数学建棋06春粽合炼习 中央电大教育学院顾静相 “数学建模”课程是中央广潘电视大学理科致学与应用数学《本科》的一门必选课程， 木课程的培养月标是使学员学会如何将实际羽愿转化为数学模型，从而利用数学方法解决卖 际问题，因此，不论是学习还是考核，本误程都与通常的数学课程不同。 本课程教学特点： (1)通过一变典型实例介绍数学建模的是本概多、特点、功能和基本方法与丛本步骤. 这一部分是学好建槟课程的基础，务请引起重视。 (2)介绍最常见的四类基木数学模型的建立方法及杆关学和知识，并通过一些集型实 例如以详尽说明 (3》为学有余力的学生选一步了鲜·个常用的建核方法一层次分析法，由于这个方 法简单而使用面故广，为学生应用打一个基础 学习建议： 总的建议是亲身去做，去实线，为此·是变大量阅读、思考别人做过的校州，二是要亲 自动手，认真地做上几个实际题目.我们的具体建议如下： (1》学习中勉时釉阿可能已经有些流忘的相关数学专业知识方面的书稳，不能因为数 学专业知识欠平而影响用它们去解决实际问圈这一丰题.特别是《数学分析》、《高等代数》、 《概率论与数理统计》、《徽分方程》与《运筹学》五本专业书籍，应做在身边随时备在. (2》认真弄懂书中每·个具体的实同，其内容步操是什么，用到了什么建核方法，特别 是装知晓它是怎样从实标问燃转化为数学槟型的.开始时可能感到无从入手，不匹担扰，随 着学习过程运渐展开，只要你是认真的，定会一步一步解税困感. (3)每一章、节下来，只要书后有的思考题、统习题〔量很小)，一定一个不漏地试若 用学习过的方法和步露解决掉， (4)充分箔合文字教材和录相教材内咨进行同步学习 (5)或近与2一3个问学组成一个学习小组，在争论中求得知识的互补与闻圈的成功解 决.也为完成平时作业打下基础。 综上，勤动脑，动思考与勤动手是学好亚学建境深的关键，务求落实总之，要学好数 学建模是诺要下些功夫的，而一且将这个呱要方法学到于，对我们数学工作者米说将受益终 身
1 数学建模 06 春综合练习 中央电大教育学院 顾静相 “数学建模”课程是中央广播电视大学理科数学与应用数学（本科）的一门必选课程。 本课程的培养目标是使学员学会如何将实际问题转化为数学模型，从而利用数学方法解决实 际问题，因此，不论是学习还是考核，本课程都与通常的数学课程不同。 本课程教学特点： （1）通过一些典型实例介绍数学建模的基本概念、特点、功能和基本方法与基本步骤. 这一部分是学好建模课程的基础，务请引起重视。 （2）介绍最常见的四类基本数学模型的建立方法及相关学科知识。并通过一些典型实 例加以详尽说明. （3）为学有余力的学生进一步了解一个常用的建模方法——层次分析法，由于这个方 法简单而使用面较广，为学生应用打一个基础. 学习建议： 总的建议是亲身去做，去实践. 为此一是要大量阅读、思考别人做过的模型，二是要亲 自动手，认真地做上几个实际题目.我们的具体建议如下： （1）学习中随时翻阅可能已经有些淡忘的相关数学专业知识方面的书籍，不能因为数 学专业知识欠牢而影响用它们去解决实际问题这一主题.特别是《数学分析》、《高等代数》、 《概率论与数理统计》、《微分方程》与《运筹学》五本专业书籍，应放在身边随时备查. （2）认真弄懂书中每一个具体的实例，其内容步骤是什么，用到了什么建模方法.特别 是要知晓它是怎样从实际问题转化为数学模型的.开始时可能感到无从入手，不必担扰，随 着学习过程逐渐展开，只要你是认真的，定会一步一步解脱困惑. （3）每一章、节下来，只要书后有的思考题、练习题（量很小），一定一个不漏地试着 用学习过的方法和步骤解决掉. （4）充分结合文字教材和录相教材内容进行同步学习。 （5）就近与 2－3 个同学组成一个学习小组，在争论中求得知识的互补与问题的成功解 决.也为完成平时作业打下基础。 综上，勤动脑，勤思考与勤动手是学好数学建模课的关键，务求落实.总之，要学好数 学建模是需要下些功夫的，而一旦将这个重要方法学到手，对我们数学工作者来说将受益终 身
