常徽分方程9秋慎拟试题2 1。方程史=yx+)的任一非零解与x轴相交， dr 2.方程 =√一少满足初值解存在且唯一的区域是。 dy 3.n阶线性齐次微分方程的n个解(x.…,p(x)构成基本解组的充分必要条件是 4.二阶线性方程y+2y+y=0的基本解组是 (d .y 5.平面系统 d 的奇点O0.0)的类型是 dy G =一x一月 二，单项选择愿（每小题3分，本题共15分） 6.积分方程)=1+[3)灿的解是()， (A)y=1 (B)y=e (c)y=e (D)y=e 2方程业=-少过点（号，）共有0个解。 (A)无数(B)一 (C)两(D)三 多.方容虫=y广过点口，)的解的存在区间是(O. (A)（-元，+0)(B》(-元2) (C)0+)(D)L+) 9。一阶线性辈齐次微分方程组的任两个非零解之差()， (A)不是其对应齐次微分方程组的解(B)是非齐次微分方程组的解 (C)是非齐次微分方程组的通解(D)是其对应齐次微分方程组的解 10.用特定系数法求方程y“-2y'+y=e'的非齐次特解片，另应设为(》 (A)=Ae'(B)月=Ae (C)头=Are(D)=e 三、计算题（每小题8分，木题共40分） 求下列方程的通解或通积分：
1 常微分方程 09 秋模拟试题 2 1．方程 sin( ) d d y x y x y = + 的任一非零解与 x 轴相交． 2．方程 d 2 1 d y y x = − 满足初值解存在且唯一的区域是． 3．n 阶线性齐次微分方程的 n 个解 ( ), , ( ) 1 x x n 构成基本解组的充分必要条件是 ． 4．二阶线性方程 y y y + + = 2 0 的基本解组是． 5．平面系统 = − − = x y t y y t x d d d d 的奇点 O(0,0) 的类型是． 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．积分方程 = + x y x t y t t 0 2 ( ) 1 3 ( )d 的解是（）． （A） y = 1 （B） x y = e （C） 2 e x y = （D） 3 e x y = 7.方程 2 1 d d y x y = − 过点 , 1) 2 ( 共有（）个解． （A）无数（B）一 （C）两（D）三 8．方程 2 d d y x y = 过点 (1,1) 的解的存在区间是（）． （A） (−, + ) （B） (−, 2) （C） (0, + ) （D） (1, + ) 9．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（）． （A）不是其对应齐次微分方程组的解（B）是非齐次微分方程组的解 （C）是非齐次微分方程组的通解（D）是其对应齐次微分方程组的解 10．用待定系数法求方程 x y − 2y + y = e 的非齐次特解 1 y ， 1 y 应设为（）． （A） x y Ae 1 = （B） x y Axe 1 = （C） x y Ax e 2 1 = （D） x y e 1 = 三、计算题（每小题 8 分，本题共 40 分） 求下列方程的通解或通积分：
n.史=2o2-0 dx 2 12业+ -y=3xe" dx x 13.(ycosx+2xe"dx+(sinx+x'e"+2)dy=0 14.y=y+2y 15.yy+1=0 四、计算题（本塑共15分） 16.求方程y-5y=sm5x的通解. 五，证明题（本题共15分） 17.证明：一阶微分方程 d sn y x++ 的任一解的存在区间您是(-，十)， 常教分方程9秋模教试愿2参考杯答 一，填空题（每小愿3分，本愿共15分） 1.不能 2.满是引y长1的条形区域 3。线性无关（或填写：朗斯基行列式不为零） 4.exe 5.稳定焦点 二，单项这择题（每小题3分，木题共15分） 6.D7.A8.B9.D10.C 三，计算题（每小题8分，本题共40分） 1山.解当y≠1时，分离变量积分得 ∫，是-j+G4分) +1 解得通解 1+Ce" y1-c8 (8分) 2
2 11. d 1 2 ( 1) d 2 y y x = − 12. x y x x x x y − = + + 3 e 1 d d 13． 2 ( cos 2 e )d (sin e 2)d 0 y y y x x x x x y + + + + = 14． 3 y = xy + 2(y ) 15． 1 0 3 y y + = 四、计算题（本题共 15 分） 16．求方程 y − 5y = sin 5x 的通解． 五、证明题（本题共 15 分） 17．证明：一阶微分方程 1 sin d d 2 2 + + = x y y x y 的任一解的存在区间必是 ( , ) − + ． 常微分方程 09 秋模拟试题 2 参考解答 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1．不能 2．满足 | | 1 y 的条形区域 3．线性无关（或填写：朗斯基行列式不为零） 4． e , e x x x − − 5．稳定焦点 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．D7．A8．B9．D10．C 三、计算题（每小题 8 分，本题共 40 分） 11．解当 y 1 时，分离变量积分得 2 1 2 d d 1 y x C y = + − （4 分） 1 1 ln 1 y x C y − = + + ， 1 e 1 y x C y − = + 解得通解 1 e 1 e x x C y C + = − （8 分）
