数学建模06春模拟试愿及答案 中央电大教有学院顾静相 一、填空愿（每愿5分，共20分）】 1。一个连婚图能够一笔画出的充分必要条件是一 2设银行的年利率为Q.2,则五年后的一百万元相当于现在的_万元. 生在夏季博苋会上，商人预测每天冰淇淋情量N将和下列因素有关： (1)参加展莫会的人数H:(2)气温T超过10C: (3》冰淇淋的售价p, 由此建文的冰淇淋销量的比例模型应为一 4,如图一是一个郎路，郎递员从郎具A出发走追所有 长方形街路后再运回邮局.若每个小长方形街路的边长横向 均为1a,纵向均为2km,则他至少要走k知. 二、分析判断题（每题10分，共20分） 1.有一大堆油腻的世子和一盆热的洗涤剂水。为尽量图一 多洗干净盘子，有哪些因素应予以考地？试至少列出四种。 2某种疾病每年新发生1000例，惠者中有一率当年可治愈，若2000年底时有 1200个病人，到2006年将会出暖什么结果？有人说。无论多少年过去，患者人数 只是趋向2000人，但不会达到2000人，试判断这个说法的正确性. 三、计算愿（每题20分，共40分） 【.某工厂计划用两种原材料A,B生产甲、乙两种产品，两种原材料的最高供应量依次 为22和0个单位：每单位产品甲需用两种原材料依次为1.1个单位，产值为3（百元）： 乙的需要量依次为3、1个单位，产值为9（百元）：又根据市场预测。产品乙的市场需求量 量多为6个单位，而甲，乙两种产品的需求比不超过5：2，试建立线性提划柄型以求一个 生产方案，使得总产值达到最大，并由此日答： 《1)最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. (2)原材料的利用情况， 2两个水厂A,4将自米水供应三个小区B,B,B,每天各水厂的供应量与各小区的 需求量以及各水厂调运到各小区的供水单价见下表试安排供水方案，使总供水费最小？
1 数学建模 06 春模拟试题及答案 中央电大教育学院 顾静相 一、填空题（每题 5 分，共 20 分） 1.一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是 . 2. 设银行的年利率为 0.2，则五年后的一百万元相当于现在的 万元. 3. 在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量 N 将和下列因素有关： （1） 参加展览会的人数 n ；（2）气温 T 超过 C 10 ； （3）冰淇淋的售价 p . 由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 . 4. 如图一是一个邮路，邮递员从邮局 A 出发走遍所有 A 长方形街路后再返回邮局.若每个小长方形街路的边长横向 均为 1km，纵向均为 2km，则他至少要走 km . 二、分析判断题（每题 10 分，共 20 分） 1. 有一大堆油腻的盘子和一盆热的洗涤剂水。为尽量图一 多洗干净盘子，有哪些因素应予以考虑？试至少列出四种。 2. 某种疾病每年新发生 1000 例，患者中有一半当年可治愈.若 2000 年底时有 1200 个病人，到 2005 年将会出现什么结果？有人说，无论多少年过去，患者人数 只是趋向 2000 人，但不会达到 2000 人，试判断这个说法的正确性. 三、计算题（每题 20 分，共 40 分） 1. 某工厂计划用两种原材料 A, B 生产甲、乙两种产品，两种原材料的最高供应量依次 为 22 和 20 个单位；每单位产品甲需用两种原材料依次为 1、1 个单位，产值为 3（百元）； 乙的需要量依次为 3、1 个单位，产值为 9（百元）；又根据市场预测，产品乙的市场需求量 最多为 6 个单位，而甲、乙两种产品的需求比不超过 5：2，试建立线性规划模型以求一个 生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答： （1）最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （2）原材料的利用情况. 2. 两个水厂 1 2 A , A 将自来水供应三个小区 , , , B1 B2 B3 每天各水厂的供应量与各小区的 需求量以及各水厂调运到各小区的供水单价见下表.试安排供水方案，使总供水费最小？
小区 供应量 单价/元 B B B h 水厂 4 6 170 0 4 7 5 6 200 1 需求量/： 90 150 60 四、擦合应用题（本题20分） 某水库建有10个泄淇闸，现在水库的水位己经超过安全线，上游河水还在不斯地流入 水岸.为了防洪，须调节没洪速度.经测算，若打开一个淮洪闸，30个小时水位降至安全线， 若打开两个滑洪闸，10个小时水位降落至安全线.现在。抗洪指挥部要求在3个小时内将水 位降至安全线以下，间至少要同时打开几个闸门？试组建数学核型给予解决， 注：本题夏求按履五步建慎法给出全过程
