数学建模小4秋模根试愿及答案 中央电大教育学院顺静相 一，填空想（每题5分，满分20分）力1 1.设开始时的人口数为，，时刻：的人口数为x),若允许的最大人口数为x。人口增 长率由x)=F一x表示，则人口增长问题的罗徒斯蒂克模型为_ 2.设年利率为0.05，则20万元10年后的终值按照复利计算应为 3.一家服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的批发手候费为200元， 存储费用为每件001元天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 4.设某种物资有两个产地A,A,其产量分别为10、20，两个睛地B,B的销量相等均 为15.如果从任意产地到任意销地的单位运价都相等为a,则最优运输方案与运价具有_两个特 点 二、分析判断题（每思10分，满分20分： 1,一条公路交通不太拥挤，以至人们养成“冲过”马路的习惯，不凰意走临近的“斑马 线”。交管部门不允许任意横穿马路。为方便行人，准备在一丝特殊地点增设“面马线”，以 便让行人可以穿越马路。那末“选择设置斑马线的地点”这一间题应该考虑哪些因素？试至 少列出3种。 2.在文字教材4.1中我们给出了背养配餐何恶的数学横型 minZ-4n+3x: 10%1+5x3250,(00 5x1+8x2240,(2) 6x1+5x1242,(3) ,x320 其中x,:表示参与配餐的两种原料食品的采期量，的束条件(1)，(2)、(3)依次表示 铁、蛋白质和钙的最低摄入量。并用图解法给出了其最优解x”=(2,6),试分析解决下述问 题： (1)假如本题的目标函数不是求最小而是求最大值类重且约束条件不变，会出现什么 结果？ (2)本题最后定解时，只用了直线(1)与直线(3)，而直线(2)未用上，这件事说
1 数学建模 04 秋模拟试题及答案 中央电大教育学院 顾静相 一、填空题（每题 5 分，满分 20 分）： 1. 设开始时的人口数为 0 x ，时刻 t 的人口数为 x(t) ，若允许的最大人口数为 m x ，人口增 长率由 r(x) = r − sx 表示，则人口增长问题的罗捷斯蒂克模型为 . 2. 设年利率为 0.05，则 20 万元 10 年后的终值按照复利计算应为 . 3. 一家服装店经营的某种服装平均每天卖出 110 件，进货一次的批发手续费为 200 元， 存储费用为每件 0.01 元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 . 4. 设某种物资有两个产地 1 2 A , A ，其产量分别为 10、20，两个销地 1 2 B ,B 的销量相等均 为 15。如果从任意产地到任意销地的单位运价都相等为 a, 则最优运输方案与运价具有 两个特 点. 二、分析判断题（每题 10 分，满分 20 分）： 1. 一条公路交通不太拥挤，以至人们养成“冲过”马路的习惯，不愿意走临近的“斑马 线”。交管部门不允许任意横穿马路，为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”，以 便让行人可以穿越马路。那末“选择设置斑马线的地点”这一问题应该考虑哪些因素？试至 少列出 3 种。 2. 在文字教材 4.1 中我们给出了营养配餐问题的数学模型 minZ=4x1+3x2 s.t. + + + , 0 6 5 42, (3) 5 8 40, (2) 10 5 50, (1) 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x x x 其中 1 2 x , x 表示参与配餐的两种原料食品的采购量，约束条件（1）、（2）、（3）依次表示 铁、蛋白质和钙的最低摄入量。并用图解法给出了其最优解 T x (2,6) * = ，试分析解决下述问 题： （1） 假如本题的目标函数不是求最小而是求最大值类型且约束条件不变，会出现什么 结果？ （2） 本题最后定解时，只用了直线（1）与直线（3），而直线（2）未用上，这件事说