12.解先解齐次方程，通解为 停+c 即 y=c二4分) x 令非齐次方程的特解为 s.c 代入原方程，求出C(x)=x+C 原方程的通解为 y-二g+08分 13.解 y cosx+2reOW a 方程是全微分方程，取（无，%）=(0,0)(3分) 原方程的通积分为 Uyc08x+2e山+2=C(6分) 即ysinx+xe+2y=C(8分) 14。解原方程是克莱洛方程，通解为 y=Cx+2C3《8分) 15.解令y=p,y=p史代入方程，得 dy 脚=3分 积分，得p2+G “+C.1+G y (5分) dx 分离变量。积分得
3 12．解先解齐次方程，通解为 x C x x y y + + = − d d 1 即 x y C −x = e （4 分） 令非齐次方程的特解为 x y C x −x = e ( ) 代入原方程，求出 C x = x + C 3 ( ) 原方程的通解为 ( ) e 3 x C x y x = + − （8 分） 13．解 cos 2 e M N y x x y x = + = 方程是全微分方程，取 0 0 ( , ) (0,0) x y = （3 分） 原方程的通积分为 0 0 ( cos 2 e )d 2d x y y y x x x y C + + = （6 分） 即 2 sin e 2 y y x x y C + + = （8 分） 14．解原方程是克莱洛方程，通解为 3 y = Cx + 2C （8 分） 15．解令 y = p ， y p y p d d = 代入方程，得 y y p p d 1 d 3 = − （3 分） 积分，得 1 2 2 2 1 2 1 p = y + C − 2 2 2 2 1 1 y Cy C y p + = + = y Cy x y 2 1 d d + = （5 分） 分离变量，积分得
j路=+G 原方程的通积分为 1+Cy2=(Cx+C,)2(8分) 四、计算题（本题共15分） 16.解方程的特征根为=0.元=5 齐次方程的通解为y=C+C,e还(6分】 因为士B=士5不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 y (x)=Asin 5x+Bcos5x 代入原方程，比较系数得 确定出A=-50B=502分) 原方程的通解为y=C+C,e“+(cos5x-sm5x)(15分 五、证明题（本感共15分） 17。证明方程在全平面上演足解的存在唯一性定理的条件，又y=行，k=0,士1士2.，是方程 的常数解。《6分) 对平面上任取的（，】 若片=人行则对应的是常数解y=k行共存在区间显然是（力，十切） 若为∈（，（+）测过该点的解可以向平面无穷远无限延展，但是上下又不能穿越y=k标 和y=(k+1)x,于是解的存在区间必是(-0，+0).(15分)
4 2 2 d 1 d x C Cy y y = + + 原方程的通积分为 2 3 2 1+Cy = (Cx +C ) （8 分） 四、计算题（本题共 15 分） 16．解方程的特征根为 1 = 0，2 = 5 齐次方程的通解为 x y C C 5 1 2 = + e （6 分） 因为 i = 5i 不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 y (x) Asin 5x Bcos5x 1 = + 代入原方程，比较系数得 − − = − + = 25 25 0 25 25 1 A B A B 确定出 50 1 A = − ， 50 1 B = （12 分） 原方程的通解为 (cos5 sin 5 ) 50 1 e 5 1 2 y C C x x x = + + − （15 分） 五、证明题（本题共 15 分） 17．证明方程在全平面上满足解的存在唯一性定理的条件，又 y k k = = , 0, 1, 2, , 是方程 的常数解．（6 分） 对平面上任取的 0 0 ( , ) x y 若 0 y k = 则对应的是常数解 y k = 其存在区间显然是 ( , ) − + 若 0 y k k + ( ,( 1) )则过该点的解可以向平面无穷远无限延展，但是上下又不能穿越 y k = 和 y k = + ( 1) ，于是解的存在区间必是 ( , ) − + ．（15 分）