2 小区 单价/元 水厂 B1 B2 B3 供应量 / t A1 1 0 6 4 170 A2 7 5 6 200 需求量/ t 1 60 90 150 四、综合应用题（本题 20 分） 某水库建有 10 个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全线，上游河水还在不断地流入 水库.为了防洪，须调节泄洪速度.经测算，若打开一个泄洪闸，30 个小时水位降至安全线， 若打开两个泄洪闸，10 个小时水位降落至安全线.现在，抗洪指挥部要求在 3 个小时内将水 位降至安全线以下，问至少要同时打开几个闸门？试组建数学模型给予解决. 注：本题要求按照五步建模法给出全过程
数学建模06春甘题棋报试想参考解答 一、填空题（每题5分，共20分） 1.奇数暖点个数是0或212.约40.1876： 3N=KT-10)/p,(T之10°C,K是比例常数：442. 二、分析判断题（每题10分，共20分） 1.解：问题与盘子、水和温度等因素直接相关，故有相关因素： 盘子的油腻程度。盘子的温度。盘子的尺寸大小：洗涤剂水的温度、浓度：到洗地点 的温度等。 注：列出的因素不足四个，每缺一个扣2.5分。 2解：根据题意可知：下一年病人数=当年患者数的一半+新患者 于是令X,为从2000年起计算的n年后惠者的人数，可得到递推关系模型： X=05X.+1000 得连推公式名=云X+20-动 由X。=1200.可以算出2005年时的患者数X,=1975人 由递推公式容易看出，X,是单调递增的正值数列，且X。→2000，故结论正确. 三、计算题（每题20分，共40分） 1.解：设无，黑，表示甲、乙两种产品的产量，则有 原材料限制条件：x1+3x2≤22和出1+高≤20 又由产品乙不超过6件以及两种产品比例条件有另外两个条件： x2s6以及2x1-5x:s0 目标函数满足x:=3x1+9x2,便可以得到线性规划核型： mx2=3+9x3 3
3 数学建模 06 春试题模拟试题参考解答 一、填空题（每题 5 分，共 20 分） 1. 奇数顶点个数是 0 或 2； 2. 约 40.1876 ； 3. ( 10)/ ,( 10 ), 0 N = Kn T − p T C K 是比例常数； 4. 42. 二、分析判断题（每题 10 分，共 20 分） 1. 解： 问题与盘子、水和温度等因素直接相关，故有相关因素： 盘子的油腻程度，盘子的温度，盘子的尺寸大小；洗涤剂水的温度、浓度； 刷洗地点 的温度等. 注：列出的因素不足四个，每缺一个扣 2.5 分。 2. 解： 根据题意可知：下一年病人数=当年患者数的一半+新患者. 于是令 X n 为从 2000 年起计算的 n 年后患者的人数，可得到递推关系模型： Xn+1 = 0.5Xn +1000 得递推公式 ). 2 1 2000(1 2 1 n n 0 n X = X + − 由 1200, X0 = 可以算出 2005 年时的患者数 X5 =1975 人. 由递推公式容易看出， → 2000, Xn是单调递增的正值数列，且Xn 故结论正确. 三、计算题（每题 20 分，共 40 分） 1. 解：设 1 2 x , x 表示甲、乙两种产品的产量，则有 原材料限制条件： 3 22 20, x1 + x2 和x1 + x2 又由产品乙不超过 6 件以及两种产品比例条件有另外两个条件： 6, x2 以及 2 5 0, x1 − x2 目标函数满足 max 3 9 , 1 2 z = x + x 便可以得到线性规划模型： max 3 1 9 2 z = x + x
x+3红1≤22 51+高：≤20， 黑1≤6 2x1-5x1≤0， ,x220 (1)使用图解法易得其最优生产方室将有无穷多组（这是因为勇一个约束条件所在直 线的斜率与目标函数直线的斜率相等)，其中的两个方案为该直线段上的两个璃点： X=(4.6),X2=10,4)1标值均为：=66（首元）， (2)按题上面的第一个解，原材料B将有10个单位的剩余量，面按照第二个解，原 材料B将有6个单位的剩余量不论是哪一个解，原材料A都全部充分利用. 2解：本问题可以看成是一个产销不平衡的运输月题，属于供小于求月题为此，虚 设一个水厂A,其供水量为30吨，相应的运价均定为0，便得到一个产销平衡的运输问题 如下表所示： 小区 单价/元 BB. B 供应量/1 水厂 A 10 6 4 170 4 7 6 200 A 0 0 0 30 需求量/1 160 0 150 再利用表上作业法求解，即可获得供水费用最低的债水方案为如 A”→B2.4®→B,4→B,40→B2 小区B,将有30电水的缺口 总费用为6×20+4×150+7×130+5×70=1980（元）. 四、综合应用愿（本题20分） 解：（一）问题分析 【.一段时间内需要下滑的水量主要由两密分组成：已有的超过安全线部分的水量和上
