常徽分方程7存棋拟试题（二） 一、填空题 1.方程鸟。，川-》满足解的存在惟一性定理条件的区线是。 女1+x2+y 2.方程坐=yy所有常数解是。] 3.方程y°-2y+y=0的基木解组是. 4.函数组网(x).码(x)“,(x)在区间【上线性无关的条件是它们的阴斯基行列式在区间1 上不恒等于零 dy=2x+3y 5.平面系统 dr 的奇点类型是 dy ■x+3y d 二、单项选邦题 6.方程#+2：+x=1©0sr的任一解的最大存在区问都是《)， (A)(0,+)(B)(-,00)(C)(-,+)(D)L2) 2.方程业=-y+2x在x0y平面上0， d (A)有奇解y=0(B)有奇解y=x(C)有奇解y=2x(D)无奇解 8.如果任小，红》都在平面上连快，那么方程史=化，列的任解的雅在区间 dx (2. (A)必为(-，+o)(B)必为(0，+o) (C)必为(-0,0)(D)将因解面定 9。相平面上的一条轨线对应平面自治系统的()积分曲线。 (A)无穷条(B)一条(C)二条(D)三条 10.一龄线性幸齐次方程组 =(x)Y+F(x)Y=(U,,y)的任一解的图像是+1推 dx 空间（工，片…，片》中的(） (A)一个曲面(B)一条曲线(C》一族曲线(D)一族曲面 三、计算题 求下列方程的通解咸通积分： 11.y=-y+y
1 常微分方程 07 春模拟试题（二） 一、填空题 1．方程 2 2 1 (1 ) d d x y y y x y + + − = 满足解的存在惟一性定理条件的区域是． 2．方程 y y x y ln d d = 所有常数解是． 3．方程 y − 2y + y = 0 的基本解组是． 4．函数组 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x x x n 在区间 I 上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间 I 上不恒等于零． 5．平面系统 d 2 3 d d 3 d y x y x y x y t = + = + 的奇点类型是． 二、单项选择题 6．方程 x + 2x + x = t cost 的任一解的最大存在区间都是（）． （A） (0, + ) （B） (−, 0) （C） (−, + ) （D） (1, 2) 7.方程 x y x x y 2 d d = − + 在 xoy 平面上（）． （A）有奇解 y = 0 （B）有奇解 y = x （C）有奇解 y = 2x （D）无奇解 8．如果 f (x, y)， y f x y ( , ) 都在 xoy 平面上连续，那么方程 ( , ) d d f x y x y = 的任一解的存在区间 （）． （A）必为 (−, + ) （B）必为 (0, + ) （C）必为 (−, 0) （D）将因解而定 9．相平面上的一条轨线对应平面自治系统的（）积分曲线． （A）无穷条 （B）一条（C）二条（D）三条 10．一阶线性非齐次方程组 T 1 ( ) ( ), ( , , ) d d n A x Y F x Y y y x Y = + = 的任一解的图像是 n+1 维 空间 1 ( , , , ) n x y y 中的（）． （A）一个曲面（B）一条曲线（C）一族曲线（D）一族曲面 三、计算题 求下列方程的通解或通积分： 11. 2 2 xy x y y = − +
2. 2=-y+ dx V 13(红-y+1-(x+y+3=0 40-+ 15.y+0y2+2r=0 四、计算题 dx 1 =y+ 16. d山 sn! y =-x d山 五、证明圆 17。投在方程组 dr ■A)X d山 中，空a0出=，其中a0是系数矩库A0对角线上的元煮。40+国上连 续.求证该方程组至少有一个解在。，+)上无界。 常徽分方程们睿模拟试题（二）参考答案 一，填空题 1.全平面 2.y=0,y=1 3.e',e 4.充分 5.不整定结点 二、单项选择题 6.C7.D8.A9.A10.B 三、计算题 11.解将方程改写为 令M=艺，则y=x+,代入上式得
2 12. x y x y x y = − + 2 1 ( ) d d 13. ( 1)d ( 3)d 0 2 x − y + x − x + y + y = 14． 2 2 2 1 y = (y ) − xy + x 15． ( ) 2 0 2 y + y + x = 四、计算题 16． = − = + x t y t y t x d d sin 1 d d 五、证明题 17．设在方程组 A X X ( ) d d t t = 中， + = = + 0 1 ( )d t n i ii a t t ，其中 a (t) ii 是系数矩阵 A(t) 对角线上的元素， A(t) 在 [ , ) t 0 + 上连 续．求证该方程组至少有一个解在 [ , ) t 0 + 上无界． 常微分方程 07 春模拟试题（二）参考答案 一、填空题 1．全平面 2． y = 0， y =1 3． x x e , xe 4．充分 5．不稳定结点 二、单项选择题 6．C7．D8．A9．A10．B 三、计算题 11．解将方程改写为 d 2 1 ( ) d y y y x x x = − + 令 y u x = ，则 y xu u = + ，代入上式得