明了什么？试从实际付题背景给以解释 三、计算愿（每题20分，满分40分： 1.某公司自国外A厂家进口一部分精密机器由厂家到出口港有三个港口B1、、B,供 遗邦，运费依次为20,40和30：而进口港也有三个可供遗择，代号为C1,C和C,运费为： B到C.C2.C依次为70、40、60，B到C1、C.C依次为30.20、40，B,到C,C:,C,依 次为40、10、50：进口后可经由两个域市D、D:运抵目的地E,从C,C、C,到D、D:的 运费为10和40,60和30,30和30从D、D历到E的运费则为30和40试利用图模型协助 策划一个运输路线，使总运费最低 2,某工程队承担一座桥梁的植工任务由于施工地区夏季多雨，需停工三个月在停工期 何该工程以可将施工机械规走或留在原处如数走，需椒运费1如0元如留原处，一种方案是 花500元筑一护是，防止河水上涨发生高水位的侵袭若不筑护堤，发生高水位侵装时将损失 10000元.如下暴雨发生洪水时，则不管是否筑护规，熊工机饭留在原处都将受到60000元的 极失据历史货料，该地区夏季高水位的发生率是25%，洪水的发生率是2%试用决策树法分 析该植工队要不要把能工机械嫩走及要不要筑护堤？ 四、擦合应用题（本题满分20分）： 试建立确定情形下允许缺货的存储问愿的数学模型。 提示：所谓的确定情形下的存错慎型是折文学教材第一章提到过的不允许缺货的存德模 型：所谓允许缺货是在不允许缺货模型假设条件下，再考虑因缺货迹成的损失建立相应的模 型。（要求按强五步建模法进行建慎工作，本题应给出五个步露.） 2
2 明了什么？试从实际问题背景给以解释. 三、计算题（每题 20 分，满分 40 分）： 1. 某公司自国外 A 厂家进口一部分精密机器.由厂家到出口港有三个港口 B1、B2、B3 供 选择，运费依次为 20，40 和 30；而进口港也有三个可供选择，代号为 C1，C2 和 C3，运费为： B1 到 C1、C2、C3 依次为 70、40、60，B2 到 C1、C2、C3 依次为 30、20、40，B3 到 1 2 3 C ,C ,C 依 次为 40、10、50；进口后可经由两个城市 D1、D2 运抵目的地 E，从 C1、C2、C3到 D1、D2 的 运费为 10 和 40，60 和 30，30 和 30；从 D1、D2 到 E 的运费则为 30 和 40. 试利用图模型协助 策划一个运输路线，使总运费最低. 2. 某工程队承担一座桥梁的施工任务.由于施工地区夏季多雨，需停工三个月.在停工期 间该工程队可将施工机械搬走或留在原处.如搬走，需搬运费 1800 元.如留原处，一种方案是 花 500 元筑一护堤，防止河水上涨发生高水位的侵袭.若不筑护堤，发生高水位侵袭时将损失 10000 元.如下暴雨发生洪水时，则不管是否筑护堤，施工机械留在原处都将受到 60000 元的 损失.据历史资料，该地区夏季高水位的发生率是 25%，洪水的发生率是 2%.试用决策树法分 析该施工队要不要把施工机械搬走及要不要筑护堤？ 四、综合应用题（本题满分 20 分）： 试建立确定情形下允许缺货的存储问题的数学模型。 提示： 所谓的确定情形下的存储模型是指文字教材第一章提到过的不允许缺货的存储模 型；所谓允许缺货是在不允许缺货模型假设条件下，再考虑因缺货造成的损失建立相应的模 型。（要求按照五步建模法进行建模工作，本题应给出五个步骤。）
《数学建模》04秋模拟试题参考解答 -、1本-m-三0)-6→0) 1+(-1e 2 21M 20=32.5779(万元片 3.T'e19.Q°=2090 4.最优运输方案不惟一总运费均相等。 二、1.(1)车流的密度 (2)车的行驶速度 (3)道路的宽度 (4)行人穿感马路的速度 (5)设置街马线地点的两侧视野等。 (注意：最少写出3个因素，每少写对一个因家扣3分) 2,(1》因为可行减的右上方无界，故将出现目标函数趋于无穷大的情形，结果是问圈 具有无界解：5分 (2)将最优解代入的束条件可知第二个的束条件为严格不等式，而其他为严格等式。这 说明，铁和钙的摄入量达标，而蛋白质的摄入量超最低标准18个单位。 …10分 三、1.首先建立图模型如图21。 0 10 B 入40 0 20 D 30 30 60 40 C)2 E 30 40 49y10 30 图21- B 利用双标号法求最短路线过程如图2-2 回 20% 回 B人40 10 0 0 (D30 国头 回 园 40 0 B 以边 E 10 30 ©30 园 团 凤
