常激分方程0B秋棋拟试恩（二） 一、填空题《每小3分，本愿共15分) 1.方程少川满足初值架存在目啥一的区线是， dx 2.方程 =ysin(x+y)的任一半零解与x轴相交. dx 3,二阶方程y”+f(x)y+g(xy-0的等价方程组是. 4.二阶线性齐次微分方程的两个解双(x).%(x)为基木解划的充要条件是， (dy=2x+3y 5.平面系统 d 的奇点类型是 dy dr =x+3y 二，单项选择题〔每小题3分，本题共15分) 8.方程的业=厂经过点0,0)的积分曲线()。 dx 《A》只有一条(B)只有两条(C)有无方多条(D)不存在 7.用特定系数法求方程)y+y=xsnx的齐次特解片.片应设为(. 《A)片=（红+B)sinx+C+D)c0sx(B)3=红sinx (C)y=(Ax+B)sinx (D)=(x+B)sinx+(Cx+D)cosx 8。若网(x,网，(x)是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，则它们()共同零点. 《A》在x■一1处可以有(B)在x■0处可以有 (C》在x=I处可以有(D》不能有 9。若f不，)在全平面上连蝶且对y满足李带希兹条件，那么方程业=化，)的任一解的存 dx 在区间〔). (A》必为(-工，0)(B)因解而定 (C》必为(-o,+o)(D)色为(0.+o) 10.方程y”+y=0的任非零解在(xy)半古的x轴上任意有限区间内()零点. (A》无(》只有一个《G》至多只有有限个(D)有无限个 三，计算愿（每小题8分，共40分） 1l.少-x+snx dx e
1 常微分方程 08 秋模拟试题（二） 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1．方程 d | | d y y x = 满足初值解存在且唯一的区域是． 2．方程 sin( ) d d y x y x y = + 的任一非零解与 x 轴相交． 3．二阶方程 y f x y g x y + + = ( ) ( ) 0 的等价方程组是． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解 1 2 ( ), ( ) x x 为基本解组的充要条件是． 5．平面系统 d 2 3 d d 3 d y x y x y x y t = + = + 的奇点类型是． 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．方程的 d d y y x = 经过点 (0,0) 的积分曲线（）． （A）只有一条（B）只有两条（C）有无穷多条（D）不存在 7.用特定系数法求方程 y y x x + = sin 的非齐次特解 1 1 y y, 应设为（）． （A） 1 y x Ax B x x Cx D x = + + + ( )sin ( )cos （B） 1 y Ax x = sin （C） 1 y Ax B x = + ( )sin （D） 1 y Ax B x Cx D x = + + + ( )sin ( )cos 8．若 1 2 ( ), ( ) x x 是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，则它们（）共同零点． （A）在 x = −1 处可以有（B）在 x = 0 处可以有 （C）在 x =1 处可以有（D）不能有 9．若 f x y ( , ) 在全平面上连续且对 y 满足李普希兹条件，那么方程 d ( , ) d y f x y x = 的任一解的存 在区间（）． （A）必为 ( ,0) − （B）因解而定 （C）必为 ( , ) − + （D）必为 (0, ) + 10．方程 y y + = 0 的任一非零解在 ( , ) x y 平面的 x 轴上任意有限区间内（）零点． （A）无（B）只有一个（C）至多只有有限个（D）有无限个 三、计算题（每小题 8 分，共 40 分） 11. d sin d ey y x x x + =
12少=21x drx”2y a盘- 14.(ycosx+2xe')dx+(sinx+xe'+2)dy =0 15.'-y-3x 四、计算趣（木题共15分） dx =y 16. d山 dy d =X 五、证明愿《本题共15分) 17.设方程y+xy/+g(y=0中风x)和gx)在(-o,+)上连练，且gx)<0,求证 对方程的任一满足x)=的非零解y=x).函数f(x)■川xy'气xe°为(-0.+c)上的 严格单羽递增函致，其中（无）为平面内任一点。 常澈分方程08秋棋拟试题二)参考答案 一、第空腰（每小思3分，本置共15分） 1,全半面 2.不倦 d议-y 3. dx =-xy-8y dx 4,线性大关 5.不稳定结点 二、单项选择圆〔每小愿3分，本题共15分》 6,C7,A8.a,BI0,C 三、计算腾（每小圈8分，共40分） 11.解分离变量积分，得 fe'dy=[(x+sinx)dx+C 2
