数学建棋07春模拟试题 中央电大教有学院顺静相 一、填空 1。单种群生物资源的开发问国中，若环境最大容纳昂为K,则在保持生物资源的可持 缤性发展下进行资源开发的最优开发略是 一策略。 2.有2万元美金想存入银行储蓄5年以备孩子结婚购房使用.己知银行单利的年利率 为0.0522（一年期），0.0558（仁年期），0.0321（三年期和0.0666（伍年期，则获 利最多的储蓄方案是 3.一质量为m的物体自由下落，在下落过程中除受直力作用之外，还受到空气阻力的 作用，若空气阻力与下落速度成正比，则物体下落过程的数学模型是 4.有一处房屋价格为20方，据预测该房屋3年后将上涨至万.若银行利为只，8 此房是否值得投资〔只需回答是与不是)」 二、分析判断题 1.唐代大诗人王之涣有一首著名诗篇：白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上 一层棱按诗人的想象，要看到千里之外的物，要站在多高的“一层棱”上形？（地球 径取6370kn) 2.中国的大学布局是否合理？这个问遥引起了人们的关注。为了研究这个问题，人们 认为有必要建立其数学模型给予分析，这个问题的建模要考些许多的因素，那么你认为应该 者虑宽些因素？至少列举出5多 三、计算塑 1.求解决变量带有上下界的线性规划模型 m:=+ +2 20 井说明：(1)若钩束条件右端项表示货源，那么资源的利用情况怎样？ (2)最优解是否有选择的余地。 2.至少使用两种方法求解下列微分方程模型：
1 数学建模 07 春模拟试题 中央电大教育学院 顾静相 一、填空题 1．单种群生物资源的开发问题中，若环境最大容纳量为 K ，则在保持生物资源的可持 续性发展下进行资源开发的最优开发策略是 策略． 2．有 2 万元美金想存入银行储蓄 5 年以备孩子结婚购房使用．已知银行单利的年利率 为 0.0522 (一年期)，0.0558 (二年期)，0.0621 (三年期)和 0.0666 (五年期)，则获 利最多的储蓄方案是 ． 3．一质量为 m 的物体自由下落，在下落过程中除受重力作用之外，还受到空气阻力的 作用，若空气阻力与下落速度成正比，则物体下落过程的数学模型是 . 4．有一处房屋价格为 20 万，据预测该房屋 3 年后将上涨至 28 万.若银行利率为 9.8%， 此房是否值得投资（只需回答是与不是） ． 二、分析判断题 1．唐代大诗人王之涣有一首著名诗篇：白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上 一层楼.按诗人的想象，要看到千里之外的景物，要站在多高的“一层楼”上呢? （地球半 径取 6370km） 2．中国的大学布局是否合理？这个问题引起了人们的关注．为了研究这个问题，人们 认为有必要建立其数学模型给予分析，这个问题的建模要考虑许多的因素，那么你认为应该 考虑哪些因素？至少列举出 5 条． 三、计算题 1．求解决策变量带有上下界的线性规划模型: 1 2 1 2 1 2 2 1 max 2 4, 3 2 12, . . 2 4, 0. z x x x x x x s t x x = + + + 并说明：（1）若约束条件右端项表示资源，那么资源的利用情况怎样？ （2）最优解是否有选择的余地． 2．至少使用两种方法求解下列微分方程模型：
=-三 d山x x0)=无
2 0 d (1 ) d (0) m x x r x t x x x = − =
数学建模07春棋教试愿参考答案 一、填空题 人多 2.一个五年期： d 3.m _=mg-kv: d 4.是 二、分析判断愿 1,以地球中心为原点，向上方向为城轴建立直角坐标系。从地球表面算起，授应站高 度为x,那么根据题设，该点到地球表而的切线长应为500(km). 则依据题意，并利用勾殿定理有 (x+6370)2=63702+500, 解得x=20(km). 也可以利用切割线定理求出。 2.中国大学布局合理与否，要与高等教育发达国家迭行比较，需要这些国家的布局收 据：问题与教育功能有关，譬如拉动周边经济作用、教有相射半径，扶持贫困地区教育发根 力度等：在不同烛区建立高等学校的基建授入的区别、交通是否便利、贫困地区学生能否就 近上学等因需 三、计算题 1,利用图解法，现给出前两个约束条件满是的区域，为一个四边形区域。 在考虑有上下界条件，便给出可行域： 最后考虑用标函数直线.由于其斜率与各个边界直线的斜率各不相同，故最优解是唯一 的，解联立方程组 3x+2x=12, 高2=4， r-Gy. 16 对应的目标植：， 3 8 (1)第一种资源超支 个单位，第二种资充分利用
3 数学建模 07 春模拟试题参考答案 一、填空题 1． 2 K ； 2．一个五年期； 3． mg kv t v m = − d d ； 4．是. 二、分析判断题 1．以地球中心为原点，向上方向为纵轴建立直角坐标系．从地球表面算起，设应站高 度为 x ，那么根据题设，该点到地球表面的切线长应为 500(km) ． 则依据题意，并利用勾股定理有 2 2 2 ( 6370) 6370 500 x + = + ， 解得 x = 20(km) . 也可以利用切割线定理求出． 2．中国大学布局合理与否，要与高等教育发达国家进行比较，需要这些国家的布局数 据；问题与教育功能有关，譬如拉动周边经济作用、教育辐射半径、扶持贫困地区教育发展 力度等；在不同地区建立高等学校的基建投入的区别、交通是否便利、贫困地区学生能否就 近上学等因素． 三、计算题 1．利用图解法．现给出前两个约束条件满足的区域，为一个四边形区域． 在考虑有上下界条件，便给出可行域． 最后考虑目标函数直线．由于其斜率与各个边界直线的斜率各不相同，故最优解是唯一 的，解联立方程组 1 2 * 2 3 2 12, 4 ( ,4) 4, 3 T x x X x + = = = ， 对应的目标值 * 16 3 z = ． （1）第一种资源超支 8 3 个单位，第二种资源充分利用．
(2)没有选择余地。因为解唯一， 2.方法一：分离变量法。变形为 t-5化-g=a.-xka-{ d山x. 分离变量，。得 dx m ads. (x.-x)x 积分整理。并代入初始条件，得 )= 1+(-e-m 方法二：将方程变形为 dx -a= -x2, d山 可见这是贝努利方程，两端递除以x,有 xdr -= d山 令 :=x d山 =- d止 de' 则方程变成 这是一阶找性方程，利用一阶线性方程的公式解法，便可以得到 1+(-en == 一→x= 1+(在-e
4 （2）没有选择余地，因为解唯一． 2．方法一：分离变量法．变形为 d ( ) ( ) , d m m m m x r r x x x a x x x a t x x = − = − = ． 分离变量，得 d d , ( ) m x a t x x x = − 积分整理，并代入初始条件，得 0 ( ) 1 ( 1)e m m rt x x t x x − = + − . 方法二：将方程变形为 d 2 d m x r rx x t x − = ， 可见这是贝努利方程，两端遍除以 2 x ，有 2 1 d d m x r x rx t x − − − = ， 令 1 2 d d , d d z x z x x t t − − = = − 则方程变成 d , d m z r rz t x + = − 这是一阶线性方程，利用一阶线性方程的公式解法，便可以得到 1 0 0 1 ( 1)e . 1 ( 1)e m rt m m rt m x x x z x x x x x − − − + − = = = + −