下面给出本学期的途合练习供大家复习参考。 综合练习 一、填空题 1.设开给时的人口致为，时刻1的人口致为)，若允许的最大人口数为x,人口 增长率由八x)-r一x表示，则人口增长闻圈的罗捷斯蒂克横型为_ 应该填号： 业=1-0)=→0)= d业 1+-1e 2,在超级市场的收银台有两条队征可达择，队1有所个顺客，每人都买了，件商品， 队2有所，个颗客，每人都买了n,件商品，假设每个人付煮香p秒，而白捞每件商品青！秒， 则加入较快队1的条件是一 应该写m(P+n)<m(P+几) 3.一次晚会花掉100元用于食品和饮料，其中食品至少要花掉4%，饮料起码要花30 元。用了和d列出花在食品和饮料上的费用的数学模型是一 应该填写：d+fs100,ff+d)20.4.d230 4.设某种新产品的礼会青求量为无限，开始时的生产量为100件，且设产品生产的增 长率控制在0.1，t时刻产品量为)，则x)=_ 应该写：x)=100e 5.设年利本为.5，则0元10年后的终值按照复利计算应为 应该填写： 210 20=32.5779万元 6.一家服装店经营的某种服装平均每天卖出100件，进货一次的批发手续费为0元， 存储费用为每件0,01元/天，店主不希望出现缺货现象，划最优进贷岗期与最优进货量分别 为一 成该填写：T°=20，Q°=2000 了.一个连通图的最小树是经过该图所有的一个闲形图. 应该填号；项点
2 下面给出本学期的综合练习供大家复习参考。 综合练习 一、填空题 1．设开始时的人口数为 0 x ，时刻 t 的人口数为 x(t) ，若允许的最大人口数为 m x ，人口 增长率由 r(x) = r − sx 表示，则人口增长问题的罗捷斯蒂克模型为 ． 应该填写： . 1 ( 1)e (1 ), (0) ( ) d d 0 0 m rt m m x x x x x x t x x rx t x − + − = − = = 2．在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队 1 有 m1 个顾客，每人都买了 1 n 件商品， 队 2 有 m2 个顾客，每人都买了 2 n 件商品，假设每个人付款需 p 秒，而扫描每件商品需 t 秒， 则加入较快队 1 的条件是 . 应该填写： ( ) ( ) 1 1 2 2 m p + n t m p + n t 3．一次晚会花掉 100 元用于食品和饮料，其中食品至少要花掉 40%，饮料起码要花 30 元，用 f 和 d 列出花在食品和饮料上的费用的数学模型是 . 应该填写： d + f 100, f /( f + d) 0.4,d 30 4．设某种新产品的社会需求量为无限，开始时的生产量为 100 件，且设产品生产的增 长率控制在 0.1，t 时刻产品量为 x(t) ，则 x(t) = ． 应该填写： t x t 0.1 ( ) =100e 5．设年利率为 0.05，则 20 万元 10 年后的终值按照复利计算应为 ． 应该填写： 32.5779( ) 20 21 9 10 = 万元 6．一家服装店经营的某种服装平均每天卖出 100 件，进货一次的批发手续费为 200 元， 存储费用为每件 0.01 元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别 为 ． 应该填写： * * T Q = 20, 2000 7．一个连通图的最小树是经过该图所有 的一个树形图. 应该填写：顶点