3 《数学建模》04 秋模拟试题参考解答 一、1. . 1 ( 1) (1 ), (0) ( ) 0 0 m r t m m e x x x x x x t x x rx dt dx − + − = − = = 2. 32.5779(万元)； 20 21 9 10 = 3. 19, 2090. * * T Q = 4. 最优运输方案不惟一；总运费均相等。 二、1.（1）车流的密度 （2）车的行驶速度 （3）道路的宽度 （4）行人穿越马路的速度 （5）设置斑马线地点的两侧视野等。 （注意：最少写出 3 个因素。每少写对一个因素扣 3 分） 2. （1）因为可行域的右上方无界，故将出现目标函数趋于无穷大的情形，结果是问题 具有无界解； …………………………5 分 （2）将最优解代入约束条件可知第二个约束条件为严格不等式，而其他为严格等式。这 说明，铁和钙的摄入量达标，而蛋白质的摄入量超最低标准 18 个单位。 ………………………..10 分 三、1. 首先建立图模型如图 2-1。 图 2-1 ………………………10 分 利用双标号法求最短路线过程如图 2-2. A B2 B3 B1 D2 D1 C2 C3 C1 E 30 20 40 40 70 3020 40 40 50 10 40 60 30 30 30 30 40 60 10 A B2 B3 B1 D2 D1 C2 C3 C1 E 30 20 40 40 70 3020 40 40 50 10 40 60 30 30 30 30 40 60 10 110 80 90 60 70 70 40 80 20 40 30 0 100
图22 15分 利用逆向瘦索法可得最优运输方案为 方案IA→B,=C,→D=E 方案2A曰B=C台D→E. 方案3A→B→C→D=E.1■110 20分 (注意：少给一个方案扣2分，) 2建立决策树横型如图23 B △-18m 走 高本位025 -500 筑规 洗本0.位 △ -t60500 不电 高水枚0.25 -10000 不筑圆 洗术0.位 -60000 图2-310分 使用期望值法计算过程见图24 -100 B △-10 -135 高水位025 △ A 0 洗水002 -135 △ -60600 不 3700 高水位025 不规埋 △ -10000 B 洗水02 -60000 图24 5分 最优决黄为：不必搬走机械，但要筑一个护是，期望损失1335元。 20分 四、1.闻恩分析 由圈设，贝须在不允许缺货慎型条件下，考虑因缺货迹成的损失即可。而缺货损失按天 计算与下列因素有关：货物总需求量、缺货量，缺货时刻、每单位的缺货费用等， 5分 2.模型假设
4 图 2-2 …………………………15 分 利用逆向搜索法可得最优运输方案为 方案 1 , A B3 C2 D2 E 方案 2 , A B3 C1 D1 E 方案 3 . A B2 C1 D1 E 110. lmin = ………………20 分 （ 注意：少给一个方案扣 2 分。） 2. 建立决策树模型如图 2-3. 图 2-3…………………….10 分 使用期望值法计算过程见图 2-4. 图 2-4 ………………………..15 分 最优决策为：不必搬走机械，但要筑一个护堤，期望损失 1335 元。 ……20 分 四、1. 问题分析 由题设，只须在不允许缺货模型条件下，考虑因缺货造成的损失即可。而缺货损失按天 计算与下列因素有关：货物总需求量、缺货量、缺货时刻、每单位的缺货费用等。 ………………………5 分 2. 模型假设 A C B D B 高水位 0.25 高水位 0.25 洪水 0.02 洪水 0.02 筑堤 不筑堤 搬走 不搬走 -1800 -500 -60500 -10000 -60000 A C B D B 高水位 0.25 高水位 0.25 洪水 0.02 洪水 0.02 筑堤 不筑堤 搬走 不搬走 -1800 -500 -60500 -10000 -60000 -1800 -1335 -1335 -3700
