常徽分方程8教棋报试题（一） 一、填空题（每小题3分，木题共15分》 1.方程业=可满足解的存在惟一性定理条件的区线是。 dx 2.方程y°-2y+y=0的基本解组是. 史=化，》的解所满足的积分方程是 3.初值问题{dx x)=% 4.方程迎 =y通过点（山，）的解的最大存在区间是. dv (dy =y 5.平面系统 d 的奇点O0.0)的类型是. dy d山 ■=x-y 二，单项选释愿（每小题3分，本题共15分） 6。方程史-厂过点(0.0)的积分曲线0 r (A)有惟一一条(B)有无穷多条(C)只有二条(D)不存在 7.用特定系数法求方程y”-6/+5y=-3e+5x的非齐次解片的形式应设为(). (A)片=Ae'+Br2+Cx+D(B)片-Ae'+B2+C+D (C)另=Ae+Bx2(D)月=A+Br 8.已如方程灯'+y'=4x的一个特解为x2，又对应齐汝方程'+y=0有一个特解为nx, 则原方程的通解为(). (A)y=Cx+C:Inx+x (B)y=Cx+C,Inx+x (C)y-C+CInx+x (D)y-Cx'+CInx+x 9。一阶线性辈齐次微分方程组的任两个非零解之差(》， (A)不是其对应齐次微分方程组的解(B)是非齐次微分方程组的解 (C)是非齐次微分方程组的通解(D)是其对应齐次微分方程组的解 10。一阶变量可分离微分方程M(x)N(y灿山+Px)O(y少=0的积分因子是(). (A)= N(y)P(x) (B)H■ M(x)N(y) 1 1 (C)H= (D)H= P(x)O(y) M(x)Q(y)
1 常微分方程 08 秋模拟试题（一） 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1．方程 d | | d y y x = 满足解的存在惟一性定理条件的区域是． 2．方程 y y y − + = 2 0 的基本解组是． 3．初值问题 0 0 d ( , ) d ( ) y f x y x y x y = = 的解所满足的积分方程是． 4．方程 d 2 d y y x = 通过点 (1,1) 的解的最大存在区间是． 5．平面系统 d d d d y y x y x y t = = − − 的奇点 O(0,0) 的类型是． 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．方程 d d y y x = 过点 (0,0) 的积分曲线（）． （A）有惟一一条（B）有无穷多条（C）只有二条（D）不存在 7.用待定系数法求方程 2 6 5 3e 5 x y y y x − + = − + 的非齐次解 1 y 的形式应设为（）． （A） 2 1 e x y A Bx Cx D = + + + （B） 2 1 e x y Ax Bx Cx D = + + + （C） 2 1 e x y A Bx = + （D） 2 1 e x y Ax Bx = + 8．已知方程 xy y x + = 4 的一个特解为 2 x ，又对应齐次方程 xy y + = 0 有一个特解为 ln x ， 则原方程的通解为（）． （A） 2 1 2 y C x C x x = + + ln （B） 2 2 1 2 y C x C x x = + + ln （C） 2 1 2 y C C x x = + + ln （D） 3 2 1 2 y C x C x x = + + ln 9．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（）． （A）不是其对应齐次微分方程组的解（B）是非齐次微分方程组的解 （C）是非齐次微分方程组的通解（D）是其对应齐次微分方程组的解 10．一阶变量可分离微分方程 M x N y x P x Q y y ( ) ( )d ( ) ( )d 0 + = 的积分因子是（）． （A） 1 N y P x ( ) ( ) = （B） 1 M x N y ( ) ( ) = （C） 1 P x Q y ( ) ( ) = （D） 1 M x Q y ( ) ( ) =
三、计算题（每小通8分，共0分） 求下列方程的通解或通积分： 1.y=-F+ 12y=+y-y2 以盘- 14.(e-二灿r+1dy=0 15./-y2+y2c0sx=0 四、计算应用题（本题共15分） =2x-3y dr 16. dy =x-2y ld山 五、证明题（本题共15分） 17.正明。当p之0，g>0时，方程 y++U=0 的一切解在[0，+0)上有界 常徽分方程感秋模拟试想（一）参考答案 一，填空题（每小题3分，本题共15分） 1,除去x轴的平面 2.e,e 玉.=%+∫s灿 4.(-m,2) 5.稳定焦点 二、单项这择题（每小题3分，本题共15分） 6.B7.B8.C9.DI0.A 三、计算题（每小思8分，共0分） 11,解将方程改写为 2