8.一质量为刷的物体自由下落，在下落过程中除受重力作用之外，还受到空气阻力的 作用，若空气阻力与下落速度成正比，则物体下落过程的数学模型是 应该填写， =mg -kv2 d山 9.如图1是一个邮路，都递员从郎局A出发走遍所有长方 A 形街路后再运国，局.若每个小长方形街路的边长横白均为1k■， 城向均为2张m:则他至少要走k知， 应该填写：42图1 10.有人观察到鱼尾每摆动一次，鱼所移动的距离几乎与鱼身的长 度相等，则鱼尾摆动的次数T(次/秒)、鱼身的长度L和它的速度V的关系式为一 应该填写：V■kTL(★是常数) [说明即可以看出，填空通目的大都分基本都是来自文字教材中已经推导出的现成公 式、结论的直接运用.所谓基本是雷还可以沙及某线与其相关的何思的进一步理解，当然愿 目都很简单，其目的是希望大家能够注意到这些常用的、具有记忆价植的重要结论，诸如考 核说明中的典型题、本套样愿、人口模型中的重要结论、图慎型中的一笔西问题、最小树求 法，等等。还要注意的是与建模思想、方法和步骤有关的一些简单题目，但都很简单，现场 思考一下即可作出，譬如，成比例关系方面的简单核型的建立英型思等，都是大家比较熟悉 的，只需简单思考既可给出模型的圈目。 应该特别注意理解和熟练掌捏文字教村第一章的内容与结论。 二、分析判断思 1,考感在一片面积为定登的草地上违行平的养雅何恩.为了获得最大经济效益，指出建 立该门思数学模型应该考虑的相关因素至少5个 解：饲料来源、公羊与母羊的比例、问料冬储、繁殖问思、羊的养殖年限、出售时机， 羊制品及其深加工等 2.我们时常看到教学校内、食堂和宿舍楼内的长流水现象，这自然是极大的浪贵。为 了建设节钓型学校，需要你对节水问愿哈予解决.。那么你将考忠螺线相关因素？试至少给出 5个 解：《1)更换自来水龙头及其贵用、节约下来的水量费两个因素，两者的比较可用于确 定建模目标： (2)数据调查：学校平均每个月的用水量，食堂的用水量、卫生何用水量、宿含用水
3 8．一质量为 m 的物体自由下落，在下落过程中除受重力作用之外，还受到空气阻力的 作用，若空气阻力与下落速度成正比，则物体下落过程的数学模型是. 应该填写： d 2 d v m mg kv t = − 9． 如图 1 是一个邮路，邮递员从邮局 A 出发走遍所有长方 A 形街路后再返回邮局.若每个小长方形街路的边长横向均为 1km， 纵向均为 2km，则他至少要走 km . 应该填写：42 图 1 10．有人观察到鱼尾每摆动一次，鱼所移动的距离几乎与鱼身的长 度相等，则鱼尾摆动的次数 T （次/秒）、鱼身的长度 L 和它的速度 V 的关系式为 . 应该填写： V = kTL （k 是常数） [说明] 可以看出，填空题目的大部分基本都是来自文字教材中已经推导出的现成公 式、结论的直接运用.所谓基本是指还可以涉及某些与其相关的问题的进一步理解，当然题 目都很简单。其目的是希望大家能够注意到这些常用的、具有记忆价值的重要结论，诸如考 核说明中的典型题、本套样题、人口模型中的重要结论、图模型中的一笔画问题、最小树求 法，等等。还要注意的是与建模思想、方法和步骤有关的一些简单题目，但都很简单，现场 思考一下即可作出.譬如，成比例关系方面的简单模型的建立类型题等，都是大家比较熟悉 的，只需简单思考既可给出模型的题目。 应该特别注意理解和熟练掌握文字教材第一章的内容与结论。 二、分析判断题 1．考虑在一片面积为定数的草地上进行牛的养殖问题.为了获得最大经济效益，指出建 立该问题数学模型应该考虑的相关因素至少 5 个. 解：饲料来源、公羊与母羊的比例、饲料冬储、繁殖问题、羊的养殖年限、出售时机、 羊制品及其深加工等. 2．我们时常看到教学楼内、食堂和宿舍楼内的长流水现象，这自然是极大的浪费. 为 了建设节约型学校，需要你对节水问题给予解决. 那么你将考虑哪些相关因素？试至少给出 5 个. 解：（1）更换自来水龙头及其费用、节约下来的水量费两个因素，两者的比较可用于确 定建模目标； （2）数据调查：学校平均每个月的用水量，食堂的用水量、卫生间用水量、宿舍用水
