常徽分方程试题模报试题（一） 一，填空题（每小题3分，本题共15分） 1。方程业。厂满足初值解的存在且推一性的区线是。 dr 2.方程(y+1)灿r+(x+)炒=0所有常数解是. 3,线性方程y+y=0的基本解组是 4.x,)有界是保证方程史-任，)初值解性一的条件。 dx 5.向量函数组在区阿I上的朗斯基行列式W《x)=0是它门线性相关的条件 二、单项选择题〔每小题3分，本题共15分) 6.积分方程)=1+片e地的解是0 (A)y=I (B)y=e (C)y=0 (D)yx 2.一阶线性微分方程业+风xy=4x)的积分因子是(). d (A)u=c地(B)u=c地(CH=e地(D)u=e咖 8方程业、瓜 当y=0 岳以当0在心y平面上任一点的解O. (A)都不是惟一的(B)都是惟一的 (C)都与x轴相交(D》都与x轴相切 d =2x+y 9。平面系统 的奇点类型是(). dy 山 =3x+4y (A)不稳定结点(B》稳定焦点(C)不稳定焦点(D)花点 10.方程y”+y=0的任一非零解在(x,y)平面的x轴上任意有限区间内()零点. (A)无(B)只有一个(C)至多只有有限个(D)有无限个 三，计算题（每小题8分，共的分） 求下列方程的通解或通积分： 业.-y dx-x 12.(x+ydr-(x-y)=0
1 常微分方程试题模拟试题（一） 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1．方程 d d y y x = 满足初值解的存在且惟一性的区域是． 2．方程 (y +1)dx + (x +1)dy = 0 所有常数解是． 3．线性方程 y y + = 0 的基本解组是． 4． ( , ) y f x y 有界是保证方程 d ( , ) d y f x y x = 初值解惟一的条件． 5．向量函数组在区间 I 上的朗斯基行列式 W x( ) 0 = 是它们线性相关的条件． 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．积分方程 1 1 ( ) 1 ( )d x y x y s s s = + 的解是（）． （A） y = 1 （B） e x y = （C） y = 0 （D） y x = 7.一阶线性微分方程 d ( ) ( ) d y p x y q x x + = 的积分因子是（）． （A） = p(x)dx e （B） = q( x)dx e （C） = − p(x)dx e （D） = − q(x)dx e 8．方程 = = ln , 0 0 0 d d y y y y x y 当 ， 当 在 xoy 平面上任一点的解（）． （A）都不是惟一的（B）都是惟一的 （C）都与 x 轴相交（D）都与 x 轴相切 9．平面系统 = + = + x y t y x y t x 3 4 d d 2 d d 的奇点类型是（）． （A）不稳定结点（B）稳定焦点（C）不稳定焦点（D）鞍点 10．方程 y y + = 0 的任一非零解在 ( , ) x y 平面的 x 轴上任意有限区间内（）零点． （A）无（B）只有一个（C）至多只有有限个（D）有无限个 三、计算题（每小题 8 分，共 40 分） 求下列方程的通解或通积分： 11. 2 2 1 1 d d x y x y − − = 12. ( )d ( )d 0 x y x x y y + − − =
13.y=/+y 14.(y2-2y+1=0 15.y°-y2-3x2y2=0 四、计算题（本题15分） =x+y 16. d山 dy =4x+y dr 五，证明题（本题15分） 17.设函数（()在(-0，+0)上连续且有界，求证：对任意的(。.x),方程 dx +x=f) d山 满足()=无的解在[6，+)上有界. 常霍分方程模报试题（一）参考答案 一，填空思（每小题3分，本题共15分》 1.满是y>0的上半平面 2.y=-1,x=-1 3.c0sx,sinx 4.充分 5.必要 二、单项这释题（每小题3分，本思共15分） 6.D7.A8.B9.A10.C 三、计算题（每小题各8分，共40分） 11.解当y≠1时，分离变量积分，得 aresin y aresin x+C y=sin(arcsin x+C) 12.解方程政写成