2 三、计算题（每小题 8 分，共 40 分） 求下列方程的通解或通积分： 11. 2 2 xy x y y = − + 12. 2 y xy y y = + − 13. d 3 d y x y x x = − 14． 2 1 (e )d d 0 x y x y x x − + = 15． 2 2 yy y y x − + = cos 0 四、计算应用题（本题共 15 分） 16． d 2 3 d d 2 d y x y t y x y t = − = − 五、证明题（本题共 15 分） 17．证明，当 p q 0, 0 时，方程 y py qy + + = 0 的一切解在 [0, ) + 上有界． 常微分方程 08 秋模拟试题（一）参考答案 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1．除去 x 轴的平面 2． e , e x x x 3． 0 0 ( , )d x x y y f s y s = + 4． ( , 2) − 5．稳定焦点 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．B7．B8．C9．D10．A 三、计算题（每小题 8 分，共 40 分） 11．解将方程改写为 d 2 1 ( ) d y y y x x x = − +
令u=2,则y-+#,代入上式符 x血.-7 dx 分离变量积分得 aresinu=In+C 原方程的通积分为 aresin=Inx1+C 12.解克菜洛方程，通解为 y=Cx+C-C2 13.解方程政写成 业=上-x dx x 齐次通解为 y-Cx 令非齐次解为 y=C(x)x 代入得 cu)c 原方程婚解为 = 14.解a-1、N y 原方程是全微分方程 取（无，）=(1,0)，原方程的通积分为 广e-+=c 即e+2=C 15.解方程政写成 - -+c0sx=0
3 令 y u x = ，则 y xu u = + ，代入上式得 d 2 1 d u x u x = − 分离变量积分得 arcsin ln u x C = + 原方程的通积分为 arcsin ln | | y x C x = + 12．解克莱洛方程，通解为 2 y Cx C C = + − 13．解方程改写成 d 2 d y y x x x = − 齐次通解为 y Cx = 令非齐次解为 y C x x = ( ) 代入得 1 2 ( ) 2 C x x C = − + 原方程通解为 1 3 2 y Cx x = − 14．解 2 M N 1 y x x = − = 原方程是全微分方程． 取 0 0 ( , ) (1,0) x y = ，原方程的通积分为 2 1 0 (e )d d x y x y x y C x − + = 即 e x y C x + = 15．解方程改写成 2 2 cos 0 yy y x y − + =
成∠+siny=0 y 即1业+sim=C ydr 积分得原方程通积分为 Inlyl-cosx=Cx+C 四、计算应用题〔本题共15分】 16.解特征方程 |A-2E上 2-元-3 1-2-刘 =(a+1以2-1)=0 特征根为名=1石=-1 乙和乙对应的特任向量分别是 原方程粗的通解是 C9-c)cg 五，证明题（本题共15分） 17。正明原方程的特征方程为 A2+p2+g=0 特狂根为 =p达D- 2 显然，当p>0,q>0时，特征根只有3种情况： (1)两个相异实根名，高且入<0，入<0 (2)二重实根A,且入<0： (3)一对共轨复根a±夜，B=4g-p2,a=-2<0. 此时，通解分别为 州x)=Ce+C:c Mx)=(C+Cx Mx)=e(C cos Bx+C:sin Bx) 于是1imx)=0,因此x)在0.+∞)上有界
4 或 ( sin ) 0 y x y + = 即 1 1 d sin d y x C y x + = 积分得原方程通积分为 1 2 ln | | cos y x C x C − = + 四、计算应用题（本题共 15 分） 16．解特征方程 2 3 | | ( 1)( 1) 0 1 2 A E − − − = = + − = − − 特征根为 1 2 = = − 1, 1 1 和 2 对应的特征向量分别是 3 1 和 1 1 原方程组的通解是 1 2 3e e e e t t t t x C C y − − = + 五、证明题（本题共 15 分） 17．证明原方程的特征方程为 2 + + = p q 0 特征根为 2 1,2 4 2 p p q − − = 显然，当 p q 0, 0 时，特征根只有 3 种情况： （1）两个相异实根 1 2 , 且 1 2 0, 0, （2）二重实根 ，且 0 ； （3）一对共轨复根 i ， 2 2 = 4q − p ， 0 2 = − p ． 此时，通解分别为 1 2 1 2 ( ) e e x x y x C C = + x y x C C x ( ) ( )e = 1 + 2 1 2 ( ) e ( cos sin ) x y x C x C x = + 于是 lim ( ) 0, x y x →+ = 因此 y x( ) 在 [0, ) + 上有界
当p=0q>0时，特征根2a=女回 对应通解为 Mx)=Gcosqx+C:sinx 显然也在0+∞)上有界. 5
5 当 p q = 0, 0 时，特征根 1,2 = i q 对应通解为 1 2 y x C qx C qx ( ) cos sin = + 显然也在 [0, ) + 上有界．