限量的、定时定量供水的可行性调查：临时申请用水问愿等因素. 3,地方公安部门塑知道，当紧急事放发生时，人群从一个建筑物中维离所需要的时间， 假设有足够的安全通道.若指挥者想尽可陵多且快地将人群撒离，应制定甚度样的硫散计划 请就这个计划指出至少三个相关因素，并使用数学符号表示 解：撒离时人员的分布状志S、人员总数N、量离速度V,人们之间相对拥挤程度F、 人员所在地与安全地点的距离L、人员撒离完毕所需要的总时间！等 4.一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是S6100(mg/m) 又过两个小时，含量降为40/100(g/叫)，试判断，当事故发生时。司机是否违反了酒精 含量的规定（不超过80/100(m3/ml): (提示：不妨设开始时刻为：=0，C()表示！时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理， 在时回间隔：，+△]内酒精浓度的改变景为 Ct+△)-C()=-kCt)M 其中k>0为比例常数。负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.) 解：设C()为1时刻血液中酒精的浓度。则浓度递减率的慎型应为 C=-kC. 其通解是C()=C(0e,而C(0)线是所求量， 由题设可知C(3)=56,C(5)=40,故有 C0e=56和C0e=40, 由此解得 e4=56/40三k0.17白C0)=56e4￥94 可见在事放发生封，司机血液中酒精的沫度己经超出了规定 5.某城市白来水的水源地为A、BC三个水库，分别由地下管道花水运往该市所辖甲， 乙、丙、丁四个地区，惟一的例外是C水库与丁区之间设有地下管道.自来水公可对各区的 引水管理费见表1，其中“最低雷求”行数字表示必须保证的用水量，而“最高需求”行中 数字表示，除乙区外，其它三个区向公司中请额外再分给的用水量：甲区0，丙区30，丁 区要求越多越好.本问题可否转化为运输模型？若可以则转化之《贝需写出其产钠平衡运价
4 限量的、定时定量供水的可行性调查：临时申请用水问题等因素． 3．地方公安部门想知道，当紧急事故发生时，人群从一个建筑物中撤离所需要的时间， 假设有足够的安全通道.若指挥者想尽可能多且快地将人群撤离，应制定甚麽样的疏散计划. 请就这个计划指出至少三个相关因素，并使用数学符号表示. 解：撤离时人员的分布状态 S 、人员总数 N 、撤离速度 v 、人们之间相对拥挤程度 r 、 人员所在地与安全地点的距离 L 、人员撤离完毕所需要的总时间 t 等. 4．一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是 56 /100(mg / ml), 又过两个小时，含量降为 40 /100(mg / ml), 试判断，当事故发生时，司机是否违反了酒精 含量的规定（不超过 80/100 (mg / ml) . （提示：不妨设开始时刻为 t = 0,C(t) 表示 t 时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理， 在时间间隔 [t,t + t] 内酒精浓度的改变量为 C(t + t) −C(t) = −kC(t)t 其中 k 0 为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.） 解：设 C(t) 为 t 时刻血液中酒精的浓度，则浓度递减率的模型应为 , / C = −kC 其通解是 ( ) (0)e , kt C t C − = 而 C(0) 就是所求量. 由题设可知 C(3) = 56,C(5) = 40, 故有 (0)e 56 3 = − k C 和 (0)e 40, 5 = − k C 由此解得 e 56/ 40 0.17 (0) 56e 94. 2 3 = = k k k C 可见在事故发生时，司机血液中酒精的浓度已经超出了规定. 5．某城市自来水的水源地为 A、B、C 三个水库，分别由地下管道把水运往该市所辖甲、 乙、丙、丁四个地区，惟一的例外是 C 水库与丁区之间没有地下管道．自来水公司对各区的 引水管理费见表 1．其中“最低需求”行数字表示必须保证的用水量，而“最高需求”行中 数字表示，除乙区外，其它三个区向公司申请额外再分给的用水量：甲区 20，丙区 30，丁 区要求越多越好．本问题可否转化为运输模型？若可以则转化之（只需写出其产销平衡运价