2 13. 2 y xy y = + 14． ( ) 2 1 0 2 y − xy + = 15． 3 0 2 2 2 yy − y − x y = 四、计算题（本题 15 分） 16． d d d 4 d x x y t y x y t = + = + 五、证明题（本题 15 分） 17．设函数 f t() 在 ( , ) − + 上连续且有界，求证：对任意的 0 0 ( , ) t x ，方程 ( ) d d x f t t x + = 满足 0 0 x t x ( ) = 的解在 0 [ , ) t + 上有界． 常微分方程模拟试题（一）参考答案 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1．满足 y 0 的上半平面 2． y = −1， x = −1 3． cos ,sin x x 4．充分 5．必要 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．D7．A8．B9．A10．C 三、计算题（每小题各 8 分，共 40 分） 11．解当 y 1 时，分离变量积分，得 C x x y y + − = − 2 2 1 d 1 d arcsin y = arcsin x + C y = sin(arcsin x + C) 12．解方程改写成
业。+y dx x-y 1+上 d1-2 令上-M,则y=M+,代入得 x x dultu dx I-w 即x地。1+r d1- 分离变量积分，得 arctanM- ind+)=Inlxl+C 2 原方程通积分为 arctan'-ln√F+y+C 13。解克莱洛方程，通解为 y=Cx+C 14.解令广=P,则xp互 上+卫，原方程的参数形式为 y=p 由中=y山，有 咖=+ 积分有 y=-+p2+c 得原方程参数形式通解
3 d d 1 d d 1 y x y x x y y y x x y x + = − + = − 令 y u x = ，则 y u xu = + ，代入得 d 1 d 1 u u x u x u + = − − 即 2 d 1 d 1 u u x x u + = − 分离变量积分，得 = + − u x u u u d 1 d 1 1 2 1 2 arctan ln(1 ) ln | | 2 u u x C − + = + 原方程通积分为 2 2 arctan ln y x y C x = + + 13．解克莱洛方程，通解为 2 y Cx C = + 14．解令 y = p ，则 2 2 1 p p x = + ，原方程的参数形式为 = = + y p p p x 2 2 1 由 dy = y dx ，有 p p p p p y p )d 2 2 1 )d ( 2 1 2 1 d ( 2 = − + = − + 积分有 y = − p + p + C 2 4 1 ln 2 1 得原方程参数形式通解
2p2 =-l+p2+c 15.解原方程政写成 y-y-3x=0 y 或 2-xy=0 即 Idy-=C ydr 积分得原方程通积分 IlyFIr+Cx+C 四、计算题（本题15分） 16.解特征方程为 1-21 1A-EF41- =(-3[1+)=0 特征根入■3名▣-川 入=3对应的特征向量为 2 入=一对应的特征向量为 1 2 原方程组的通解为 C9-ces 五、证明题《本题15分) 17.证明方程过(，无)的解)为 x0=e-+∫fse-ds 由已知条件，存在M>0,使得引)占M,1e(-,+e) 于是
4 = − + + = + y p p C p p x 2 4 1 ln 2 1 2 2 1 15．解原方程改写成 2 2 2 3 0 yy y x y − − = 或 3 ( ) 0 y x y − = 即 3 1 1 d d y x C y x − = 积分得原方程通积分 4 1 2 1 ln | | 4 y x C x C = + + 四、计算题（本题 15 分） 16．解特征方程为 1 1 | | ( 3)( 1) 0 4 1 A E − − = = − + = − 特征根 1 2 = = − 3, 1 1 = 3 对应的特征向量为 1 2 2 = −1 对应的特征向量为 1 2 − 原方程组的通解为 3 1 2 3 e e 2e 2e t t t t x C C y − − = + − 五、证明题（本题 15 分） 17．证明方程过 0 0 ( , ) t x 的解 xt() 为 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) e ( )e d t t t s t t x t x f s s − − − = + 由已知条件，存在 M 0 ，使得 | ( ) | , ( , ) f t M t − + 于是
soe+∫se-ds al+Me"'eds s+e(e'-e】 ≤属+M0-e) ≤+M.126
5 x t x f s s s t t t t t ( ) e ( ) e d 0 0 ( ) 0 − − − + − − + t t t s t x M s 0 0 e e d e (e e ) 0 0 t t t x + M − − (1 e ) ( ) 0 0 t t x M − − + − 0 0 x + M, t t