4 − + + , 0. 2 5 0, 6, 20, 3 22, . . 1 2 1 2 2 1 2 1 2 x x x x x x x x x st （1）使用图解法易得其最优生产方案将有无穷多组（这是因为第一个约束条件所在直 线的斜率与目标函数直线的斜率相等），其中的两个方案为该直线段上的两个端点： (4,6) , (10,4), 1 2 X = X = T 目标值均为 z = 66 （百元）. （2）按照上面的第一个解，原材料 B 将有 10 个单位的剩余量，而按照第二个解，原 材料 B 将有 6 个单位的剩余量.不论是哪一个解，原材料 A 都全部充分利用. 2. 解： 本问题可以看成是一个产销不平衡的运输问题，属于供小于求问题.为此，虚 设一个水厂 A0 ，其供水量为 30 吨，相应的运价均定为 0，便得到一个产销平衡的运输问题 如下表所示： 小区 单价/元 水厂 B1 B2 B3 供应量/ t A1 10 6 4 170 A2 7 5 6 200 A0 0 0 0 30 需求量/ t 160 90 150 再利用表上作业法求解，即可获得供水费用最低的供水方案为： , , , , 2 70 1 2 130 3 2 150 2 1 20 A1 ⎯⎯→B A ⎯⎯→B A ⎯⎯→B A ⎯⎯→B 小区 B1 将有 30 吨水的缺口. 总费用为 620+ 4150+ 7130+570 =1980 （元）. 四、综合应用题（本题 20 分） 解：（一）问题分析 1. 一段时间内需要下泄的水量主要由两部分组成：已有的超过安全线部分的水量和上
游河水不斯流进的部分水量： 2每个滑洪阐的漫洗连度是者相同的应该予以考虑。而每小时流入水库的水量也在考 虑之列 (二》核型假设 【.设泄洪开始时，超过安全线的水量为定值x(m): 2上游流入水库的流量为定值(m)/h 及每个法法侧的淮法速度是相同的，均为川m) (三》核型建立 依据假设以及题设条件，应有以下两个式子成立 x+30:=30,(1D x+102=10. (2) 2y 此即所求数学核型 (四)模型求解 这是一个含有三个量的二元方程组，雷要消去一个参数，为此，由(1)、(2)两 式得 x=30:,(3) y=2.(4) 若同时打开k个漫洪树。则所需要的时间为 1。x+E (5) y 将(3)、(4)两式代入(5)式，化简后可解出 30 1“2k- 千是按照要求应有上式小于3，便可解得k>5.5,故应该至少打开6个闸门， 《五)模型分析 1,本月题将月题的解决归结为流进与流出水量的比较后，通过等量关系获得模型
5 游河水不断流进的部分水量； 2. 每个泄洪闸的泄洪速度是否相同的应该予以考虑，而每小时流入水库的水量也在考 虑之列. （二）模型假设 1. 设泄洪开始时，超过安全线的水量为定值 ( ) 3 x m ； 2. 上游流入水库的流量为定值 z(m )/ h 3 ； 3. 每个泄洪闸的泄洪速度是相同的，均为 ( ) 3 y m . （三）模型建立 依据假设以及题设条件，应有以下两个式子成立 30, 30 = + y x z （1） 10, 2 10 = + y x z （2） 此即所求数学模型. （四）模型求解 这是一个含有三个量的二元方程组，需要消去一个参数，为此，由（1）、（2）两 式得 x = 30z, （3） y = 2z, （4） 若同时打开 k 个泄洪闸，则所需要的时间为 , ky x tz t + = （5） 将（3）、（4）两式代入（5）式，化简后可解出 , 2 1 30 − = k t 于是按照要求应有上式小于 3，便可解得 k 5.5, 故应该至少打开 6 个闸门. （五）模型分析 1. 本问题将问题的解决归结为流进与流出水量的比较后，通过等量关系获得模型
尽管超水位的具体水量值并不清楚。但不影响问题的解决 2将上游流入水库的流量设为定值，自然是为了模型建立简化实际月题中要根据具体 情况具体处理。元其是问题沙及人们的生命安全封。宁可把问题考虑的更复禽生 及可以进一步考虑建立微分方程榄型
6 尽管超水位的具体水量值并不清楚，但不影响问题的解决. 2. 将上游流入水库的流量设为定值，自然是为了模型建立简化.实际问题中要根据具体 情况具体处理，尤其是问题涉及人们的生命安全时，宁可把问题考虑的更复杂些. 3. 可以进一步考虑建立微分方程模型