表即可)。否则说明理由， 表1 区 引水管理费 供水量 甲乙丙丁 (元/千吃) (千吨/天) 水库 16132217 50 B 14131915 60 192023- 50 最低雷求（千吨 3070010 天) 507030不限 最多需求（千吃 解：可 天) 以转化为 运输慎型， 具体做法 如下， 首先确定总的供求量。总产量显然为160纯：总需求量中，地区丁的需求量在保证其他 地区最低需求条件下。最多是0纯，因此，总需求量按最高需求应为210吨，因而可视问 题为供小于求的运输问题. 其次，为产销平衡，虚设一个水库D,其产量为0吨 再次，为确定需求量，将有最低需求与额外需求量的地区分别祝为两个子区，并确定各 白需求量，注意最低需求量不能由虚设水岸供给，从而可设其引水费(M是一个充分大的 正数). 综合上述时论得产销平衡运价表如下： 表2单位：元/仟吨 地区 引水费 甲，甲，乙丙丁，丁 产局 水库 A 16 1613 221717 50 B 1414 13191515 60
5 表即可），否则说明理由． 表 1 解：可 以转化为 运输模型， 具体做法 如下： 首先确定总的供求量. 总产量显然为 160 吨；总需求量中，地区丁的需求量在保证其他 地区最低需求条件下，最多是 60 吨．因此，总需求量按最高需求应为 210 吨，因而可视问 题为供小于求的运输问题． 其次，为产销平衡，虚设一个水库 D，其产量为 50 吨 再次，为确定需求量，将有最低需求与额外需求量的地区分别视为两个子区，并确定各 自需求量，注意最低需求量不能由虚设水库供给，从而可设其引水费 M（M 是一个充分大的 正数）. 综合上述讨论得产销平衡运价表如下： 表 2 单位：元/千吨 地区 引水费 水库 甲 1 甲 2 乙 丙 丁 1 丁 2 产 量 A B 16 16 13 22 17 17 14 14 13 19 15 15 50 60 区 引水管理费 （元/千吨） 水库 甲 乙 丙 丁 供水量 （千吨/天） A B C 16 13 22 17 14 13 19 15 19 20 23 — 50 60 50 最低需求（千吨/ 天） 最多需求（千吨/ 天） 30 70 0 10 50 70 30 不限
c 19192023MM 50 D(虚) M 0 M 0 M 0 50 销量 30207030 1050 6.某件疾刺每年新发生1000例，患者中有一率当年可治意.若2000年底时有1200个 病人，到2005年将会出现什么结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向2000 人，但不会达到2000人。试判断这个说法的正确性 解：根据思意可知：下一年病人数=当年悲者数的一半+新惠者， 于是令X,为从2000年起计算的？年后患者的人数，可得到递推关系模型： X.:=0.5X.+1000 得递推公式 X-÷+2m00-户 由X。■1200，可以算出2005年时的惠者数X,-1975人 由递推公式容易看出，X,是单调递增的正值数列，且X。→2000，放结论正确 T,据绘画大师达芬奇的说法，在人体驱干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分制点，也 就是说。这个比植越接近0,618，就越给人以一种美的感觉.