2 12. d 1 d 2 y y x x x y = + 13. d 3 d y x y x x = − 14． 2 ( cos 2 e )d (sin e 2)d 0 y y y x x x x x y + + + + = 15． 2 xy y x − = 3 四、计算题（本题共 15 分） 16． d d d d x y t y x t = = 五、证明题（本题共 15 分） 17．设方程 y p x y q x y + + = ( ) ( ) 0 中 p x( ) 和 q x( ) 在 ( , ) − + 上连续，且 q x( ) 0 ．求证： 对方程的任一满足 0 0 y x y ( ) = 的非零解 y y x = ( ) ．函数 0 ( )d ( ) ( ) ( )e x x p t t f x y x y x = 为 ( , ) − + 上的 严格单调递增函数，其中 0, 0 ( ) x y 为平面内任一点． 常微分方程 08 秋模拟试题(二)参考答案 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1．全平面 2．不能 3． = − − = f x y g x y x y y x y ( ) ( ) d d d d 1 1 1 4．线性无关 5．不稳定结点 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．C7．A8．D9．B10．C 三、计算题（每小题 8 分，共 40 分） 11．解分离变量积分，得 e d ( sin )d y y x x x C = + + 1 2 e cos 2 y = − + x x C
12.解令上=h,则y=+, 代入原方程，得 r11 dx 2u 分离变量，积分得 J2lw-d+C =Inlxl+C 原力程通积分为 y=x(Inlx|+C) 13.解方程写成 业-兰- dx x 齐次方程通解为 y=Cx 令少=C()-x是非齐次解，代入得 cu)c 原方程通解为 =a- 14.解 y -cOs.x+2re 的 方程是全微分方程，取（无，片）=(00) 星方程的通积分为 yc0sx+2xe灿r+2=C ysinx+xe'+2y=C 1.解令y=:则少”= dx ,代入有 -:=3x d 解此线性丰齐次方程通解为
3 12．解令 y u x = ，则 y u xu = + ， 代入原方程，得 d 1 1 d 2 u x x u = 分离变量，积分得 1 2 d d u u x C x = + 2 u x C = + ln | | 原方程通积分为 2 2 y x x C = + (ln | | ) 13．解方程写成 d 2 d y y x x x = − 齐次方程通解为 y Cx = 令 y C x x = ( ) 是非齐次解，代入得 1 2 ( ) 2 C x x C = − + 原方程通解为 1 3 2 y Cx x = − 14．解 cos 2 e M N y x x y x = + = 方程是全微分方程，取 0 0 ( , ) (0,0) x y = 原方程的通积分为 0 0 ( cos 2 e )d 2d x y y y x x x y C + + = 即 2 sin e 2 y y x x y C + + = 15．解令 y z = 则 d d z y x = ，代入有 d 2 3 d z x z x x − = 解此线性非齐次方程通解为
:=3x2+Cx 即业=3x+C dx 原方程通解是 四、计算腰（本题共15分） 16.解特征方程为 |A-2E上 -元1 =22-1=0 1- 特征极入=1，入=-1 名，入对应的特征向量分别为 0 原方程划的通解为 五、证明题（本题共15分） 17.证明令(x)=州x,无，为)是非零解， 出已知条件(x)在(-D,+0)存在 f=rn+rxem+Mxx5 p(x) =yrxeo+jaX-y-geo+ayaep -r（)-grrx6a f10分 因为x)为非零￥，因此y气x).yx)不能问时为零，义gx)0,fx)为 (一说，十四)上严格单测递增函数
4 z x C x1 2 = 3 + 即 x C x x y 1 2 3 d d = + 原方程通解是 2 2 1 3 2 1 y = x + C x + C 四、计算题（本题共 15 分） 16．解特征方程为 2 1 | | 1 0 1 A E − − = = − = − 特征根 1 2 = = − 1, 1 1 2 , 对应的特征向量分别为 1 1 和 1 1 − 原方程组的通解为 1 2 e e e e t t t t x C C y − − = + − 五、证明题（本题共 15 分） 17．证明令 0 0 y x y x x y ( ) ( , , ) = 是非零解， 由已知条件 y x( ) 在 ( , ) − + 存在． 0 0 0 0 0 0 0 ( )d ( )d ( )d 2 ( )d ( )d ( )d 2 ( )d 2 2 ( ) ( )e ( ) ( )e ( ) ( )e ( ) ( )e ( )( ( ) ( ) ( ) ( ))e ( ) ( )e ( ) [ ( ) ( ) ( )]e .................... x x x x x x x x x x x x x x p t t p t t p t t p t t p t t p t t p t t f x y x y x y x y x y x p x y x y x p x y x q x y x y x y x p x y x q x y x = + + = + − − + = − .............................6分 因为 y x( ) 为非零解，因此 y x y x ( ), ( ) 不能同时为零，又 q x( ) 0 ,于是 f x ( ) 0 ． f x( ) 为 ( , ) − + 上严格单调递增函数． 10 分