《常澈分方程试题》07秋模拟试翅 一、填空避（每小盟3分，本圈共15分） .方程虫=x5x+)满足解的存在一性定条件的区城是 2.方程少=的奇解是 3.刀阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间 4.方程+xy'+x2y=0的等价方程组是 二、单项透择题（每小圈3分，本避共15分） 6.方程天+x=0的任一非零解在化.)平面上()零点 (A)有无穷老个(B)只有两个(C)只有个(D)无 1方程款-3y过点0.0)的解0. (A)只有一个(B)只有两个(C)有无数个(D)只有三个 &方程业=y2过点0，)的解的存在区问是（0。 A)(-,+a)(B)(-,2)(C)0,+m)(D)+m 9.方程业=产c0sy的所有常数解是0 )y=0(B)y=号(C)y=D)y=号+kx,k=0,±1，±2 10。平面自治系统在相平面上的一条轨线，对应()积分曲线 〔A)一条(B)两条(C)无穷多条(D)三条 三，计算题（每小题B分，本圈共40分） 求下列方程的通解或通积分： 11,1+x)dr+1-y)xdy=0 2.g+l+y=3e 13.e-(2y+e=0 14.y=xw'+v'+(v')
1 《常微分方程试题》07 秋模拟试题 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1．方程 sin( ) d d x x y x y = + 满足解的存在惟一性定理条件的区域是． 2．方程 2 1 d d y x y = − 的奇解是． 3． n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间． 4．方程 0 2 y + xy + x y = 的等价方程组是． 5．方程组 = + − − = 2 2 d d d d x y x y t y x t x 的奇点是． 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．方程 x + x = 0 的任一非零解在 (t, x) 平面上（）零点． （A）有无穷多个（B）只有两个（C）只有一个（D）无 7.方程 3 2 3 d d y x y = 过点 (0, 0) 的解（）． （A）只有一个（B）只有两个（C）有无数个（D）只有三个 8．方程 2 d d y x y = 过点 (1,1) 的解的存在区间是（）． （A） (−, + ) （B） (−, 2) （C） (0, + ) （D） (1, + ) 9．方程 x y x y cos d d 2 = 的所有常数解是（）． （A） y = 0 （B） 2 y = （C） 2 3 y = （D） , 0, 1, 2, 2 y = + k k = 10．平面自治系统在相平面上的一条轨线，对应（）积分曲线． （A）一条（B）两条（C）无穷多条（D）三条 三、计算题（每小题 8 分，本题共 40 分） 求下列方程的通解或通积分： 11. (1+ x)ydx + (1− y)xdy = 0 12. x y x x x x y − = + + 3 e 1 d d 13. e d − (2 + e )d = 0 − − x y x y y y 14． 2 y = xy + y + (y )
15.y°+(y2+1=0 周、计算题（本题共15分） 16。求下列方程组的通解， d d =x年y 业 d =-2x+3y 五、证明题（本题共15分） 17.设%x)一个多项式函数，证明：方程 dy-P(x)cosy 所有解的存在区间必为(-。，+∞)· (常微分方程》们秋模报试题 参考解答 一，填空题（每小题3分，本愿共15分） 1.全平面 2.y=1 3.n y=n 4. =-防-x2y 5.(0,0),01) 二、单项这择题（每小盟3分，本题共15分） 6.A7.C8.B9.D10.C 三、计算题（每小题8分，本题共40分） 11.解将方程改写为 y-.d（4分) 积分得 y-hl=x+n国+C 即通积分为 y-x-h=C(8分) 12。解先解齐次方程，通解为 c 2
2 15． ( ) 1 0 2 y + y + = 四、计算题（本题共 15 分） 16．求下列方程组的通解． = − + = + x y t y x y t x 2 3 d d d d 五、证明题（本题共 15 分） 17．设 P(x) 一个多项式函数，证明：方程 P x y x y ( ) cos d d = 所有解的存在区间必为 (−, + )． 《常微分方程》07 秋模拟试题 参考解答 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1．全平面 2． y = 1 3． n 4． = − − = y xy x y y y 2 1 1 1 5． (0, 0)， (0, 1) 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．A7．C8．B9．D10．C 三、计算题（每小题 8 分，本题共 40 分） 11．解将方程改写为 x x x y y y d 1 d 1 + = − （4 分） 积分得 y − ln y = x + ln x + C 即通积分为 y − x − ln xy =C （8 分） 12．解先解齐次方程，通解为 x C x x y y + + = − d d 1