很可情，一般人的事干（由群 底至社所的长度)与身高比都低千此数值，大约只有Q58一0.60左右. 授g干长为x,身高为，一位女士的身高为1.60m),其躯干与身高之比x:/=0.60, 若其所穿的高跟鞋高度为《单位与x,相同)。那么，她该穿多高的高跟鞋(d=？)才能 产生最美的效应值。 解！穿高跟鞋后新的比值应为工+d_06+d 1+d1+d 0.6l+d =0.618, 1+d 由此可知d=7.S4cm). 8,唐代大诗人王之涣有一首著名诗篇：白日依山尽。黄河入海流。欲另千里目，更上 一层楼。按诗人的想象，要看到千里之外的量物。要站在多高的“一层棱”上呢？ 解：以地球中心为原点，向上方向为城轴建立直角坐标系，从地球表面算起，设应站高
6 C D(虚) 19 19 20 23 M M M 0 M 0 M 0 50 50 销 量 30 20 70 30 10 50 6．某种疾病每年新发生 1000 例，患者中有一半当年可治愈.若 2000 年底时有 1200 个 病人，到 2005 年将会出现什么结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向 2000 人，但不会达到 2000 人，试判断这个说法的正确性. 解： 根据题意可知：下一年病人数=当年患者数的一半+新患者. 于是令 X n 为从 2000 年起计算的 n 年后患者的人数，可得到递推关系模型： Xn+1 = 0.5Xn +1000 得递推公式 ). 2 1 2000(1 2 1 n n 0 n X = X + − 由 1200, X0 = 可以算出 2005 年时的患者数 X5 =1975 人. 由递推公式容易看出， → 2000, Xn是单调递增的正值数列，且Xn 故结论正确. 7．据绘画大师达芬奇的说法，在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点．也 就是说，这个比值越接近 0.618，就越给人以一种美的感觉．很可惜，一般人的躯干（由脚 底至肚脐的长度）与身高比都低于此数值，大约只有 0.58—0.60 左右． 设躯干长为 x ，身高为 l ，一位女士的身高为 1.60(m) ，其躯干与身高之比 x l: 0.60 = ， 若其所穿的高跟鞋高度为（单位与 x ，l 相同），那么，她该穿多高的高跟鞋（ d =？）才能 产生最美的效应值． 解：穿高跟鞋后新的比值应为 0.6 . x d l d l d l d + + = + + 令 0.6 0.618 l d l d + = + ， 由此可知 d = 7.54(cm) ． 8．唐代大诗人王之涣有一首著名诗篇：白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上 一层楼．按诗人的想象，要看到千里之外的景物，要站在多高的“一层楼”上呢? 解：以地球中心为原点，向上方向为纵轴建立直角坐标系．从地球表面算起，设应站高
度为￥，那么根据盟设，该点到电球表面的切线长应为S00(km), 划儒据题意，并利用匀殿定理有 (x+63702=63702+5002. 解得x=20km): 也可以利用切制线定理求出. 三、计算想 1.如图2是某村镇9个自燃电（用书，“，”表示）间可架设有线电视线路的最短距离 示意图。边旁数字为距离（单位：如）.若每k加的架设费用是定数0元/鱼，试协助有线电 视网路公司设计一个慨使得各村电都能看到有线电视又使架设贵用最低的路线，并求出最小 架设费用， 1 6 5 V3 2 图2 解：由题意可知，只需求出该网络图的最小树即可.利用酸圈法容易得树形图（图3）： 图3 放得架设路线为： 2 总架线长度为27km,放总果设费用为27×1000×20■54（万元）
