐次方程 xy y + = 0 有一个特解为 ln x ， 则原方程的通解为（）． （A） 2 1 2 y C x C x x = + + ln （B） 2 2 1 2 y C x C x x = + + ln
(C)y=C+C,Inx+x (D)y=Cx'+CInx+x 三、计算题（每小题8分，本题共40分） 求下列方程的通解或通积分： 1l.0+xd+0-ydy=0 2 2=y-x 13.(x2+92+x2)d+x2y=0 14.(y2-2y+1=0 15.°+y=4x 四、计算题（本题共15分） 16.求下列方程组的通解. =2x-3y d =x-2y d 五、谨明题（本题共15分） 17.设八x一个多项式函数，证明：方程 业=Pxcy 所有解的存在区间必为（一。，+）： 常微分方程的秋棋抓试愿参考解答 一，填空题（每小题3分，本题共15分》 1.y=-1:x=-1 2.全平面 3.n 4.cosx,sin x 5.不稳定结点 二、单项选择愿（每小思3分，本题共15分） 6.A7.C8.B9.D10.C 三、计算题（每小题8分，本题共40分） 11.解将方程改写为 y-ldy-x+ldx 2
2 （C） 2 1 2 y C C x x = + + ln （D） 3 2 1 2 y C x C x x = + + ln 三、计算题（每小题 8 分，本题共 40 分） 求下列方程的通解或通积分： 11. (1+ x)ydx + (1− y)xdy = 0 12. d 3 d y x y x x = − 13． 3 2 2 2 ( )d d 0 x xy x x x y y + + + = 14． ( ) 2 1 0 2 y − xy + = 15． xy + y = 4x 四、计算题（本题共 15 分） 16．求下列方程组的通解． = − = − x y t y x y t x 2 d d 2 3 d d 五、证明题（本题共 15 分） 17．设 P(x) 一个多项式函数，证明：方程 P x y x y ( ) cos d d = 所有解的存在区间必为 (−, + )． 常微分方程 09 秋模拟试题参考解答 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1． y = −1， x = −1 2．全平面 3． n 4． cos ,sin x x 5．不稳定结点 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．A7．C8．B9．D10．C 三、计算题（每小题 8 分，本题共 40 分） 11．解将方程改写为 x x x y y y d 1 d 1 + = −
积分得y-h=x+nl+C 即通积分为y-x-n列=C 12.解方程写成 y.2-x dx x 齐次方程通解为y=C 令y=C(x)言是非齐次解，代入得 CO)--x+C 照方程适解为y=Cx-了 13.解=20= aN y 方程是全微分方程，取（怎，）=(0,0) 原方程的通积分为 [(x2+2+x2dr=C wir..jr-C 14.解令少=P,则x=+号，原方程的参数彩式为 2p2 y=p 由中y,有 积分有 y-d+ip'+c 2 4 得原方程参数形式通解 =1+p x=- 2p2 1 1 ++c
3 积分得 y − ln y = x + ln x + C 即通积分为 y − x − ln xy =C 12．解方程写成 d 2 d y y x x x = − 齐次方程通解为 y Cx = 令 y C x x = ( ) 是非齐次解，代入得 1 2 ( ) 2 C x x C = − + 原方程通解为 1 3 2 y Cx x = − 13．解 2 M N xy y x = = 方程是全微分方程，取 0 0 ( , ) (0,0) x y = 原方程的通积分为 3 2 2 0 ( )d x x xy x x C + + = 即 1 1 1 4 2 2 3 4 2 3 x x y x C + + = 14．解令 y = p ，则 2 2 1 p p x = + ，原方程的参数形式为 = = + y p p p x 2 2 1 由 dy = y dx ，有 p p p p p y p )d 2 2 1 )d ( 2 1 2 1 d ( 2 = − + = − + 积分有 y = − p + p + C 2 4 1 ln 2 1 得原方程参数形式通解 = − + + = + y p p C p p x 2 4 1 ln 2 1 2 2 1
15.解令y=:,y=:代入方程，得 +:=4x dx 即(exy=4x 积分，得x=2x2+C 即：=2x+写 于是业-2x+S C dx 原方程的通解为 y=x+C+C 四、计算题（本题共15分） 16.解特征方程 2-1-3 1A-4EH 1-2- =(a+12-)=0 特狂根为入=1入=-1 入和入对应的特征向量分别是 原方程组的通解是 C-ce 五、证明题（本题共15分） 17.谨明因为Px)在(-，+助)上连续，c路y及(csyY=-sny在(-或，+)上连续，所以该 方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理 又显然y=二+k标，k=0,士L士2，…是方程的常数解。 观设=是方程的任一解，若其初植在常数解)=受+：上，则由解的椎一性， 国)=+灯的存在区何必为(D.+四).若其初值落在上述两个常数解之间，那么由解的惟一性 和解的延展定理，y=x)可向平面的无穷运无限延展，同时又不能上下穿越这两个常数解，故其 存在区间必为(-鱼，+0)
4 15．解令 y = z, y = z 代入方程，得 z x x z x 4 d d + = 即 (zx) = 4x 积分，得 zx = x + C 2 2 即 x C z = 2x + 于是 x C x x y = 2 + d d 原方程的通解为 1 2 y = x + C ln x + C 四、计算题（本题共 15 分） 16．解特征方程 2 3 | | ( 1)( 1) 0 1 2 A E − − − = = + − = − − 特征根为 1 2 = = − 1, 1 1 和 2 对应的特征向量分别是 3 1 和 1 1 原方程组的通解是 1 2 3e e e e t t t t x C C y − − = + 五、证明题（本题共 15 分） 17．证明因为 P(x) 在 (−, + ) 上连续， cos y 及 (cos y) = −sin y 在 (−, + ) 上连续，所以该 方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理． 又显然 , 0, 1, 2, 2 y = + k k = 是方程的常数解． 现 设 y = y(x) 是方程的任一解, 若其 初 值 在常 数 解 y = + k 2 上 , 则 由 解 的惟 一 性 ， y x = + k 2 ( ) 的存在区间必为 (−, + ) ．若其初值落在上述两个常数解之间，那么由解的惟一性 和解的延展定理， y = y(x) 可向平面的无穷远无限延展，同时又不能上下穿越这两个常数解，故其 存在区间必为 (−, + )．