即 y=c二4分 令非齐汝方程的特解为 y-c) 代入原方程，求出C(x)=x3+C 眼方程的通解为 y=二+08分) 13.解M(x,y)=e’,N(x,y)=(2y+') =-e-a y 因此，原方程是全微分方程.(3分) 取(x,片，)=(0,0)，原方程的通积分为 Je'r-∫2=C(6分) 即e-y2=C〔8分) 14.解这是一个克莱洛方程，因此通解为 y=Cx+C+C2(8分) 15.解令y=:,y代入方程，得 .0+) d站 分离变量。积分 华-+cG分》 :=-x+C门 于是 .n-x+C）(5分】 d点 积分，得通解为 y=hc-x+C+C(8分) 四，计算圈（本题共15分） 16。解特任方程为 3
3 即 x y C −x = e （4 分） 令非齐次方程的特解为 x y C x −x = e ( ) 代入原方程，求出 C x = x + C 3 ( ) 原方程的通解为 ( ) e 3 x C x y x = + − （8 分） 13．解 y M x y − ( , ) = e ， ( , ) (2 e ) y N x y y x − = − + x N y M y = − = − e 因此，原方程是全微分方程．（3 分） 取 ( , ) (0, 0) x0 y0 = ，原方程的通积分为 x y y C x y y − = − 0 0 e d 2 d （6 分） 即 x y C y − = − 2 e （8 分） 14．解这是一个克莱洛方程，因此通解为 2 y = Cx + C + C （8 分） 15．解令 y = z, y = z 代入方程，得 (1 ) d d 2 z x z = − + 分离变量，积分 x C z z = − + + d 1 d 2 （3 分） z = tan(−x + C) 于是 tan( ) d d x C x y = − + （5 分） 积分，得通解为 1 y = ln cos(−x + C) + C （8 分） 四、计算题（本题共 15 分） 16．解特征方程为
4--从+5=0 特征根为入：=2±1，(3分) 8 即1-加+6=0 1-2a+1-0b=0 解之得b=1+a,令a=1,则b=1+1(7分) 于是，对应解为 月-[小am (10分) cost-sint cost+simt 所以，原方程组的通解为 ce cosf sint (15分) cost-sint cost sint 五、证明题（本思共15分） 17.正明因为P%x)在(-0，+0)上连线，c0sy及(C0syY=-sny在(-0，+o)上连线，所以该 方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理。(6分》 又显然=受十红k=0士1士之…是方程的常数解。（9分》 呢设y一国是方程的任一解，若其初植在常数解y一年◆知上，期由解的惟一性， 2 e-受+好的春在区间为-®+ 着其初值落在上述两个常数解之间，那么由解的惟一性和解的廷眼定理，y=)可向平围的 无穷远无限廷展，同时又不能上下穿越这两个常数解，故其存在区阿多为(-可，+四).《15分) 4
4 − − − − = 2 3 1 1 A E = 4 5 0 2 − + = 特征根为 = 2 i 1,2 ，（3 分） = 2 + i 1 对应特征向量 b a 满足 = − − − − 0 0 2 1 1 1 b a i i 即 − + − = − − + = 2 (1 ) 0 ( 1 ) 0 a i b i a b 解之得 b = (1+ i)a ，令 a =1 ，则 b =1+ i （7 分） 于是，对应解为 + = + + = + i t i t y i x i t t 1 1 e (cos sin ) 1 1 e (2 ) 2 + + − = t t t i t t t t t cos sin sin e cos sin cos e 2 2 （10 分） 所以，原方程组的通解为 + + = cost sint sint e cost -sint cos e 2 2 2 1 t t C t C y x （15 分） 五、证明题（本题共 15 分） 17．证明因为 P(x) 在 (−, + ) 上连续， cos y 及 (cos y) = −sin y 在 (−, + ) 上连续，所以该 方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理．（6 分） 又显然 , 0, 1, 2, 2 y = + k k = 是方程的常数解．（9 分） 现 设 y = y(x) 是方程的任一解, 若其 初 值 在常 数 解 y = + k 2 上 , 则 由 解 的惟 一 性 ， y x = + k 2 ( ) 的存在区间必为 (−, + )． 若其初值落在上述两个常数解之间，那么由解的惟一性和解的延展定理， y = y(x) 可向平面的 无穷远无限延展，同时又不能上下穿越这两个常数解，故其存在区间必为 (−, + ) ．（15 分）