7 度为 x ，那么根据题设，该点到地球表面的切线长应为 500(km) ． 则依据题意，并利用勾股定理有 2 2 2 ( 6370) 6370 500 x + = + ， 解得 x = 20(km) . 也可以利用切割线定理求出． 三、计算题 1．如图 2 是某村镇 9 个自然屯（用 1 9 v , ,v 表示）间可架设有线电视线路的最短距离 示意图，边旁数字为距离（单位：km）.若每 km 的架设费用是定数 20 元/m，试协助有线电 视网络公司设计一个既使得各村屯都能看到有线电视又使架设费用最低的路线，并求出最小 架设费用. 解：由题意可知，只需求出该网络图的最小树即可.利用破圈法容易得树形图（图 3）： 故得架设路线为: 总架线长度为 27km，故总架设费用为 27100020 = 54 （万元） v1 v2 v3 v4 v6 v5 v7 v9 v8 3 4 6 2 5 4 11 3 6 4 2 8 7 5 图 2 图 3 v1 v2 v3 v4 v6 v5 v8 v7 v9 4 3 2 4 3 4 2 5
2,某运输公可要将某种物资从总站A运往终点站D,可以遮择经过6个中间站 B,B,B、C,C,C,·从A到B,B,B的路长依次为3、8,7(km):从B到C,C的路 长为4,3(km):从B2到C.C2,C,的路长为2、8、4(km):从B,到C,C的路长为7 6(km):从C,·C·C到D的路长依次为12(km)、13(km)和8(km),试利用图模 型诗助公可制定一个总运输费用最少的运输路线。并求出最小运费， 解：这是一个最短路月题，先建立图模型如图4. 12 D 图4 利用双标号法计算站果如图5， (3)4 7力 B人3 12 3 (82 ( (0)A B ©) D(190 4 © (7) (12) 图5 刊用逆向波索可得两条运输路线： A→月+C→D.=19 A+B→C→D,=I9 3.有某种物资从三个产地运往四个销地，各产地的产量及各销地的销量如表所示但 其中间各数据为利淘值，希望在完成运输任务的同时，使总利润达到最大，试给出最优运输 方案。（提示：求初始方案用最大元素法，当所有检险数入，≤0时为最优解，检险数求法不 变) 表3单位：万元/吨
8 2．某运输公司要将某种物资从总站 A 运往终点站 D ，可以选择经过 6 个中间站 1 2 3 B B B , , 、 1 2 3 C C C , , ，从 A 到 1 2 3 B B B , , 的路长依次为 3、8、7 (km) ；从 B1 到 1 2 C C, 的路 长为 4、3 (km) ；从 B2 到 1 2 3 C C C , , 的路长为 2、8、4 (km) ；从 B3 到 2 3 C C, 的路长为 7、 6 (km) ；从 C1、C2 、C3 到 D 的路长依次为 12 (km) 、 13 (km) 和 8 (km) ，试利用图模 型协助公司制定一个总运输费用最少的运输路线，并求出最小运费． 解：这是一个最短路问题，先建立图模型如图 4． 图 4 利用双标号法计算结果如图 5． 图 5 利用逆向搜索可得两条运输路线： 1 1 min 1 2 min , 19; , 19. A B C D l A B C D l → → → = → → → = 3．有某种物资从三个产地运往四个销地，各产地的产量及各销地的销量如表所示. 但 其中间各数据为利润值，希望在完成运输任务的同时，使总利润达到最大. 试给出最优运输 方案.（提示：求初始方案用最大元素法，当所有检验数 0 ij 时为最优解，检验数求法不 变） 表 3 单位:万元/吨 A B2 B3 B1 C2 D C3 C1 7 3 8 3 4 2 8 4 6 12 13 7 8 A B2 B3 B1 C2 D C3 C1 7 3 8 3 4 2 8 4 6 12 13 7 8 (0) (3) (8) (7) (7) (12) (6) (19)
