常澈分方程模拟试框 一，填空题〔每小题3分，本题共15分) 【,一阶微分方程的通解的图像是维空同上的一族由找 2.二阶线性齐次微分方程的两个解()，乃，()为方程的基本解组充分必要条件是 3.方程y”-2y'+y=0的基本解组是。 4,一个不可延展解的存在在区间一定是区间， 5.方程史=-下的常数解是 二、单项选择题（每小愿3分，本愿共15分） 6,方程业。x+y满足初值问愿解存在且难一定理条件的区城是O, (A)上半平面(B)xy平面(C)下半平面(D)除y轴外的全平面 1.方程史=5+1(0奇解. d (A)有一个(B)有两个(C)无(D)有无数个 8.0)连续可微是保证方程业=心)解存在且雅一的)条件。 dx (A)必要(B)充分(C)充分必要(D)必要事充分 9.二阶线性非齐次微分方程的所有解(). (A)构成一个2维线性空间(B)构成一个3操线性空间 (C)不能构成一个线性空间(D)构成一个无限维线性空间 10.方程=3y过点00有0. dr (A)无数个解(B)只有一个解(C只有两个解(D)贝有三个解 三，计算题（每小题6分，本愿共30分） 求下列方程的通解或通积分： n.业=yny dx 变=y+
1 常微分方程模拟试题 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1．一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线． 2．二阶线性齐次微分方程的两个解 ( ), ( ) 1 2 y x y x 为方程的基本解组充分必要条件是 ． 3．方程 y − 2y + y = 0 的基本解组是． 4．一个不可延展解的存在在区间一定是区间． 5．方程 2 1 d d y x y = − 的常数解是． 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．方程 x y x y = + − 3 1 d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）． （A）上半平面（B）xoy 平面（C）下半平面（D）除 y 轴外的全平面 7.方程 1 d d = y + x y （）奇解． （A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个 8． f ( y) 连续可微是保证方程 ( ) d d f y x y = 解存在且唯一的（）条件． （A）必要（B）充分（C）充分必要（D）必要非充分 9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（）． （A）构成一个 2 维线性空间（B）构成一个 3 维线性空间 （C）不能构成一个线性空间（D）构成一个无限维线性空间 10．方程 3 2 3 d d y x y = 过点(0,0)有（）． (A)无数个解(B)只有一个解(C)只有两个解(D)只有三个解 三、计算题（每小题６分，本题共 30 分） 求下列方程的通解或通积分： 11. y y x y ln d d = 12. x y x y x y = − + 2 1 ( ) d d 13. 5 d d y xy x y = +
14,2xdr+(x2-y2=0 15.y=+2y/)7 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16.求方程y°-5y=-5x2的通解. 17.求下列方程组的通解. d 1 d山 =y+ d业 d山 =-x 五、正明题〔每小题10分，本题共20分) 18.设八x)在0，+)上连续，且mf(x)=0,求证：方程 +y=国 dr 的一切解)，均有mx)=0。 9.在方程y°+p武x旷+到xy=0中，风xqx)在(-，+)上连续，求证：若p(x) 恒不为零，则该方程的任一基本解组的期斯基行列式甲(x)是(-或，+)上的严格单调函数. 常徽分方程棋报试题参考答来 一、填空题〔每小题3分，本题共15分) 1.2 2,线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） 3,e',e 4.开 5.y=1 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6.D7.C8.B9.C10.A 三，计算题（每小思6分，本题共30分》 1山.解当y≠0，y≠1时，分离变量取不定积分，得 ,盘-+cs 通积分为 hy=Ce(6分) 2
2 14． 2 d ( )d 0 2 2 xy x + x − y y = 15． 3 y = xy + 2(y ) 四、计算题（每小题 10 分，本题共 20 分） 16．求方程 2 y − 5y = −5x 的通解． 17．求下列方程组的通解． = − = + x t y t y t x d d sin 1 d d 五、证明题（每小题 10 分，本题共 20 分） 18．设 f (x) 在 [0, + ) 上连续，且 lim ( ) = 0 →+ f x x ，求证：方程 ( ) d d y f x x y + = 的一切解 y(x) ，均有 lim ( ) = 0 →+ y x x ． 19．在方程 y + p(x) y + q(x) y = 0 中， p(x), q(x) 在 (−, + ) 上连续，求证：若 p(x) 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式 W (x) 是 (−, + ) 上的严格单调函数． 常微分方程模拟试题参考答案 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1．2 2．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） 3． x x e , xe 4．开 5． y = 1 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．D7．C8．B9．C10．A 三、计算题（每小题６分，本题共 30 分） 11．解当 y 0， y 1 时，分离变量取不定积分，得 x C y y y = + d ln d （3 分） 通积分为 x ln y = Ce （6 分）