《1)每次定费贵为C,每天每单位货物的存储费为C: (2)每天货物的需求量为r单位 (3)每T天定货Q单位，所定货物可在瞬向到达 (4)允许缺货，每天每单位货的缺货费为C缺货时，存储量g祝为负值，则g)的图 形变为g=-开+Q.如图25所示。10分 3模型建立 货物在1=T时售完。则必有一段 时间缺货，又在1=T时下一次定货量 Q到达，于是有图25 Q=rT(1)2分 在一个定货周期内的总费用包搭定货费C、存储贵C一0山-C70和装资费 C,gh注意到 [h-f(n-o-(-) 其中用到了(1》式。于是总费用应为 C=C+C:Qr/2+CT-T)'/2(2) 注意我们的建棱目的，则由(1)式解出T=Q/r并代入(2》式可得 C=C+CQ'/2r+C(rT-Q)/2r (3) 从而每天的平均总费用便是 C(T.Q)=CIT=C/T+Co/2rT+C,(rT-Q)/2rT (4) (4)式即为所求的数学模型。15分 4,模型求解 对(4)式分别求总费用对定货周期和定货量的偏导数。并令其为零解得
5 （1）每次定货费为 C1，每天每单位货物的存储费为 . C2 （2）每天货物的需求量为 r 单位. （3） 每 T 天定货 Q 单位，所定货物可在瞬间到达。 （4）允许缺货，每天每单位货的缺货费为 . C3 缺货时，存储量 q 视为负值，则 q(t) 的图 形变为 q = −rt + Q, 如图 2-5 所示。…………..10 分 3. 模型建立 货物在 T1 t = 时售完，则必有一段 时间缺货。又在 t =T 时下一次定货量 Q 到达，于是有 图 2-5 1 Q = rT （1）…………12 分 在一个定货周期内的总费用包括定货费 C1 、存储费 C q t dt C T Q T 1 0 2 2 2 1 ( ) 1 = 和缺货费 ( ) . 1 C3 q t dt T T 注意到 2 1 ( ) 2 ( ) ( ) 1 1 T T r q t dt rt Q dt T T T T = − = − 其中用到了（1）式。于是总费用应为 / 2 ( ) / 2 2 1 2 1 3 T T1 C = C +C QT +C r − （2） 注意我们的建模目的，则由（1）式解出 T Q/r 1 = 并代入（2）式可得 C C C Q / 2r C (rT Q) / 2r 2 3 2 = 1 + 2 + − （3） 从而每天的平均总费用便是 C(T,Q) C /T C /T C Q / 2rT C (rT Q) / 2rT 2 3 2 = = 1 + 2 + − （4） （4）式即为所求的数学模型。 ……………………15 分 4. 模型求解 对（4）式分别求总费用对定货周期和定货量的偏导数，并令其为零解得 t q Q o T1 T
等9-祭-导m-09r-0-0 C_C2_CrT-0)=0 ao rTrT ,代入C-0便可解出 ao =0→0.Ct C:+C r T'= C.C.+C..0- 2Cr C (5) C:C C:C:+C (5)式就是在允许缺货情形下，最佳定货周期与最住定货量公式。18分 5模型分析 易见。当C,远运超过C,时，(5》式就转化为不允许缺货模型中的相应结论，这也说明 所建颅型是合理的，结论也是正确的。0分 6
6 ( ) ( ) 0 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 1 − − − + − = − = rT Q T C rT Q rT C rT C Q T C T C ( ) 0 2 3 = − − = rT Q rT C rT C Q Q C 由 2 3 3 0 C C C rT Q Q C + = = ，代入 = 0 T C 便可解出 2 3 3 2 * 1 3 2 3 2 * 1 2 ; 2 C C C C C r Q C C C rC C T + = + = . （5） （5）式就是在允许缺货情形下，最佳定货周期与最佳定货量公式。………..18 分 5. 模型分析 易见，当 C3 远远超过 C2 时，（5）式就转化为不允许缺货模型中的相应结论，这也说明 所建模型是合理的，结论也是正确的。…………20 分