常徽分方程10春模拟试题 一，填空题（每小题3分，本题共15分） 1,一阶变量可分离微分方程M(x)N(ydx+PxQ(ydy=0的积分因子是， 2。方程此=厂将足初值解的存在且推一性的区线是。 r 3.方程史=一了的奇解是。 d山 4.二阶方程y+f八xy+x)y=0的等价方程组是. 5,如果函数组(x).乃，(x)在区间/是线性相关，那么它们的阴斯基行列式F(x)在区间/上 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6.微分方程yhJd女+(x-ny均=0是() (A)线性方程(B)可分离变量方程 (C》全微分方程(D》贝努利方程 2方程业=-了+10. (A)有奇解y=士1(B)有奇解y=1 (C》无奇解(D)有奇解y=-1 8.方程y广+x2y+xy=xnx的任一解的最大存在区间必为(). (A)(-线，+)(B)(0,+) (C)(-,0)(D)(L+0) 9,方程+x=0的任一非零解在（亿，）平面上()零点， (A)无(B)只有一个 (C)只有两个(D)有无穷多个 =2x+y 10。平面系统 d山 的奇点类型是《). dy =3x+4y d山 (A)酸点(B)不稳定结点 (C)不稳定焦点(D》稳定焦点 三、计算思（每小题8分，本共40分）》 求下列方程的通解咸适积分 M. 业-y -x
1 常微分方程 10 春模拟试题 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1．一阶变量可分离微分方程 M x N y x P x Q y y ( ) ( )d ( ) ( )d 0 + = 的积分因子是． 2．方程 d d y y x = 满足初值解的存在且惟一性的区域是． 3．方程 2 1 d d y x y = − 的奇解是． 4．二阶方程 y f x y g x y + + = ( ) ( ) 0 的等价方程组是． 5．如果函数组 1 2 y x y x ( ), ( ) 在区间 I 是线性相关，那么它们的朗斯基行列式 W (x) 在区间 I 上． 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．微分方程 y ln ydx + (x − ln y)dy = 0 是（） （A）线性方程（B）可分离变量方程 （C）全微分方程（D）贝努利方程 7.方程 d 2 1 1 d y y x = − + （）． （A）有奇解 y =1 （B）有奇解 y = 1 （C）无奇解（D）有奇解 y = −1 8．方程 y x y x y x sin x 2 3 + + = 的任一解的最大存在区间必为（）． （A） (−, + ) （B） (0, + ) （C） (−, 0) （D） (1, + ) 9．方程 x + x = 0 的任一非零解在 (t, x) 平面上（）零点． （A）无（B）只有一个 （C）只有两个（D）有无穷多个 10．平面系统 = + = + x y t y x y t x 3 4 d d 2 d d 的奇点类型是（）． （A）鞍点（B）不稳定结点 （C）不稳定焦点（D）稳定焦点 三、计算题（每小题 8 分，本题共 40 分） 求下列方程的通解或通积分： 11. 2 2 1 1 d d x y x y − − =
12.x -y-x d 13.20t+(eg2-t=0 14.y=0+y”+(y)2 15.°-y=3 四、计算题（本题共15分） 16。求方程x+x=sm1的通解， 五、证明题（本题共15分） 17.若f()在(-0.+o)上连续可微，且当M*0时，f()0的上半平面 3.y=士1 (y÷y dx 4. 些=-jxy-gy d 5.恒等于零 二、单项达释题（每小题3分，本题共15分） 6.A7.,C8.A9.D10.B 三、计算题（每小题8分，本题共40分） 11.解当y≠1时，分离变量积分，得 arcsin y arcsin x+C y=sin(aresnx+C)