2.解令y=,测史=+x ，代入原方程。得 xd业=-n(3分) dx 分离变量，取不定积分，得 -停hcco 通积分为：csm上=hCx《6分) 13,解方程两端同乘以y5,得 9 +x dx 令y一-，则-4y史.，代入上式，得 dx dx -1d止 4 dx -5=x(3分) 通解为 :=Ce--x+ 原方程通解为 1 y=Ce--x+ 4 (6分】 14.解因为Y-2x- av ,所以草方程是全微分方程，(2分) dr 取(x。,%)=(0,0),原方程的通积分为 ∫2x-yd-C(4分) 即ry--c6 15,解原方程是克莱洛方程，通解为 y=Cx+2C(6分) 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16.解对应齐次方程的特征方程为产-52=0， 特征根为入=0，乙=5， 齐次方程的通解为y=C+Cc”(4分) 3
3 12．解令 y = xu ，则 x u u x x y d d d d = + ，代入原方程，得 2 1 d d u x u x = − （3 分） 分离变量，取不定积分，得 C x x u u ln d 1 d 2 = + − （ C 0 ） 通积分为： Cx x y arcsin = ln （6 分） 13．解方程两端同乘以 −5 y ，得 y x x y y = + −5 −4 d d 令 y = z −4 ，则 x z x y y d d d d 4 5 − = − ，代入上式，得 z x x z − − = d d 4 1 （3 分） 通解为 4 1 e 4 = − + − z C x x 原方程通解为 4 1 e 4 4 = − + − − y C x x （6 分） 14．解因为 x N x y M = = 2 ，所以原方程是全微分方程．（2 分） 取 ( , ) (0, 0) x0 y0 = ，原方程的通积分为 xy x y y C x y − = 0 2 0 2 d d （4 分） 即 x y − y = C 2 3 3 1 （6 分） 15．解原方程是克莱洛方程，通解为 3 y = Cx + 2C （6 分） 四、计算题（每小题 10 分，本题共 20 分） 16．解对应齐次方程的特征方程为 5 0 2 − = ， 特征根为 1 = 0，2 = 5， 齐次方程的通解为 x y C C 5 1 2 = + e （4 分）
因为《=0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 ()=A红2++C〔6分) 代入原方程，比较系数确定出 1 2 25 原方程的通解为 y=C+C+ 1 3 x(0分) 25 17.解先解出齐次方程的通解 [c +C (4分) cosf 令非齐次方程特解为 =-m cosf +C:0 cost C,C:)满是 -s1 (6分) 解得C0=c0C'0=l sin t 积分，得C)=ns,C)=i 通解为 cost in sin +isn f (10分) snt In sin+rcosr 五、正明愿（每小题10分，本题共20分） 18,正明设y=x)是方程任一解，满足式x。)=。,该解的表达式为 )= ∫fse e 一(4分) 取极限 se-4 e-
4 因为 = 0 是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 ( ) ( ) 2 y1 x = x Ax + Bx +C （6 分） 代入原方程，比较系数确定出 3 1 A = ， 5 1 B = ， 25 2 C = 原方程的通解为 y C C x x x x 25 2 5 1 3 1 e 5 3 2 = 1 + 2 + + + （10 分） 17．解先解出齐次方程的通解 + = t t C t t C y x cos sin -sin cos 1 2 （4 分） 令非齐次方程特解为 + = t t C t t t C t y x cos sin ( ) -sin cos ( ) ~ ~ 1 2 ( ), ( ) 1 2 C t C t 满足 = − 0 sin 1 ( ) ( ) sin cos cos sin 2 1 t C t C t t t t t （6 分） 解得 , ( ) 1 sin cos ( ) 1 2 = = C t t t C t 积分，得 C (t) ln sin t 1 = ，C (t) = t 2 通解为 + + + + = t t t t t t t t t t C t t C y x -sin ln sin cos cos ln sin sin cos sin -sin cos 1 2 （10 分） 五、证明题（每小题 10 分，本题共 20 分） 18．证明设 y = y(x) 是方程任一解，满足 0 0 y(x ) = y ，该解的表达式为 0 0 0 0 e ( )e d e ( ) ( ) 0 x x x x s x x x f s s y y x − − − = + （4 分） 取极限 0 0 0 0 e ( )e d lim e lim ( ) lim ( ) 0 x x x x s x x x x x x f s s y y x − − →+ − →+ →+ = +
若f八se-d0成W"《x)<0 故(x)是(-功，+∞)上的严格单调函数.(10分)
5 = = = + − − − →+ − 0 0 0 0 0 0 0, ( )e d e ( )e lim 0, ( )e d 0 ( ) ( ) ( ) x s x x x x x x x s x f s s f x f s s 若 若 （10 分） 19．证明设 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 是方程的基本解组，则对任意 x (−, + ) ，它们朗斯基行 列式在 (−, + ) 上有定义，且 W (x) 0 ．又由刘维尔公式 = − x 0 ( )d 0 ( ) ( )e x p s s W x W x ， ( , ) x0 − + （5 分） ( ) ( )e ( ) x 0 ( )d 0 W x W x p x x p s s = − 由于 W(x0 ) 0， p(x) 0 ，于是对一切 x (−, + ) ，有 W (x) 0 或 W (x) 0 故 W (x) 是 (−, + ) 上的严格单调函数．（10 分）