-r dr 分离变量积分得 arcsinu In+C 原方程的通积分为 arcsin∠=Inx+C 12.解令y-,则史-+x,代入累方程，得 dr x恤=-m dx 分离变量。取不定积分。得 =停+hcc0 通积分为：aresn=nC 13.解Mxy)=x-y+1,N(xy)=(x+y2+3) 8M--1-aN 因此，原方程是全微分方程，取(x,)=(0,0),原方程的通积分为 J(x-y+ldr-fi(y2+3dy=c 之一+x一一3罗=C 14.解令x=xy=P,则，单方程的参数形式为 y-p y=p2-邓+，x 2 由y=y,有 (-p+x)x+(2p-x)dp pdx 整理得(2p-Xx空-=0 由史-1=0，解得px+C,代入参数形式的第三式。得原方程通解为
3 d 2 1 d u x u x = − 分离变量积分得 arcsin ln u x C = + 原方程的通积分为 arcsin ln | | y x C x = + 12．解令 y = xu ，则 x u u x x y d d d d = + ，代入原方程，得 2 1 d d u x u x = − 分离变量，取不定积分，得 C x x u u ln d 1 d 2 = + − （ C 0 ） 通积分为： Cx x y arcsin = ln 13．解 M(x, y) = x − y +1， ( , ) ( 3) 2 N x y = − x + y + x N y M = − = 1 因此，原方程是全微分方程．取 ( , ) (0, 0) x0 y0 = ，原方程的通积分为 x y x y y C x y − + − + = 0 2 0 ( 1)d ( 3)d 即 y C y xy x x − + − − 3 = 2 3 2 3 14．解令 x = x y = p ，则，原方程的参数形式为 = − + = = 2 2 2 1 y p xp x y p x x 由 dy = y dx ，有 (−p + x)dx + (2p − x)dp = pdx 整理得 1) 0 d d (2 − )( − = x p p x 由 1 0 d d − = x p ，解得 p = x + C ，代入参数形式的第三式，得原方程通解为
15.解原方程可化为 (y'+x2y=0 于是y此+=G dx 积分得通积分为 =G-+c 四、计算题 16。解先解出齐次方程的通解 sinf C +C y -sn 令非齐次方程特解为 05/ -C0 C( -san! 1c08 C)C:)满是 解得C0=0s.C'0= sn/ 积分，得C)=hsn,C,)=t 通解为 sa t costhsin t+isin t +C snth sinr +tcost 五、证明题 17。证明（反证法）假设该方程组的一切解挥在。+©)上有界，那么。该方程组的一个基本解 矩阵的朗斯基行列式F()应在。，+∞)上有界 另一方面。由刘维尔公式，该朗斯基行列式W(x满是 m=we交a,o地 这与心三，地=切矛酯，所以。该方程组至少有一个解在上无界
4 2 2 2 1 y = x + Cx + C 15．解原方程可化为 ( ) 0 2 yy + x = 于是 1 2 d d x C x y y + = 积分得通积分为 2 3 1 2 3 1 2 1 y = C x − x + C 四、计算题 16．解先解出齐次方程的通解 + = t t C t t C y x cos sin -sin cos 1 2 令非齐次方程特解为 + = t t C t t t C t y x cos sin ( ) -sin cos ( ) ~ ~ 1 2 ( ), ( ) 1 2 C t C t 满足 = − 0 sin 1 ( ) ( ) sin cos cos sin 2 1 t C t C t t t t t 解得 , ( ) 1 sin cos ( ) 1 2 = = C t t t C t 积分，得 C (t) ln sin t 1 = ，C (t) = t 2 通解为 + + + + = t t t t t t t t t t C t t C y x -sin ln sin cos cos ln sin sin cos sin -sin cos 1 2 五、证明题 17．证明（反证法）假设该方程组的一切解都在 [ , ) t 0 + 上有界，那么，该方程组的一个基本解 矩阵的朗斯基行列式 W(x) 应在 [ , ) t 0 + 上有界． 另一方面，由刘维尔公式，该朗斯基行列式 W(x) 满足 = = t t n i ii W t W t a t t 0 ( ) ( )exp ( )d 1 0 这与 + = = + 0 ( )d 1 t n i ii a t t 矛盾，所以，该方程组至少有一个解在 [ , ) t 0 + 上无界．