地地 B.B:B.B 产量 运价 产地 A 311310 Ae 2 8 4 A 74105 销量 385 解：首先利用“最大元素法”求出初始方案如表： 表4单位：万元/吨 城地 运价 B,B B.B. 产量 产地 A 311.3101 7 h 1 92 8, 4 A 7,410,51 9 销量 3656 其次，注意到当所有检验数都入≤0时达到最优解，使用闭国路法容号得知，初始方 案就是最优方案。故所求最优方案如表所示 4.两个水厂A,A将自米水供应三个小区B,B,B,每天各水厂的低应量与各小区的 需求量以及各水厂调运到各小区的供水单价见下表，试安排供水方案，使总供水费最小？ 表4 小区 B B 8 供应量/1 水下单价/元 4 10 6 170 4 7 5 6 200
9 销地 运价 产地 B1 B2 B3 B4 产量 A1 3 11 3 10 7 A2 1 9 2 8 4 A3 7 4 10 5 9 销量 3 6 5 6 解：首先利用“最大元素法”求出初始方案如表： 表 4 单位:万元/吨 销地 运价 产地 B1 B2 B3 B4 产量 A1 3 11 6 3 10 1 7 A2 1 9 2 8 4 4 A3 7 3 4 10 5 5 1 9 销量 3 6 5 6 其次，注意到当所有检验数都 0 ij 时达到最优解，使用闭回路法容易得知，初始方 案就是最优方案. 故所求最优方案如表所示. 4．两个水厂 1 2 A , A 将自来水供应三个小区 , , , B1 B2 B3 每天各水厂的供应量与各小区的 需求量以及各水厂调运到各小区的供水单价见下表.试安排供水方案，使总供水费最小？ 表 4 小区 水厂单价/元 B1 B2 B3 供应量/ t A1 10 6 4 170 A2 7 5 6 200
需求量/： 160 90 150 解：本月题可以看成是一个产销不平香的运输问题，属于供小于求问题为此，虚设一 个水厂A。其供水量为30吃，相应的运价均定为ā便得到一个产情平衡的运输问题如下 表所示： 表6 不区 B B B, 供应量/： 水下单价/元 4 10 6 170 4 7 5 6 200 4 0 0 0 30 需求量/1 160 90 150 再利用表上作业法求解，即可获得供水费用最低的供水方案为： 4”→B,40→B,4®→B,40→B, 小区B,将有0吨水的缺口. 总费用为6×20+4×150+7×130+5×70=1980（元）， 5.至少使用两种方法求解下列微分方程模型： d =-x d山 0)=气 解：方法一：分离变量法。变形为 亚-'k-xr=.-xxa-{ 分离变量，得 dx (x。-xx 积分整理。并代入初始条件，得 10
10 需求量/ t 160 90 150 解：本问题可以看成是一个产销不平衡的运输问题，属于供小于求问题.为此，虚设一 个水厂 A0 ，其供水量为 30 吨，相应的运价均定为 0，便得到一个产销平衡的运输问题如下 表所示： 表 6 小区 水厂单价/元 B1 B2 B3 供应量/ t A1 10 6 4 170 A2 7 5 6 200 A0 0 0 0 30 需求量/ t 160 90 150 再利用表上作业法求解，即可获得供水费用最低的供水方案为： , , , , 2 70 1 2 130 3 2 150 2 1 20 A1 ⎯⎯→B A ⎯⎯→B A ⎯⎯→B A ⎯⎯→B 小区 B1 将有 30 吨水的缺口. 总费用为 620+ 4150+ 7130+570 =1980 （元）. 5．至少使用两种方法求解下列微分方程模型： 0 d (1 ) d (0) m x x r x t x x x = − = 解：方法一：分离变量法．变形为 d ( ) ( ) , d m m m m x r r x x x a x x x a t x x = − = − = ． 分离变量，得 d d , ( ) m x a t x x x = − 积分整理，并代入初始条件，得