2 12. d 3 d y x y x x = − 13. )d 0 1 2 d ( 2 2 + − y = y xy x x 14． 2 y = xy + y + (y ) 15． 2 xy y x − = 3 四、计算题（本题共 15 分） 16．求方程 x + x = sin t 的通解． 五、证明题（本题共 15 分） 17．若 f (u) 在 ( , ) − + 上连续可微，且当 u 0 时， uf (u) 0 ，求证：方程 (sin ) d d 2 x f y x y = 的任一解 y = y(x) 均在 ( , ) − + 上存在． 常微分方程 10 春模拟试题参考解答 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1． 1 N y P x ( ) ( ) = 2．满足 y 0 的上半平面 3． y = 1 4． = − − = f x y g x y x y y x y ( ) ( ) d d d d 1 1 1 5．恒等于零 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．A7．C8．A9．D10．B 三、计算题（每小题 8 分，本题共 40 分） 11．解当 y 1 时，分离变量积分，得 C x x y y + − = − 2 2 1 d 1 d arcsin y = arcsin x + C y = sin(arcsin x + C)
12.解方程支写成业。上-x dx x 齐次通解为y=Cx 令非齐次解为y=C(x)x 代入得C0=-+C 原方程适解为y=Gx-}x 2 3.解因为M月=2可，N川=产- aw av -2x= y 五 所以，原方程是全微分方程 取(x,另》=0.)，原方程的通积分为 '2c 即xy+=C 14。解这是一个克莱洛方程，因此通解为 y=Cx+C+C2 15.解令广=：则了= ,代入有 dx d dx -5=3x 解此线性非齐次方程通解为 :-3x2+Cx即业=3r2+Cx dx 原方程通解是y=x小+，Cx2+C 四、计算题（本题共15分） 16。解对应齐次方程的特征方程是 2+1=0 特征根为入：■±，齐次方程的通解为 x=C c0s/+C2 snI 因为《±B=甘是一重转狂根，故非齐次方程有形如
3 12．解方程改写成 d 2 d y y x x x = − 齐次通解为 y Cx = 令非齐次解为 y C x x = ( ) 代入得 1 2 ( ) 2 C x x C = − + 原方程通解为 1 3 2 y Cx x = − 13．解因为 M(x, y) = 2xy ， 2 2 1 ( , ) y N x y = x − x N x y M = = 2 所以，原方程是全微分方程． 取 ( , ) (0,1) x0 y0 = ，原方程的通积分为 1 0 1 2 d 1 2 d y C y xy x x y + − = 即 C y x y + = 2 1 14．解这是一个克莱洛方程，因此通解为 2 y = Cx + C + C 15．解令 y z = 则 d d z y x = ，代入有 d 2 3 d z x z x x − = 解此线性非齐次方程通解为 z x C x1 2 = 3 + 即 x C x x y 1 2 3 d d = + 原方程通解是: 2 2 1 3 2 1 y = x + C x + C 四、计算题（本题共 15 分） 16．解对应齐次方程的特征方程是 1 0 2 + = 特征根为 = i 1, 2 ，齐次方程的通解为 x C cost C sin t = 1 + 2 因为 i = i 是一重特征根．故非齐次方程有形如
(r)=Acost+Bsin1) 的特解，代入原方程，得4：一了B=0 故原方程的通解为x=Cc061+Csm1-2/0os 五.证明题（本题共15分） 17。证明由己知条件，方程在全平面上满足存在唯一性定理及解的延展定理条件， 由己知条件容易证明(0)=0，于是方程有无穷多个常数解y=nx,n=0,±1，土2，…，它们是 平面上的一族平行直线。 设（无，%》是任一初始点。则相应的初值解y一川x)的函数图像或者是上述平行线中的一条，成 是介于某两条平行线之间，由解的嘴一性和延展定理易知其存在区同为(-。，+©)
4 ( ) ( cos sin ) 1 x t = t A t + B t 的特解，代入原方程，得 2 1 A = − ， B = 0 故原方程的通解为 x C t C t t cost 2 1 = 1 cos + 2 sin − 五、证明题（本题共 15 分） 17．证明由已知条件，方程在全平面上满足存在唯一性定理及解的延展定理条件． 由已知条件容易证明 f (0) = 0 ．于是方程有无穷多个常数解 y = n, n = 0, 1, 2, ，它们是 平面上的一族平行直线． 设 ( , ) 0 0 x y 是任一初始点，则相应的初值解 y = y(x) 的函数图像或者是上述平行线中的一条，或 是介于某两条平行线之间．由解的唯一性和延展定理易知其存在区间为 ( , ) − + ．